Тема ИТМО (открытка)

Неравенства на ИТМО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82290

Произведение чисел $a,b,c,d,$ не меньших $2 ,$ составляет $2k+3.$ Найдите наибольшее значение выражения

logcdab+logbdac+ logbcad +logadbc+ logacbd+ logabcd.

Источники: ИТМО-2024, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

При виде выражение в виде суммы логарифмов, да и ещё с такими основаниями, сразу хочется его видоизменить. Обычно всегда на помощь приходит замена, но пока неясно, что стоит обозначить за новые переменные. Вспомните формулу перехода и свойства логарифмов и попробуйте перейти к другим основаниям!

Подсказка 2

То, что произведение a, b, c, d — это степень двойки, и то, что каждая из переменных не меньше 2, намекает, что хотелось бы использовать 2 в искомом выражении. Поэтому попробуйте сделать замену вида х = log₂a, ...

Подсказка 3

Полученное выражение — сумма дробей — уже лучше логарифмов. Но как же теперь её оценить? Обратите внимание, что изначальное условие на произведение переменных превратилось в условие на сумму переменных из замены. Какой метод в неравенствах есть, когда фиксирована сумма переменных?

Подсказка 4

Метод Штурма! Часто смотрят на то, когда выражение больше: когда переменные равны или когда одна переменная принимает максимально возможное значение, а другая минимальное. Попробуйте это выяснить на примере двух переменных.

Показать ответ и решение

После замены

x= log2a,y =log2b,z = log2c,t=log2d

условие, что исходные числа не меньше $2,$ превращается в

x≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1, t≥ 1,

а условие на произведение превращается в

x+ y+z +t= k+ 3 .

Искомое выражение по формуле перехода и свойствам логарифмов равно

x-+y +-z+t + x+-z+ y+-t+ x+-t+ y+-z z +t x +y y+ t x+ z y+ z x+ t

Воспользуемся методом Штурма. Пусть имеется какое-то значение искомого выражения при удовлетворяющих условиям выше $x ≥y ≥z ≥ t$ (не умаляя общности, переменные можно переименовать для упорядочивания). Заменим два числа $x,y$ на числа $x′ = x+ y− 1≥x,y′ = 1≤ y$ с такой же суммой $x′+ y′ =x +y$ и не меньшей разностью $x′− y′ =x +y− 2≥ x− y ≥ 0 (2y ≥ 2).$ Тогда в искомом выражении сумма дробей

x+y-+ z+-t z+t x+ y

не изменится, а сумма дробей

x+-z+ y+-z= x2+-x(z+t)+zt+-y2+-y(z+-t)+-zt= y+ t x+ t xy +t(x +y)+ t2

(x+ y)2∕2+(x− y)2∕2+ (x +y)(z +t)+2zt = --(x+-y)2∕4−-(x-− y)2∕4-+t(x-+y)+-t2--

и аналогичная ей (с точностью до перестановки $z,t$ ) сумма дробей

x+-t+ y+-t y+z x+ z

не уменьшатся, так как после приведения к общему знаменателю у получившейся дроби числитель увеличивается при увеличении $(x− y)2,$ а знаменатель уменьшается при увеличении $(x− y)2.$

Такими преобразованиями можно превратить три наименьших числа из $x,y,z,t$ в единицу, а наибольшее — в $k,$ при этом наше выражение будет увеличиваться (точнее, заведомо не уменьшаться). Итак, максимальное значение выражения равно

k+-1+ 1+-1+ k+-1+ 1+-1+ k-+1 + 1-+1 = 3(k+-1)+-6-- 1+ 1 k+ 1 1+ 1 k+ 1 1 +1 k +1 2 k+ 1.

Ответ:

$3(k+-1)+-6-- 2 k+ 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68707

Для произвольных вещественных чисел $x,y,z,t,$ больших $7$ , докажите неравенство:

∘-------------------- 2 2 2 2 4⋅ (x− 3)(y− 4)(z− 5)(t− 6)< (x − 2) + (y− 5) +(z− 7) + (t− 4)

Источники: ИТМО-2023, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа сумма степеней каких-то чисел, а слева корень из произведения других, но прям очень похожих. На какие классические неравенства нам намекает данная конструкция?

