Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Комбинаторика и вероятности на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86344

Буквы в симметричном слове АРБУЗУЗУБРА случайно переставили так, что полученное слово отличается от исходного. С какой вероятностью это слово снова будет симметричным? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Источники: ШВБ - 2024, 11.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Всего способов переставить 11 букв (из них по 3 У и по 2 А, Р, Б, З)

----11!---- 11! 2!⋅2!⋅2!⋅2!⋅3! = 96

Чтобы слово было симметричным, на $6$ позиции должна стоять буква У (иначе не будет симметрии, так как оставшиеся буквы идут парами). На позициях с первой по пятую можно поставить $5!$ способами любую последовательность букв. Тогда, чтобы была симметрия, буквы на оставшихся позициях определяются однозначно.

Не учитывая исходное слово, вероятность равна частному количества подходящих исходов (слово симметричное и отличается от исходного) и всех исходов (слово отличается от исходного), то есть

151!−!-1-= -119- -96-− 1 415799

Ответ:

$--119- 415799$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69235

Имеется одна подключенная к сети электрическая розетка, два удлинителя на три розетки каждый и одна настольная лампа в комплекте. Незнайка случайным образом воткнул все три вилки в 3 из 7 розеток. С какой вероятностью загорится лампа?

Источники: ШВБ-2023, 11.2 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Число равновероятных исходов втыкания 3-х вилок в 7 розеток равно $7⋅6⋅5= 210.$ Понятно, что благоприятные исходы, в которых загорелась лампа, можно разбить на три случая: лампа питается напрямую через розетку, лампа питается через 1 удлинитель, лампа питается через 2 удлинителя. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) Лампа питается напрямую через розетку. Т.е. лампа включена в розетку, а другие 2 вилки — в любые 2 из оставшихся 6 разъёмов удлинителей. Значит, число таких благоприятный исходов $6⋅5= 30.$

2) Лампа питается через 1 удлинитель. Т.е. лампа включена в один из 6 разъёмов удлинителей, соединённый с ней удлинитель включен в розетку, а другой — в любой из 5 оставшихся разъёмов удлинителей. Значит, число таких благоприятный исходов $6⋅5= 30.$

3) Лампа питается через 2 удлинителя. Т.е. лампа включена в один из 6 разъёмов удлинителей, соединённый с ней удлинитель включен в один из 3 разъёмов другого удлинителя, а тот — в розетку. Значит, число таких благоприятный исходов $6⋅3= 18.$

В итоге общее количество благоприятных исходов равно $30+ 30+18 =78$ . Следовательно, вероятность того, что лампа загорит, равна $27180 = 1335.$

Ответ:

$13 35$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74502

В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом $V$ и объемом $V∕2$ ) в суммарном количестве 100 штук, причем колб каждого размера не менее трех. Лаборант поочередно случайно выбирает три колбы, и первую из них полностью заполняет 80-процентным раствором соли, вторую полностью заполняет 50-процентным раствором соли, а третью колбу полностью заполняет 20 процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих трех колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб $N$ событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от $45%$ до $55%$ включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.

Источники: ШВБ - 2022, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Если $N$ — имеющееся количество больших колб в лаборатории, $N =3,4,...,$ $97,$ то $n =100− N$ — имеющееся количество малых колб в лаборатории, $n= 3,4,...,97.$ Для события $A = {$ содержание соли в чаше находится в пределах от $45%$ до $55%$ включительно $}$ необходимо найти такое наименьшее $N,$ что вероятность $1 P(A)< 2.$

Мысленно перенумеруем все имеющиеся в лаборатории колбы — присвоим им личные номера от 1 до 100. И тогда равновероятными исходами этого эксперимента будут упорядоченные тройки различных личных номеров последовательно выбираемых лаборантом колб: $ω =(i1,i2,i3),ij ∈{1,2,3,...,100},ij ⁄= ik,j,k= 1,2,3.$ Общее количество таких исходов равно $100⋅99⋅98.$

Вычислим теперь количество благоприятных исходов для появления события $A.$ Рассмотрим следующие случаи, определяемые размерными типами выбранных колб.

1.

Лаборант выбирает три большие колбы — тип [Б, Б, Б]. Тогда процентное содержание соли в чаше в результате описанных манипуляций лаборанта окажется равным величине:

(0,8V-+0,5V-+-0,2V)100 =50% ∈[45%;55%] 3V

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов данного типа, очевидно, равно $N ⋅(N − 1)⋅$ $(N − 2).$

2.

Лаборант выбирает три маленькие колбы — тип [м, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V∕2+0,2V-∕2)100-= 50% ∈ [45%;55% ] 3V∕2

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество исходов в этом случае равно $n⋅(n − 1)⋅(n− 2).$

3.

Лаборант выбирает сначала две большие колбы, затем маленькую — тип [Б, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+-0,5V +-0,2V∕2)100 5V∕2 = 56% ∕∈[45%;55%]

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

4.

Лаборант выбирает последовательно большую, малую и большую колбы — тип [Б, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+-0,5V∕2+0,2V-)100- 5V∕2 = 50% ∈[45%;55%]

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов в этом случае равно $N ⋅n⋅(N − 1).$

5.

