Тема Геометрия помогает алгебре

Задачи на движение: графический подход

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия помогает алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103890

Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел пешеход. Вслед за ним через $2$ ч из пункта $A$ выехал велосипедист, а еще через $30$ мин — мотоциклист. Все участники движения перемещались равномерно и без остановок.

Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от $A$ до $B.$ На сколько минут раньше пешехода прибыл в пункт $B$ велосипедист, если пешеход прибыл туда на $1$ ч позже мотоциклиста?

Показать ответ и решение

Рассмотрим координатную плоскость, по оси абсцисс будем откладывать время $t$ , а по оси ординат — пройденный путь $s.$

$PIC$

Пусть отрезки $OD,EF,MN$ — графики движения пешехода, велосипедиста и мотоциклиста соответственно. По условию эти отрезки имеют общую точку $K$ с ординатой $a,OE = 2,EM =0,5$ , $ND =1$ , точки $N,F,D$ лежат на прямой $s= a+ b,F D= x$ , где $x$ — искомое время в часах.

Так как $ND ∥OM$ , то $ONMD-= OFED-$ , откуда

x = OE-⋅ND--= 2--= 4 OM 2,5 5

$4⋅60= 48 5$ минут.

Ответ: на 48

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119607

Компания друзей совершала пробежку по прямолинейному участку шоссе: мальчики бежали в одном направлении, девочки — в противоположном. Через $t1$ мин после того, как Паша обогнал Ваню, он поравнялся с Таней, а затем через $t2$ мин оказался рядом с бегущей Машей. Спустя еще $t3$ мин Маша повстречалась с Ваней. Наконец, еще $t4$ мин понадобилось ей чтобы догнать Таню. Известно, что $t1 :t2 = 1:2,$ а $t3 :t4 = 1:1.$ Сколько времени было на часах, когда Ваня поравнялся с Таней, если известно, что Паша догнал Ваню в 12 часов дня, Маша была в одной точке шоссе с Ваней в момент, когда часы показывали 14 часов, а скорость бега всех участников была постоянной и различной для каждого?

Источники: Росатом - 2025, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Изобразим на координатной плоскости графики зависимости координаты от времени для участников пробежки $(SOt).$

$PIC$

Вершины треугольника $ABC$ — точки встречи Вани и Паши $(A ),$ Маши и Паши $(B),$ Маши и Тани $(C).$ Точка $M$ на стороне $AB$ треугольника — точка встречи Паши и Тани. Точка $N$ на стороне $BC$ треугольника — точка встречи Вани и Маши.Точка $P$ — пересечение отрезков $CM$ и $AN$ — точка встречи Вани и Тани, $t$ — время встречи Вани и Тани.

Так как $t1 :t2 =1 :2,$ то пусть $s$ и $2s$ — длины отрезков $AM$ и $MB$ соответственно; аналогично, так как $t3 :t4 =1 :1,$ то пусть $r$ и $r$ — длины отрезков $BN$ и $NC$ соответственно.

По теореме Менелая для $△BAN$ имеем:

BM--⋅ AP-⋅ NC =1 MA PN CB

2s ⋅ AP-⋅-r-= 1 s PN r+ r

AP- PN = 1

Так как отношение отрезков такое же, как отношение их проекций, то

1= AP- = t−-12- PN 14 − t

Получаем $t= 13.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69821

Пешеход, велосипедист и мотоциклист едут по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход обгонял их на 4 км. В тот момент, когда велосипедист догнал пешехода, мотоциклист обгонял их на 6 км. На сколько километров велосипедист отставал от мотоциклиста в тот момент, когда мотоциклист обгонял пешехода?

Источники: САММАТ-2023, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Построим схематично график движения.