Подсказка 2

В данном случае нам следует воспользоваться неравенством о средних, причем левую часть явно стоит оценить сверху, а правую - снизу, значит, и неравенства для них следует использовать различные.

Подсказка 3

Теперь внимательно посмотрите на то, чему равна сумма элементов правой и левой части. Может быть, это как-то поможет свести два неравенства о средних в одно.

Подсказка 4

Не забудьте доказать строгость полученного неравенства, ведь в неравенствах о средних у нас используются знаки ≤ и ≥, а в условие стоит <. Для этого вспомните при каких условиях неравенства о средних обращаются в равенства.

Показать доказательство

По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом

4∘ -------------------- (x−-3)+(y−-4)+(z−-5)+(t− 6) (x − 3)(y − 4)(z− 5)(t− 6)≤ 4

Отсюда

∘ -------------------- (x +y+ z+ t− 18)2 4 ⋅ (x− 3)(y− 4)(z − 5)(t− 6)≤-----4-------

При этом, чтобы это равенство обращалось в равенство, должно выполняться $x − 3 =y − 4= z− 5= t− 6.$

По неравенству о среднем арифметическом и среднем квадратичном

∘ ----------------------------- (x−-2)+(y−-5)+(z−-7)+(t− 4)≤ (x− 2)2+-(y-− 5)2+(z−-7)2+-(t− 4)2 4 4

Отсюда

(x +y +z+ t− 18)2 -------4-------≤ (x− 2)2+ (y− 5)2+(z− 7)2+ (t− 4)2

При этом, чтобы это равенство обращалось в равенство, должно выполняться $x − 2 =y − 5= z− 7= t− 4.$

Таким образом,

-------------------- 2 4⋅∘ (x − 3)(y− 4)(z− 5)(t− 6)≤ (x+-y+-z+t−-18) ≤(x− 2)2 +(y− 5)2+ (z − 7)2+(t− 4)2 4

При этом оба неравенства не могут обращаться в равенство одновременно, следовательно

4⋅∘(x−-3)(y−-4)(z−-5)(t− 6)< (x − 2)2+ (y− 5)2 +(z− 7)2+ (t− 4)2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74579

Положительные числа $x,$ $y$ и $z$ таковы, что $x+y +z =5.$ Какое наименьшее значение может принимать величина $2 2 2 2 2 x + y + 2z − x yz?$

Источники: ИТМО-2022, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно доказать необычное неравенство, поэтому придётся немного поколдовать. Понятно, что надо будет как-то пользоваться неравенствами о средних. Но пока непонятно как. У нас есть информация по поводу суммы x, y и z. А как можно по-другому переписать это неравенство для получения нужных степеней и коэффициентов?

Подсказка 2

Давайте ещё немного вспомогательных намёков. Сумма чисел у нас равна пяти. Тогда удобно сделать и количество слагаемых пять штук. А учитывая, что x и y во второй степени, как хорошо бы преобразовать равенство?

Подсказка 3

Верно, можно записать его в виде x/2 + x/2 +y/2 +y/2 +z=5. Думаю, что у вас получилось! А теперь осталось только применить неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим для такого набора и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Аккуратно посчитайте, и победа!

Показать ответ и решение

Перепишем условие как

x x y y 2 + 2 + 2 + 2 +z = 5

Теперь запишем для этих пяти чисел неравенство о среднем арифметическом и среднем квадратичном:

∘ -2---2---2---2---- ∘ ----------- 1= -x2 +-x2 +-y2 +-y2-+z ≤ x4-+ x4-+ y4 +-y4 +-z2= x2+-y2-+2z2 5 5 10

Следовательно,

x2+y2+ 2z2 ≥ 10

Теперь запишем для этих же чисел неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

x2 + x2 + y2 + y2 + z ∘ x-x-y-y-- 1= ------5-------≥ 5 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅z

Значит,

x2y2z ≤ 16

Получаем, что

x2+y2+ 2z2− x2y2z ≥ 10− 16= −6

Минимум достигается, когда все числа, для которых применяются неравенства о средних, равны между собой, то есть $x= y = 2,$ $z =1.$

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99644

Положительные числа $x,y$ и $z$ таковы, что $xyz = 8$ и $x≤ z$ . Докажите неравенство

x y z 2x 2 + 3 + 6 ≥ z .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала просто внимательно посмотрим на наше неравенство. Что мы можем сказать об этих выражениях? О коэффициентах? О переменных?

