Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Уравнения и неравенства на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91509

Решите уравнение

∘--------4 -−-x+-4−-x= -√1--. |2x2 − 6− x| 7 − x

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ, но перед этим представим в более красивом виде первое подкоренное выражение:

4 (x-− 2)2 −x +4− x = −x

Тогда ОДЗ для обоих подкоренных выражений это $− x> 0$ , то есть $x <0$ . А также в ОДЗ:

2x2− 6 − x ⁄=0

Теперь мы можем переписать исходное уравнение как

∘-----2- 7√−-x⋅ (x−-2)-= |2x2− 6− x| − x

2 7|x − 2|= |2x − 6− x|

Рассмотрим два случая:

1.

7x − 14= 2x2− 6− x

2x2− 8x+ 8= 0

(x− 2)2 = 0

x =2, но с учётом О ДЗ этот корень не подходит.

2.

−7x+ 14= 2x2 − 6− x

2x2+ 6x − 20= 0

[ x =2, не подходит с учётом ОДЗ x =− 5

Ответ: -5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67595

Найдите все варианты троек $(x;y;z)$ , при которых выполняется уравнение

∘--------- ∘--------- ∘--------------- |2x|+ x− 6+ |2y|⋅|2− x|+ |2z|+ |x − 2|⋅|x+ 6|=0

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Так как каждое слагаемое неотрицательное, уравнение равносильно следующей системе

( |2x|+ x− 6= 0 |{ |( |2y|⋅|2 − x|= 0 |2z|+ |x− 2|⋅|x+ 6|= 0

[ x= 2 |2x|+x− 6= 0 ⇐⇒ 2x= ±(6− x) ⇐⇒ x= −6

[ y = 0 |2y|⋅|2− x|=0 ⇐ ⇒ x= 2

( { |2z|= 0 |{ z[ =0 |2z|+ |x− 2|⋅|x+ 6|= 0 ⇐⇒ ⇐⇒ | x =2 |x− 2|⋅|x+6|= 0 ( x =− 6

Если $x= 2,$ то $y$ — любое, а $z = 0$

Если $x= −6,$ то $y = 0, z = 0$

Итого получаем тройки $(− 6,0,0);(2,y ∈ ℝ,0).$

Ответ:

$(−6,0,0);$

$(2,y,0), y ∈ ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#101417

Найдите наибольшее натуральное число $n,$ для которого верно неравенство

(3 3 3) 1 + 2 + ⋅⋅⋅+n − 106(1+ 2+ ⋅⋅⋅+n)+ 105≤ 0

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Вычислим сумму $12 +22+ ⋅⋅⋅+ n2 :$

∑n n∑ ( ) 13+23+ ⋅⋅⋅+ n3+ (n +1)3 = 1+ (1+k)3 = 1+ 1+ 3k+ 3k2+ k3 = k=1 k=1

3(n-+1)n ∑n 2 ∑n 3 = 1+ n+ 2 + 3k=1k +k=1k

Заметим, что сумма кубов до $n$ вся сокращается, и остаётся только $(n +1)3.$ Отсюда выразим сумму квадратов.

3∑n k2 = (n+ 1)3− 1− n− 3(n+-1)n k=1 2

n ∑ k2 = n(n-+1)(2n-+1) k=1 6

Теперь проделаем аналогичные преобразования для вычисления суммы $3 3 3 1 +2 + ⋅⋅⋅+ n :$

n+∑1k4 =1+ ∑n (1+ k)4 = 1+∑n (1+ 4k +6k2+ 4k3 +k4)= k=1 k=1 k=1

n n n = 1+ n+ 4(n-+1)n+ 6∑ k2+ 4∑ k3 +∑ k4 2 k=1 k=1 k=1

n∑ 4 k3 = (n+ 1)4− 1− n− 4(n-+1)n− n(n+ 1)(2n +1)= k=1 2

( 3 2 ) = (n+ 1) (n+ 1) − 1− 2n − 2n − n

∑n 3 n2(n +1)2 k = ---4---- k=1

Все эти формулы, конечно, желательно и так помнить, но если забыли, то можно будет вывести так или по индукции. Тогда возвращаясь к неравенству

(13+ 23+⋅⋅⋅+n3)− 106(1+ 2+⋅⋅⋅n)+ 105≤ 0⇔

n2(n+-1)2-− 106n(n+-1)-+105≤ 0 4 2

( n(n-+1)- )( n(n-+1)- ) 2 − 1 2 − 105 ≤ 0

n2 +n − 210≤ 0

(n+ 15)(n− 14)≤ 0

Отсюда получаем, что наибольшее натуральное значение, при котором верно равенство, равно $14.$

Ответ:

$n =14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#102367

Решите систему уравнений

{ y2+ xy = 15; x2+ xy = 10.

Источники: ШВБ - 2020, 8 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

{ y(y+ x) =15 x(x+ y) =10

Разделим первое уравнение системы на второе:

y 3 x = 2

3 y = 2x

Подставим в уравнение:

3 x2+ 2x⋅x= 10

[ x =− 2 x= 2

⌊ { | y = −3 ||| { x= −2 ⌈ y = 3 x = 2

Ответ:

$(−2;−3),(2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#110244

Решите неравенство

||3x2+8x − 3||+||3x4+ 2x3− 10x2+30x− 9|| -----------|x−-2|−-2x−-1---------- ≤0.

Показать ответ и решение

Для начала распишем ОДЗ:

⌊ ({ x< 2 || 1 ( ) ( ) |x− 2|− 2x− 1⁄= 0⇔ || ({ x⁄= 3 ⇔ x∈ −∞; 1 ∪ 1;+∞ |⌈ x≥ 2 3 3 x⁄= 3

Числитель дроби неотрицателен, так как является суммой двух модулей. Тогда, для того, чтобы дробь была не положительной, нужно, чтобы либо знаменатель был не положительным, либо числитель был равен нулю. Поэтому, с учетом ОДЗ, получим совокупность:

[ | ||x|− 2|− 2x− 1< 0 | |3x2+ 8x− 3|+ |3x4+ 2x3− 10x2+ 30x − 9|= 0

Решим первое неравенство:

⌊ { | x − 2≥ 0 [ ||| { x− 2− 2x− 1 <0 ⇔ 1 x≥ 2 ⇒ x> 1 ⌈ x − 2< 0 3 <x <2 3 x+ 2− 2x− 1 <0

Теперь решим уравнение из рассматриваемой совокупности. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда каждый модуль равен 0 :

{ 3x2+ 8x − 3= 0 3x4 +2x3− 10x2+ 30x− 9=0

Решим первое уравнение:

√------ x= −8±--64+-36⇒ x = −3, x = 1 6 1 2 3

Подставляя $x 1$ и $x 2$ во второе уравнение системы, видим, что они являются его корнями:

4 3 3(−3) +2(−3) − 90− 90− 9= 189− 189= 0

(1)4 ( 1)3 10 1 1 3 3 +2 3 − 9 + 1= 9 − 9 =0

Но $x2 = 13$ не ответ по ОДЗ, а $x1 =− 3$ является решением системы, а, значит, и решением исходного неравенства.

Таким образом, $( ) x∈ {−3}∪ 1;+ ∞ . 3$

Ответ:

${− 3} ∪(1;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#107090

Решите неравенство

(|x− 5|−-|x−-1|)log4(6−-x) (9x− 12⋅3x+ 27)log3x ≤0.

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ:

x > 0, 6− x >0, x ⁄= 1, x⁄= 2

x∈ (0;1)∪(1;2)∪ (2;6)

Запишем неравенство из условия в виде

(log4(6−-x)−-log41)(|x− 5|−-|x−-1|) ≤0 (3x− 9)(3x− 3)(log3x− log31)

На ОДЗ исходное неравенство по методу рационализации эквивалентно следующему

(5− x)(x − 5− (x− 1))(x− 5+ (x − 1)) ---------(x-− 2)(x-− 1)2-------≤ 0

(x−-5)(x−-3) ≤0 (x− 2)

По методу интервалов

x∈ (0;1)∪(1;2)∪ [3;5]

Ответ:

$(0;1)∪ (1;2)∪[3;5]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#110248

Решите неравенство

√ - (− x2+81+ (x− 9)√x2+-6x−-27) ∘ x−-3- 1 x⋅ -9-− x2+-(x+3)√x2+-6x−-27 ⋅ x+-9 ≥ √x

Показать ответ и решение

Подкоренное выражение $x2+ 6x− 27$ имеет нули

∘ 2----- x= −3± 3+ 27= −3± 6,

поэтому раскладывается на множители как $(x +9)(x − 3).$

C учётом ограничения $x> 0$ для существования правой части исходного неравенства получаем, что корень $∘ (x-+9)(x-− 3)$ определён при $x ≥3$ и равен $√x-+9⋅√x-− 3.$