Комбинаторика на устном туре Турнира Городов

Положим и пусть и — количества синих и красных клеток. Оценим сверху количество общих сторон красных клеток с синими.

Всего у красных клеток сторон, откуда Вдоль краёв таблицы стоит не меньше сторон красных клеток, поэтому Теперь рассмотрим граф, вершины которого — красные клетки, а рёбра соединяют клетки, имеющие общую сторону. По условию граф связен, поэтому количество его рёбер не меньше Каждому из них отвечает общая сторона двух красных клеток, засчитанная в величине два раза, поэтому из можно вычесть Получаем

(1)

Оценим теперь снизу. Сложив количества сторон всех синих клеток, получим Ясно, что на одной стороне таблицы не больше сторон синих клеток. Поэтому

(2)

Из (1) и (2) следует, что

Поскольку получаем отсюда

Поскольку а целое, получаем нужный результат.