По условию задачи $AB = 4$ км, $EF = 6$ км, а требуется найти $CD.$ Очевидно, что треугольники $ABD$ и $EDF$ подобны и их коэффициент подобия $k = 4= 2. 6 3$ С другой стороны, треугольники $ACD$ и $AEF$ также подобны и их коэффициент подобия равен

--2x--= 2 2x+ 3x 5

Значит, $CD =6 ⋅ 2= 2,4. 5$

Ответ: 2,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74915

Олег и Оливер гоняют на велосипедах с одинаковыми угловыми скоростями: Оливер — по круговой траектории $𝒜,$ а Олег — по круговой траектории $𝒯$ в два раза меньшего радиуса, причем они стартуют с двух ближайших точек окружностей и круг Олега лежит внутри круга Оливера. По окружности $𝒯$ также движутся два помощника, поддерживающих экран (т.е. хорду с концами в точках, в которых расположены помощники) так, что расстояние от каждого из них до Олега всегда такое же, как и расстояние от Олега до Оливера. Докажите, что на протяжении всей гонки экран касается некоторой фиксированной окружности.

Источники: Иннополис-2022 (см. dovuz.innopolis.university)

Показать доказательство

Обозначим за $O,V,X$ и $Y$ Олега, Оливера и двух помощников соответственно, за $S$ — центр положительной гомотетии окружностей $𝒯$ и $𝒜.$ Из условия следует, что прямая $V O$ всегда проходит через $S,$ причем, так как радиусы окружностей отличаются в два раза, отрезок $SV$ делится точкой $O$ пополам. Отметим точку $R ⁄= O$ — пересечение луча $OS$ с $𝒯.$ Поскольку равные хорды стягивают равные меньшие дуги, точка $O$ — середина дуги $XOY,$ то есть прямая $RO$ содержит внутреннюю биссектрису треугольника $XRY,$ а еще $OS = OV =OX =OY.$ По лемме о трезубце это означает, что точка $S$ является центром вписанной окружности треугольника $XRY$ $($ обозначим эту окружность за $ω).$

$PIC$

Покажем, что $ω$ является искомой окружностью. Она касается отрезка $XY$ в силу построения, поэтому достаточно проверить, что она не зависит от времени. Как показано выше, центр $ω$ — это $S,$ обозначим ее радиус за $r$ . Также обозначим за $d$ расстояние между центрами $ω$ и $𝒯,$ а за $R$ — постоянный радиус $𝒯.$

Посчитаем степень точки $S$ относительно $𝒯$ двумя способами:

d2− r2 = −RO ⋅SO = −RO ⋅OX =− RO⋅2R sin∠XRO = −2Rr

Величины $d$ и $R$ не зависят от времени, поэтому $r$ также от него не зависит, следовательно, окружность $ω$ имеет постоянный центр и радиус, что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76628

Петя пришел на остановку автобуса, едущего до школы с остановками равноотстоящими друг от друга, и, не увидев автобуса на дороге, решил пробежаться и сесть в автобус на следующих остановках по пути в школу. Бежал Петя так, что в любой момент времени мог заметить появление автобуса на дороге за своей спиной. Увидев автобус, Петя может повернуть назад или сохранить направление движения. Известно, что скорость движения автобуса в 4 раза превосходит скорость бега Пети, а увидеть автобус он может на расстоянии не более 1 км. Найти наибольшее значение расстояния между остановками, при котором независимо от того повернет Петя назад при обнаружении автобуса или нет, он сможет сесть в автобус на остановке. (время нахождения автобуса на остановке не учитывать)

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $A$ — положение автобуса на дороге в момент, когда его увидел Петя, $P$ — положение Пети на дороге в момент, когда он увидел автобус, $B$ — положение последней остановки, которую миновал Петя к моменту, когда он увидел автобус, $C$ — положение следующей за $B$ остановки, $a$ — расстояние между остановками, $X$ — расстояние между точками $B$ и $P$ , $v$ — скорость бега Пети.

Рассмотрим несколько случаев

Случай 1. Увидев автобус, Петя повернул назад. Петя окажется на остановке $B$ не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

x≤ 1−-x⇒ x ≤ 1 v 4v 5

Случай 2. Увидев автобус, Петя не изменил направления движения. Петя окажется на остановке $C$ не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

a−-x 1− x-+a 1 v ≤ 4v ⇒ a− x≤ 3

Наибольшее допустимое значение $a$ соответствует пересечению прямых $1 x= 5$ и $1 a= x+ 3.$ В итоге находим $-8 amax = 15.$

Ответ:

$-8 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90129

Из пункта А в пункт Б выехал велосипедист, а через четверть часа вслед за ним выехал автомобиль. На половине пути от А до Б автомобиль догнал велосипедиста. Когда автомобиль прибыл в пункт Б, велосипедисту оставалось проехать еще треть пути. За какое время велосипедист проехал путь из А в Б, если известно, что скорости автомобиля и велосипедиста постоянны на всем пути от пункта А в пункт Б?

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста равна $v 1$ км / мин, скорость автомобиля равна $v 2$ км / мин, а расстояние между пунктами равно $S$ км, тогда

S∕2 S∕2 2S∕3 S v1-= v2-+ 15, -v1-= v2 + 15

15= 2Sv-− 2Sv-= 23Sv-− Sv- 1 2 1 2

S--= S-- 6v1 2v2

v2 = 3v1

Отсюда $2Sv-= S6v--+15 1 1$ $\text{[math]}$ $S = 45v1$ , то есть велосипедист потратил на дорогу $Sv-= 45 1$ минут.

Замечание. Как эта задача выглядит при графическом подходе к решению:

$PIC$

Ответ: 45 минут

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105229

Четыре лифта небоскреба, отличающиеся цветовой гаммой (красный, синий, зеленый и желтый) движутся в разных направлениях и с разной, но постоянной скоростью. Наблюдая за лифтами, некто включил секундомер, и, глядя на его показания, стал записывать: 36-я секунда — красный лифт догнал синий (двигаясь с ним в одном направлении). 42-я секунда — красный лифт разминулся с зеленым (двигаясь в разных направлениях), 48-я секунда — красный лифт разминулся с желтым, 51-я секунда — желтый лифт разминулся с синим, 54-я секунда — желтый лифт догнал зеленый лифт. На какой секунде от начала отсчета зеленый лифт разминется с синим, если за период наблюдения лифты не останавливались и не меняли направления движения?

Источники: ШВБ - 2020, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Занумеруем лифты: красный — первый, синий — второй, зеленый — третий, желтый — четвертый. Лифты движутся с постоянными скоростями, следовательно, для каждого лифта пройденное расстояние $Si, i=1,2,3,4,$ в некоторой системе координат зависит от времени по закону.

Si = kit+ bi

По условию задачи красный и синий лифт движутся в одном направлении, причем красный догоняет синий, следовательно:

k1⋅k2 > 0, k1 > k2

Пусть $k1 >0,$ тогда и $k2 > 0.$

Зеленый и желтый лифты движутся в противоположном направлении с двумя первыми, и желтый догоняет зеленый, следовательно:

k < 0, k <0,k < k. 3 4 3 4

Построим графики функций согласно условию задачи.

$PIC$

Нужно определить абсциссу точки $M.$ Точка $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC.$ Воспользуемся теоремой Фалеса:

AM-- x−-36- 2 MD = 51 − x = 1 =⇒ x= 46

Ответ:

на 46 секунде

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#64357

Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта В осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт С, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 6 (cpk.msu.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим график движения, где по $ADCB$ двигался первый катер, а по $AB$ — второй

$PIC$

Здесь $AE = 8$ из условия, $AD$ и $BC$ параллельны (тангенсы их углов наклона к оси равны скорости катера вниз по реке), откуда $△ADF ∼△BCF$ с коэффициентом $2:1$ ( $∠ADF = ∠FCB$ ), откуда на отрезке $CB$ первый катер прошёл 4 км.