Подсказка 2

Интересно, что коэффициенты из левой части в сумме дают 1. Выглядит прямо как среднее арифметическое для чисел х, х, х, у, у и z... А тут ещё и неравенства...

Подсказка 3

Да, давайте применим здесь неравенство для среднего арифметического и геометрического! Преобразуем их с помощью известных условий и будем держать в голове, что x не больше z!

Показать доказательство

Заметим, что сумма коэффициентов в левой части равна единице. Применим неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического для чисел $x,x,x,y,y,z$ :

x y z 6∘----- 6∘ ------x- ∘6x- 2 + 3 + 6 ≥ x3y2z = x2y2z2⋅z =2 z

Поскольку $x≤ z,xz < 1$ и, следовательно, $∘ -- 6 xz ≥ xz.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#73448

Докажите, что для положительных $x,y,z$ выполняется неравенство

375 (x+ y+ z)(4x+ y+2z)(2x+ y+ 8z)≥ 2 xyz

Показать доказательство

Рассмотрим первые две скобки и заметим, что

2 2 (x +y+ z)(4x+ y+ 2z)= (2x+y) + 3z(2x+ y)+ 2z +xy

Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде

(2x+-y)2+-3z(2x+-y)+2z2 2x+-y+8z- 375- ( xy +1)⋅ z ≥ 2

Теперь зафиксируем $z$ и $2x+ y$ и будем сдвигать $2x$ и $y$ друг к другу. При этом $xy$ увеличивается, и достигает максимума при $2x= y,$ остальные части выражения остаются постоянными. Значит, требуемое равенство будет следовать из неравенства, полученного подстановкой в него $y = 2x,$ то есть

(3x+ z)(6x+ 2z)(4x +8z)≥ 375x2z

Обозначим $x t= z,$ тогда неравенство превращается в

8(3t+ 1)2(t+ 2)− 375t2 ≥ 0

Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при $t= 43$ и равен $0,$ что доказывает требуемое неравенство. (таким образом, минимум исходного выражения достигается при $x:y :z = 4:8:3.$ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99086

Известно, что $x,y,z,t$ неотрицательные числа такие, что

xyz =1,y+ z+t= 2.

Докажите, что

2 2 2 2 x +y + z + t≥ 3.

Источники: ИТМО-2016, 9.7 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте постепенно пытаться придумать, как пользоваться тем, что нам дали в условии(а может и не всё пригодится). В неравенстве, которое нам нужно доказать, фигурирует целых 4 переменных. Как можно попытаться избавиться от некоторых из них?

Подсказка 2

От квадратов довольно легко избавиться, потому что тогда выражение будет явно меньше. Но нужно, чтобы после этого осталось что-то хорошее. Давайте попробуем добавить что-то и вычесть для этого. Что это может быть?

Подсказка 3

Сначала давайте ещё внимательно посмотрим на неравенство. Справа у нас стоит тройка, но тогда, скорее всего, это результат применения неравенства о средних для трёх чисел. Давайте попробуем добавить и вычесть 2yz. Как это хорошо преобразуется?

Подсказка 4

Верно, тогда можно собрать (y-z)², а 2yz заменить на 2/x из равенства в условии. Давайте теперь вспомним вторую подсказку. К какому хорошему неравенству можно свести выражение?

Подсказка 5

Конечно, к x²+2/x(если убрать квадраты, то выражение будет точно не больше). Теперь остался последний шаг — это грамотно применить неравенство о средних.

Показать доказательство

Запишем выражение, для которого нам нужно доказать неравенство, и преобразуем его: