Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Уравнения и неравенства на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119898

Пусть $x =log5, y =lg12. 3$ Представьте $log 5 2$ в виде рационального выражения, составленного из натуральных чисел, $x$ и $y$ (с использованием скобок и знаков арифметических действий $+,−,⋅,:$ ).

Источники: ШВБ - 2025, 11.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем представить логарифмы из условия через формулы перехода от одного основания к другому для перехода к одному (общему для всех логарифмов) основания, например, 2. Как тогда будут выглядеть логарифмы из условия?

Подсказка 2

Получаем log₂5 / log₂3 и log₂12 / log₂10. В первом уже есть требуемый логарифм, так что, возможно, пока что его представлять в каком-то другом виде не стоит. Что можно сделать со вторым?

Подсказка 3

Воспользуемся формулой логарифма от произведения. Тогда лишние логарифмы уйдут и останутся линейные комбинации log₂5 и log₂3. Отсюда получаем систему из двух уравнений, из которой можно выразить требуемый логарифм!

Показать ответ и решение

Перейдём к двоичным логарифмам. Обозначим:

log2 3= a, log25= b

Тогда:

log2-5 b x= log35= log2 3 = a

log 12 log (4⋅3) 2+ a y = lg12= lo2g-10 = log2(2⋅5) = 1-+b 2 2

Получаем систему уравнений:

( |{ x= b | a2+-a ( y = 1+ b

Выразим $b$ из первого уравнения и подставим во второе уравнение:

( { b= ax ( y =-2+a- 1+ax

Умножим обе части второго уравнения на $1+ax$ и раскроем скобки

y(1+ ax)= 2+ a

y+ axy =2 +a

Перенесем все слагаемые с $a$ влево и вынесем его за скобку:

axy− a =2 − y

a(xy− 1)= 2− y

Отсюда:

a = 2−-y- xy− 1

Теперь найдём $b:$

x(2− y) b= ax= -xy− 1

Ответ:

$x(2−-y) xy− 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#91509

Решите уравнение

∘--------4 -−-x+-4−-x= -√1--. |2x2 − 6− x| 7 − x

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ, но перед этим представим в более красивом виде первое подкоренное выражение:

4 (x-− 2)2 −x +4− x = −x

Тогда ОДЗ для обоих подкоренных выражений это $− x> 0$ , то есть $x <0$ . А также в ОДЗ:

2x2− 6 − x ⁄=0

Теперь мы можем переписать исходное уравнение как

∘-----2- 7√−-x⋅ (x−-2)-= |2x2− 6− x| − x

2 7|x − 2|= |2x − 6− x|

Рассмотрим два случая:

1.

7x − 14= 2x2− 6− x

2x2− 8x+ 8= 0

(x− 2)2 = 0

x =2, но с учётом О ДЗ этот корень не подходит.

2.

−7x+ 14= 2x2 − 6− x

2x2+ 6x − 20= 0

[ x =2, не подходит с учётом ОДЗ x =− 5

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67595

Найдите все варианты троек $(x;y;z)$ , при которых выполняется уравнение

∘--------- ∘--------- ∘--------------- |2x|+ x− 6+ |2y|⋅|2− x|+ |2z|+ |x − 2|⋅|x+ 6|=0

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первого взгляда очень страшное выражение: множество корней и модулей, — не совсем понятно, что с ними делать. Но как только видим справа ноль, сразу становится легче. Какое самое важное ограничение есть у корней, которое необходимо вспомнить?

Подсказка 2

Верно, все они неотрицательные! То есть задумаемся. Если хотя бы один из них не ноль, то тогда всё выражение точно больше нуля, и равенства не будет. Как теперь это можно переписать с точки зрения алгебры?

Подсказка 3

Да, можно записать как систему, что все три корня равны нулю. Теперь внимательно посмотрим на получившиеся уравнения. Первое из них содержит только одну переменную. Значит, его легко решим. В остальных уравнениях видим похожую идею, как в изначальном уравнении. Когда у нас произведение чисел равно нулю? Как можно это переписать?

Подсказка 4

Верно, это уже будет совокупность, что какое-то из них равно нулю. Далее применяя эти две идеи, можем решить и третье уравнение исходной системы. Осталось только верно записать решение и победа!

Показать ответ и решение

Так как каждое слагаемое неотрицательное, уравнение равносильно следующей системе

( |2x|+ x− 6= 0 |{ |( |2y|⋅|2 − x|= 0 |2z|+ |x− 2|⋅|x+ 6|= 0

[ x= 2 |2x|+x− 6= 0 ⇐⇒ 2x= ±(6− x) ⇐⇒ x= −6

[ y = 0 |2y|⋅|2− x|=0 ⇐ ⇒ x= 2

( { |2z|= 0 |{ z[ =0 |2z|+ |x− 2|⋅|x+ 6|= 0 ⇐⇒ ⇐⇒ | x =2 |x− 2|⋅|x+6|= 0 ( x =− 6

Если $x= 2,$ то $y$ — любое, а $z = 0$

Если $x= −6,$ то $y = 0, z = 0$

Итого получаем тройки $(− 6,0,0);(2,y ∈ ℝ,0).$

Ответ:

$(−6,0,0);$

$(2,y,0), y ∈ ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#101417

Найдите наибольшее натуральное число $n,$ для которого верно неравенство

(3 3 3) 1 + 2 + ⋅⋅⋅+n − 106(1+ 2+ ⋅⋅⋅+n)+ 105≤ 0

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия становится понятно, что нам пригодится формула суммы кубов;) Если Вы её забыли — не беда, можно выразить её по индукции или через сумму четвёртых степеней. Но для этого нам понадобится, например, формула суммы последовательных квадратов.

Подсказка 2

После того, как мы выразим обе суммы в виде дробей, можно будет заметить, что у них есть общий множитель, а справа стоит 0. Это нам намекает на то, что нужно попытаться разложить левое выражение на множители! Осталось лишь разобрать знаки скобочек и записать новое неравенство на x ;)

Показать ответ и решение

Вычислим сумму $12 +22+ ⋅⋅⋅+ n2 :$

∑n n∑ ( ) 13+23+ ⋅⋅⋅+ n3+ (n +1)3 = 1+ (1+k)3 = 1+ 1+ 3k+ 3k2+ k3 = k=1 k=1

3(n-+1)n ∑n 2 ∑n 3 = 1+ n+ 2 + 3k=1k +k=1k

Заметим, что сумма кубов до $n$ вся сокращается, и остаётся только $(n +1)3.$ Отсюда выразим сумму квадратов.

3∑n k2 = (n+ 1)3− 1− n− 3(n+-1)n k=1 2

n ∑ k2 = n(n-+1)(2n-+1) k=1 6

Теперь проделаем аналогичные преобразования для вычисления суммы $3 3 3 1 +2 + ⋅⋅⋅+ n :$

n+∑1k4 =1+ ∑n (1+ k)4 = 1+∑n (1+ 4k +6k2+ 4k3 +k4)= k=1 k=1 k=1

n n n = 1+ n+ 4(n-+1)n+ 6∑ k2+ 4∑ k3 +∑ k4 2 k=1 k=1 k=1

n∑ 4 k3 = (n+ 1)4− 1− n− 4(n-+1)n− n(n+ 1)(2n +1)= k=1 2

( 3 2 ) = (n+ 1) (n+ 1) − 1− 2n − 2n − n

∑n 3 n2(n +1)2 k = ---4---- k=1

Все эти формулы, конечно, желательно и так помнить, но если забыли, то можно будет вывести так или по индукции. Тогда возвращаясь к неравенству

(13+ 23+⋅⋅⋅+n3)− 106(1+ 2+⋅⋅⋅n)+ 105≤ 0⇔

n2(n+-1)2-− 106n(n+-1)-+105≤ 0 4 2

( n(n-+1)- )( n(n-+1)- ) 2 − 1 2 − 105 ≤ 0

n2 +n − 210≤ 0

(n+ 15)(n− 14)≤ 0

Отсюда получаем, что наибольшее натуральное значение, при котором верно равенство, равно $14.$

Ответ:

$n =14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#102367

Решите систему уравнений

{ y2+ xy = 15; x2+ xy = 10.

Источники: ШВБ - 2020, 8 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, в обоих уравнениях слева есть общий множитель. Что можно с этим сделать?

Подсказка 2

Да, можно выразить/поделить одно уравнение на второе и аналогичные действия. Тогда получим соотношение между x и y, а значит, подставив его в одно из уравнений, получим квадратное и решим его, не забудем посчитать и вторую переменную!

Показать ответ и решение

{ y(y+ x) =15 x(x+ y) =10

Разделим первое уравнение системы на второе:

y 3 x = 2

3 y = 2x

Подставим в уравнение:

3 x2+ 2x⋅x= 10

[ x =− 2 x= 2

⌊ { | y = −3 ||| { x= −2 ⌈ y = 3 x = 2

Ответ:

$(−2;−3),(2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#110244

Решите неравенство

||3x2+8x − 3||+||3x4+ 2x3− 10x2+30x− 9|| -----------|x−-2|−-2x−-1---------- ≤0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на нашу дробь: что можно сказать про знак её числителя?

Подсказка 2

Верно, он неотрицателен. А когда дробь с неотрицательным числителем является неположительной?