Ответ:

4 километра

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#64356

Пункты $A$ , $B$ , $C$ расположены последовательно, причём расстояние $AB$ равно 3 км, а расстояние $BC$ равно 4 км. Из пункта $A$ выехал велосипедист и поехал в пункт $C$ . Одновременно с ним из пункта $B$ вышел пешеход и направился в пункт $A$ . Известно, что пешеход и велосипедист пришли в пункты $A$ и $C$ одновременно. Найдите, на каком расстоянии от пункта $A$ они встретились.

Источники: ПВГ 2015

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$

Тогда по условию $XZ =3$ и $TY = 7.$ Из признака подобия $OX-= XZ= 3. OY TY 7$ Отсюда доля пути из $A$ в $C$ , которую проехал велосипедист до его встречи с пешеходом равна $OX- 3- XY = 10$ . Значит, от точки встречи до пункта $A$ расстояние $-3 10 ⋅AC = 2,1.$

Ответ:

2100 метров

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#80604

Василий выехал из пункта $A$ в пункт $B$ на велосипеде. Проехав треть пути, велосипед Василя сломался. Не теряя времени, Василий пошел пешком обратно в пункт $A$ . В момент поломки из пункта $A$ выехал мотоциклист Михаил. На каком расстоянии от пункта $A$ он встретит Василия, если расстояние между пунктами $A$ и $B$ $4$ км, скорости велосипедиста, мотоциклиста и пешехода постоянны, а Василий доберется до пункта $A$ тогда же, когда Михаил до пункта $B$ ?

Источники: ДВИ - 2015, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку Григорий проехал втрое больше до пункта $B$ , чем Василий прошёл до $A$ , то его скорость втрое выше. Тогда на момент встречи он проехал $3 4$ расстояния между ними, откуда расстояние до пункта $A$ на момент встречи будет $1 3 3 ⋅4 ⋅4=1$ (км).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Ломаная $AYV$ — график движения Василия, а отрезок $XU$ — график движения Михаила $UV =PT = AB =4$ .

$PIC$

Так как треугольник $XY Z$ подобен треугольнику $UV Z$ , то

XZ-= XY-= 1, ZU UV 3

а так как треугольник $XP Z$ подобен треугольнику $UT Z$ , то

PZ- XZ- 1 ZT = ZU = 3.

Значит,

UV 4 P Z =-4- =4 = 1

Ответ: 1 км

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#80603

В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее вышел катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось идти 500 метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый» развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», «Смелый» развернулся и направились обратно в Нижнее. В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если скорости катеров в стоячей воде одинаковые и постоянны.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Графики движения катеров в осях время и расстояние изображены на рисунке:

$PIC$

Ломаная $ABC$ - график движения «Быстрого», а ломаная $DEF$ «Смелого». Пусть $S$ расстояние (в километрах) от Верхнего до Нижнего, $T$ — время (в минутах) движения «Быстрого» вниз по течению. Из подобия треугольников $ABC$ и $DEF$ получаем $S−S−1∕12= 1188−T$ .

Из подобия треугольников $CHG$ и $CBQ$ : $S1−∕21∕2-= 184−T-$ . Из этих равенств получаем $S−-1∕2= -18∕8-= ---9-- ⇔ 4(S − 1∕2)2 =9(S− 1)⇔ 4S2 − 13S+ 10= 0 S−1 S−1∕2 4(S−1∕2)$ Значит или $S = 2,$ или $S = 5 4$ . Так каk $T$ и 18 - Т времена прохождения одного и того же пути по и против течения, то $T < 18− T ⇔ T < 9.$ Поэтому получаем $S−-1∕2= -18-< 2⇔ S > 3 S−1 18−T 2$ .

Ответ: 2 км

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64355

Из пункта А в пункт В в 7:00 вышел пешеход, а через некоторое время из В в А выехал всадник. Пешеход пришел в В через 10 часов после выезда оттуда всадника. Всадник приехал в А в 12:00 того же дня. Скорости пешехода и всадника постоянны. Какую долю пути из А в В прошел пешеход до его встречи со всадником?

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$