Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Отбор ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70302

Решите уравнение:

4 4 3 cos8x- (1+ cosx +cos2x+ cos3x+ cos4x) +(sinx+ sin2x+ sin3x+ sin4x) = 4 + 4

Источники: ПВГ - 2017, отбор

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что здесь нужно сказать: раскрывать всё и выражать через какой-нибудь sin(x), или через основное тригонометрическое тождество всё приводить, вычислять там, скажем, sin⁴x + cos⁴x — это грустно. Оценки, которые всегда хочется применять, если видишь что-то страшное тригонометрическое, тоже не помогают. Значит нам надо воспользоваться формулами. Базовые не помогают, поэтому заметим, что если мы будем складывать крайние слагаемые в каждой скобке, то там будут получаться одинаковые аргументы 2х, при замене по формуле суммы синусов/косинусов. Попробуйте воспользоваться формулой суммы синусов/косинусов в нужном порядке и преобразовать выражение под квадратом.

Подсказка 2

Про косинусы понятно, преобразовываем, получается cos2x(1 + 2cosx + 2cos2x). С синусами то же самое, то есть хотим привести к виду многочлена, где всё зависит от 2х с точностью до множителя. Значит складывать надо первое и третье слагаемое, а оставшиеся — разложить так же, как зависимость от 2x. Получим sin2x(1 + 2cosx + 2cos2x). Как красиво вышло! Тогда преобразуем нашу левую часть, заметим, что один из множителей слева равен правой части и решим уже простое уравнение!

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов

(1 +cos4x)+ (cosx+ cos3x)+ cos2x= cos2x(2cos2x+ 2cosx +1), sin2x+ sin4x+ (sinx+ sin3x)=sin2x(1+ 2cos2x+ 2cosx).

Следовательно,

4 4 (1 +cosx+ cos2x+ cos3x+ cos4x) +(sinx +sin2x+ sin3x+ sin4x) = = (cos2x(2cos2x +2cosx+ 1))4+ (sin2x(1+ 2cos2x+ 2cosx))4 = = (2cos2x+ 2cosx +1)4⋅(cos4 2x +sin42x)

Тогда равенство примет вид:

2 (2cos2x+2cosx+ 1)4(cos42x+ sin42x)= 3+ 1−-2sin-4x⇐ ⇒ ( ) ( ) 4 2 4 4cos2x+ 2cosx − 1 4 cos42x+sin4 2x = 1− sin-4x ⇐⇒ ( )4( sin24x) sin24x2 4cos2x+ 2cosx − 1 1− --2-- =1 −--2-- ⇐⇒ ( 2 )4 4cos x+ 2cosx − 1 = 1⇐⇒ 4cos2x+ 2cosx − 1= ±1.

Решая квадратные (относительно переменной $cosx$ ) уравнения $2 4cosx+ 2cosx− 2=0$ и $2 4cos x+$ $2 cosx= 0$ приходим к $cosx= 1∕2;−1;0;− 1∕2$ .

Ответ:

$± π + 2πn,x= ± 2π-+2πn,x= π +πn,x= π+ 2πn,n ∈ℤ 3 3 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#37480

Числа $1,2,...,2016$ разбили на пары, при этом оказалось, что произведение чисел в каждой паре не превосходит некоторого натурального $N.$ При каком наименьшем $N$ это возможно?

Источники: ПВГ-2015, отборочный тур, 8 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, нам нужно оценить некоторое произведение. Давайте сначала попробуем поделать примеры, и подумаем, какую можно было бы доказывать оценку. Стандартно хочется группировать самые большие числа с самыми маленькими, как тогда можно оценить такое произведение?

Подсказка 2!

2) А как понять, что меньше не получится? Давайте попробуем посмотреть, какие числа, какой величины, вообще могут стоять в паре. И попробуем получить нашу желаемую оценку 1008*1009.

Подсказка 3!

3) Не забудьте доказать, что пример подходит!

Показать ответ и решение

Оценка. Рассмотрим произвольное разбиение на пары. Если хотя бы для одной пары оба числа в ней больше $1008,$ то их произведение точно больше $1008 ⋅1009,$ потому из каждой пары ровно одно число лежит во множестве $A= {1009,...2016}$ (поскольку в этом множестве $1008$ чисел). Тогда выберем то, в паре с которым лежит $1008,$ отсюда их произведение не меньше $min(A)⋅1008 =1009⋅1008.$

Пример. Разделим числа на пары $a,2017− a,a∈{1,...1008}.$ Заметим, что для $a∈ℕ$ выполнено $2 a(2017 − a)= 2017a− a ≤ 1008⋅1009$ (поскольку $1008$ и $1009$ — ближайшие к вершине натуральные значения), поэтому $Nmin = 1008⋅1009.$

Ответ:

$1008⋅1009= 1017072$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82712

Из четырёх бегунов — Антона, Бориса, Виктора и Григория — второе место занял самый старший. При этом Антон пробежал дистанцию быстрее, чем Виктор, а Григорий — быстрее, чем Борис и Виктор. Известно также, что Борис старше Антона, а Виктор старше Григория. В каком порядке финишировали спортсмены?

Источники: ПВГ - 2015, 11.1 (rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Самым старшим может быть или Борис, или Виктор. Но Виктор не мог занять второе место, так как он уступил и Антону, и Григорию. Поэтому Борис — второй. Значит, Григорий — первый, Антон — третий, а Виктор четвертый.

