Стереометрия на Звезде

Пусть плоскости и пересекаются по прямой Рассмотрим треугольник Пусть

В треугольнике проведём прямые и параллельные

По теореме Фалеса имеем

Учитывая, что получаем, что

Пусть Так как

то в силу теоремы Фалеса прямые и параллельны, и, следовательно,

Обозначим основание пирамиды — , вершину пирамиды — , центр сферы — , радиус сферы — . Пусть . Обозначим .

Так как радиус, проведённый в точку касания сферы и плоскости, ортогонален плоскости, имеем:

С другой стороны, так как боковые рёбра попарно перпендикулярны, то

Поэтому

Числа находятся из системы уравнений:

Складывая уравнения системы и деля на два, получим:

откуда . Тогда

Так как плоскость параллельна плоскости основания то

Пирамиды и подобны, тогда их объёмы относятся как коэффициент подобия в кубе:

Пусть тогда Заметим, что объём пирамиды складывается из двух кусочков: объём которой мы знаем, и Причём эти 2 пирамиды имеют общее основание тогда их объёмы относятся так же, как относятся их высоты к А высоты относятся так же, как относятся и то есть высота пирамиды больше высоты пирамиды в Значит,

Из условия задачи сторона основания пирамиды равна , апофема боковой грани — Тогда высота пирамиды Объём пирамиды равен

С другой стороны, объём пирамиды можно найти как сумму объёмов пяти пирамид, вершина которых — точка , а основания — грани пирамиды . Тогда , где — расстояния от точки до граней пирамиды (или высоты маленьких пирамид). Приравнивая объёмы, получаем

Заметим при этом, что сумма расстояний не зависит от расположения точки внутри данной пирамиды.

Найдём длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда. Он проходит по двум смежным граням. Развёртка этих граней — прямоугольник.

Здесь возможны три варианта в зависимости от длины общего ребра этих граней: , . Наименьшее расстояние между двумя противоположными вершинами прямоугольника — длина его диагонали. Наименьшую длину имеет диагональ третьего прямоугольника. Она равна и больше