Лаборант выбирает сначала малую колбу, затем две большие колбы — тип [м, Б, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V-+0,2V-)100- 5V∕2 = 44% ∕∈[45%;55%]

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

6.

Лаборант выбирает сначала две малые колбы, затем большую колбу — тип [м, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V∕2+0,2V-)100 =42,5% ∕∈[45%; 55% ] 2V

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

7.

Лаборант выбирает последовательно малую, большую и малую колбы — тип [м, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2-+0,5V-+-0,2V∕2)100= 50% ∈ [45%;55%] 2V

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов в этом случае равно $n ⋅N ⋅(n− 1).$

8.

Лаборант выбирает сначала большую, затем две малые колбы — тип [Б, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+0,5V∕2+-0,2V∕2)100 =57,5% ∕∈[45%; 55% ] 2V

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A$ .

Вычисляем вероятность события A (по формуле классической вероятности):

P (A) = N-⋅(N-− 1)⋅(N-−-2)+n-⋅(n−-1)⋅(n-− 2)+-N ⋅n-⋅(N-− 1)+-n⋅N-⋅(n-− 1)= 100⋅99⋅98

N3-+-n3− 3N2-− 3n2+-2(N-+-n)+98Nn- = 100⋅99⋅98 =

100(N2− Nn +n2)− 3N2− 3n2+ 200+ 98Nn 97(N2 +n2)+ 200− 2Nn = --------------100⋅99⋅98------------- = -----100⋅99-⋅98------=

2 = 97(N-+n)-+-200-− 196Nn-= 100⋅99⋅98

= 970200−-196N-(100−-N)= N2-−-100N-+-4950= (N-− 50)2+2450 100⋅99⋅98 4950 4950

Отсюда имеем

P(A)= (N-−-50)2+-2450-< 1⇔ 45< N < 55 4950 2

И значит, $Nmin = 46.$

Ответ: 46

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#98983

Ксюша, Ваня и Вася решили пойти в кино. Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придёт. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с $15:00$ до $16 :00.$ Вася самый терпеливый: если он придёт и на остановке не будет ни Ксюши, ни Вани, то он будет ждать кого-нибудь из них $15$ минут, и если никого не дождётся, то пойдет в кино один. Ваня менее терпеливый: он будет ждать лишь $10$ минут. Ксюша самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Ваня и Вася встретятся, то они будут ждать Ксюшу до $16:00.$ Определить вероятность того, что в кино они пойдут все вместе.

Показать ответ и решение

Так как Ксюша не будет ждать остальных, то нам подходит только тот случай, когда Ксюша придет последней. Так как время прибытия ребят — независимые события, то вероятность того, что все ребята пойдут в кино будет равна произведению вероятности, что Ксюша придет последней и вероятности того, что Ваня и Ваня встретятся.

Вероятность, что Ксюша придет последней равна

2 1 3! = 3

Вероятность, что Вася и Ваня встретятся находится геометрически. Пусть $x$ — время прибытия Васи, а $y$ — время прибытия Вани. Тогда при $0 ≤x ≤60$ и $0≤ y ≤ 60:$

{ { y ≥ x или x≥ y y− x≤ 15 x− y ≤10

Нарисуем график исходя из этой системы:

$PIC$

Следовательно, вероятность того, что Ваня и Вася встретятся, равна

2 1 2 1 2 60-−-2 ⋅45-−2-⋅50-= 107- 602 288

В итоге вероятность того, что все пойдут в кино, равна

1 107 107 3 ⋅288 = 864

Ответ:

$107 864$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#69859

Ваня и Дима пошли на рынок. У Вани было $1000$ рублей, а у Димы — $2000$ рублей. Они покупали что-то независимо друг от друга, а в какой-то момент они встретились и решили купить модель танка за $1800$ рублей. Найдите вероятность того, что оставшейся у них суммы хватит на это. Замечание. Условие нужно понимать так: у обоих мальчиков в момент встречи равновероятно может оказаться любое количество рублей, не превосходящее исходной суммы.

Источники: ШВБ-2018, 9.3 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Визуализируем вероятности на координатной плоскости. Заметим, что, взяв в качестве длины одного деления $200,$ мы можем считать, что равновероятно находимся в каждой точке прямоугольника размера $5 ×10ABCD$ (или размера $1000× 2000$ ).

$PIC$

Нас интересует, когда $x +y ≥1800$ — на нашей плоскости это не ниже прямой $x +y = 9.$ Нетрудно посчитать, что она пересекает прямоугольник в точках $E(0,9),T(4,5).$ Тогда итоговый ответ можно найти, как отношение площадей

p= STEBC-= 1+26⋅5 =0.35 SABCD 50

Ответ:

$0,35$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#98979

Дима посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером $15$ см на $20$ см круглую кляксу радиусом $2$ см. Сразу после этого Дима посадил ещё одну такую кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы пересекаются.

Показать ответ и решение

Так как клякса имеет радиус $2$ см, следовательно центр кляксы будет расположен внутри прямоугольника $11$ см на $16$ см. Чтобы кляксы пересекались нужно чтобы расстояние между центрами двух клякс было не больше $4$ см. Тогда вероятность того, что вторая клякса будет пересекаться с первой будет равна:

π ⋅42 π 11⋅16 = 11

Ответ:

$-π 11$