Ответ: Григорий, Борис, Антон, Виктор

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70305

Три пирата Джо, Билл и Том нашли клад, содержащий 80 одинаковых золотых монет, и хотят разделить их так, чтобы каждому из них досталось не менее 15 монет. Сколько существует способов это сделать?

Источники: ПВГ-2014, отборочный тур, 11 класс

Показать ответ и решение

Выдадим каждому пирату по $14$ монет, а оставшиеся $38$ монет выложим в ряд. Чтобы разделить оставшиеся монеты между пиратами, достаточно расположить на $37$ местах между монетами две перегородки. Тем самым, Джо получит монеты левее первой перегородки, Билл монеты между двумя перегородками, а Том - монеты правее второй перегородки. Число способов расположить эти перегородки: $2 37⋅36 C37 = 2$ .

Ответ: 666

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85146

При скольких значениях параметра $a$ уравнение

( 2) 2 1− a x + ax+1 =0

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

При $a= 1$ уравнение принимает вид $x+ 1= 0$ и имеет единственный корень $x= −1;$ аналогично, при $a= −1$ уравнение имеет единственный корень $x= 1$ .

Если же $a ⁄=±1$ , то наше уравнение - квадратное с дискриминантом

2 ( 2) 2 D =a − 4 1− a = 5a − 4

Корень будет единственным в том и только в том случае, если $D =0$ , то есть при $a= ±2∕√5$ . Всего, стало быть, получается четыре значения $a$ .

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#120844

Решите в натуральных числах уравнение

abc+ ab+bc+ ac+a+ b+ c= 164.

Показать ответ и решение

Прибавив единицу, разложим левую часть на скобки:

(a+1)⋅(b+1)⋅(c+1)= abc +ab+ bc+ ac+ a+b+ c+ 1= 165 =3 ⋅5⋅11

Заметим, что каждая скобка больше единицы, так как числа натуральные, поэтому никакая скобка слева не может быть равна $1.$ Следовательно, $a =2,b= 4$ и $c=10.$ Заметим, что решение единственно с точностью до перестановки $a,b$ и $c,$ поскольку $3,5,11$ — простые числа.

Ответ:

$(2,4,10),(4,10,2),(10,2,4),(4,2,10),(2,10,4),(10,4,2)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#116307

Мальвина и Буратино играют по следующим правилам: Мальвина записывает на доске в ряд шесть различных чисел, а Буратино придумывает для них свои четыре числа $x1,x2,x3,x4$ и под каждым числом Мальвины пишет соответственно какую-либо из сумм $x1+ x2,x1+ x3$ , $x1+x4,x2+ x3,x2+ x4,x3+ x4$ (каждую по разу), после чего за каждую сумму, равную стоящему над ней числу, Буратино получает по $3$ яблока, а за большую его – по $1$ яблоку. Какое наибольшее количество яблок может гарантированно получить Буратино?

Показать ответ и решение

Пусть Мальвина написала числа $a > a > a > a >a >a . 1 2 3 4 5 6$ Если Буратино придумает числа

a1+-a2-− a3 x1 = 2

a + a − a x2 =-1--32---2

x3 = a2+-a3-− a1 2

x4 = a4− x3

то, написав

x1+ x2 = a1 под a1

x1+ x3 = a2 под a2

x2+ x3 = a3 под a3

x3+ x4 = a4 под a4

x1+ x4 ≥ a4 ≥ a5 под a5

x2+ x4 ≥ a4 ≥ a6 под a6

он получит 14 яблок.

Чтобы получить более 14 яблок, Буратино должен обеспечить по крайней мере 5 равенств, что не всегда возможно: среди любых 5 сумм, составляемых Буратино, есть такие 4, что сумма двух из них равна сумме двух других. Поэтому если Мальвина напишет такие 6 чисел, что сумма никаких двух из них не равна сумме двух других (например, $1,10,100,1000,10000,100000$ ), то Буратино не сможет получить 15 или больше яблок.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91961

Найдите наименьшее значение выражения

∘-----2--- ∘-2---2 ∘-----2--- (x− 9)+ 4+ x + y + (y− 3)+ 9.

Показать ответ и решение

Пусть $A(0,0)$ , $B(x− 9,2)$ , $C(−9,2+y)$ , $D(−12,5)$ . Заметим, что

∘-----2--- ∘ -2--2- ∘ ----2---- ∘--2---2 (x− 9) +4+ x +y + (y− 3) +9= AB + BC +CD ≥ AD = 12 + 5 =13

Осталось показать, что значение $13$ достигается. Для этого точки должны лежать на одной прямой. Значит, $(x− 9):2= −9:(2+y)= −12:5$ , $24 21 x= 9− 5 = 5$ и $45 21 y = 12 − 2= 12$ . Тогда $A (0,0)$ , $24- B (− 5 ,2)$ , $45- C(−9,12)$ , $D(−12,5)$ , эти точки лежат на прямой и именно в таком порядке. Значит, $AB + BC +CD = AD$ .

∘--------- ∘ ------ ∘--------- (x− 9)2 +4+ x2 +y2+ (y− 3)2 +9.= 5.2+ 4.55+3.25= 13

Ответ: 13