Подсказка 3

Да, либо когда её числитель равен нулю, либо когда знаменатель отрицателен. Осталось только разобрать два этих случая. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Для начала распишем ОДЗ:

⌊ ({ x< 2 || 1 ( ) ( ) |x− 2|− 2x− 1⁄= 0⇔ || ({ x⁄= 3 ⇔ x∈ −∞; 1 ∪ 1;+∞ |⌈ x≥ 2 3 3 x⁄= 3

Числитель дроби неотрицателен, так как является суммой двух модулей. Тогда, для того, чтобы дробь была не положительной, нужно, чтобы либо знаменатель был не положительным, либо числитель был равен нулю. Поэтому, с учетом ОДЗ, получим совокупность:

[ | ||x|− 2|− 2x− 1< 0 | |3x2+ 8x− 3|+ |3x4+ 2x3− 10x2+ 30x − 9|= 0

Решим первое неравенство:

⌊ { | x − 2≥ 0 [ ||| { x− 2− 2x− 1 <0 ⇔ 1 x≥ 2 ⇒ x> 1 ⌈ x − 2< 0 3 <x <2 3 x+ 2− 2x− 1 <0

Теперь решим уравнение из рассматриваемой совокупности. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда каждый модуль равен 0 :

{ 3x2+ 8x − 3= 0 3x4 +2x3− 10x2+ 30x− 9=0

Решим первое уравнение:

√------ x= −8±--64+-36⇒ x = −3, x = 1 6 1 2 3

Подставляя $x 1$ и $x 2$ во второе уравнение системы, видим, что они являются его корнями:

4 3 3(−3) +2(−3) − 90− 90− 9= 189− 189= 0

(1)4 ( 1)3 10 1 1 3 3 +2 3 − 9 + 1= 9 − 9 =0

Но $x2 = 13$ не ответ по ОДЗ, а $x1 =− 3$ является решением системы, а, значит, и решением исходного неравенства.

Таким образом, $( ) x∈ {−3}∪ 1;+ ∞ . 3$

Ответ:

${− 3} ∪(1;+∞ ) 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#107090

Решите неравенство

(|x− 5|−-|x−-1|)log4(6−-x) (9x− 12⋅3x+ 27)log3x ≤0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотим в перспективе применить метод рационализации. Какие преобразования в таком случае нужно сделать?

Подсказка 2

Хотим представить 9^x - 12 * 3^x + 27 в виде произведения разностей 3^g - 3^f, а логарифмы — в виде разности логарифмов. Вспомним, что логарифм частного — это разность логарифмов, пользуемся этим для приведения к необходимому виду.

Подсказка 3

Теперь все множители имеют требуемый для применения метода рационализации вид. Не забываем, что его можно применять только на ОДЗ, так что находим его, а потом находим решения с помощью метода интервалов.

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ:

x > 0, 6− x >0, x ⁄= 1, x⁄= 2

x∈ (0;1)∪(1;2)∪ (2;6)

Запишем неравенство из условия в виде

(log4(6−-x)−-log41)(|x− 5|−-|x−-1|) ≤0 (3x− 9)(3x− 3)(log3x− log31)

На ОДЗ исходное неравенство по методу рационализации эквивалентно следующему

(5− x)(x − 5− (x− 1))(x− 5+ (x − 1)) ---------(x-− 2)(x-− 1)2-------≤ 0

(x−-5)(x−-3) ≤0 (x− 2)

По методу интервалов

x∈ (0;1)∪(1;2)∪ [3;5]

Ответ:

$(0;1)∪ (1;2)∪[3;5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#110248

Решите неравенство

√ - (− x2+81+ (x− 9)√x2+-6x−-27) ∘ x−-3- 1 x⋅ -9-− x2+-(x+3)√x2+-6x−-27 ⋅ x+-9 ≥ √x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какими формулами можно воспользоваться, чтобы преобразовать числитель?

Подсказка 2

Воспользуемся формулой разности квадратов! Отлично, тогда можно будет разложить и числитель, и знаменатель на множители :) А что делать с подкоренным выражением?

Подсказка 3

Можно найти корни у подкрошенного выражения и также разложить его на множители ;) И тогда будет видно, как же можно сократить числитель и знаменатель, чтобы максимально упростить выражение!

Подсказка 4

После всех сокращений получаем, что (9-x)/(x+3) ≥ 1/x.

Подсказка 5

Домножьте обе части неравенства на x(x+3).

Показать ответ и решение

Подкоренное выражение $x2+ 6x− 27$ имеет нули

∘ 2----- x= −3± 3+ 27= −3± 6,

поэтому раскладывается на множители как $(x +9)(x − 3).$

C учётом ограничения $x> 0$ для существования правой части исходного неравенства получаем, что корень $∘ (x-+9)(x-− 3)$ определён при $x ≥3$ и равен $√x-+9⋅√x-− 3.$