Тема Геометрия помогает алгебре

Задачи на движение: графический подход

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия помогает алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69821

Пешеход, велосипедист и мотоциклист едут по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход обгонял их на 4 км. В тот момент, когда велосипедист догнал пешехода, мотоциклист обгонял их на 6 км. На сколько километров велосипедист отставал от мотоциклиста в тот момент, когда мотоциклист обгонял пешехода?

Источники: САММАТ-2023, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, перед нами задачка на одновременное движение нескольких объектов. Можно было бы записать систему уравнений и пытаться как-то решать с её помощью, но есть еще один очень интересный способ. Давайте построим график S(t), да-да, именно так, как мы делаем это в физике.

Подсказка 2

Пускай график перемещения мотоциклиста пересекается с графиком велосипедиста в точке A, а график пешехода - в точке D. А графики перемещения велосипедиста и пешехода пересекаются в точке E. Пускай точка B - точка на графике пешехода в момент, когда мотоциклист встретился с велосипедистом, C - точка на графике велосипедиста в момент, когда мотоциклист встретился с пешеходом, а F - точка на графике мотоциклиста в момент, когда велосипедист встретился с пешеходом. Что мы можем сказать по данному рисунку про пары треугольников △ABE, △CDE и △ABD, △FDE?

Подсказка 3

Абсолютно верно, △ABE подобен △CDE, а △ABD подобен △FDE. Так же из условия нам известны расстояния AB и EF. Теперь воспользуйтесь подобиями и длинами расстояний, чтобы найти CD.

Показать ответ и решение

$PIC$

Построим схематично график движения.

По условию задачи $AB = 4$ км, $EF = 6$ км, а требуется найти $CD.$ Очевидно, что треугольники $ABD$ и $EDF$ подобны и их коэффициент подобия $k = 4= 2. 6 3$ С другой стороны, треугольники $ACD$ и $AEF$ также подобны и их коэффициент подобия равен

--2x--= 2 2x+ 3x 5

Значит, $CD =6 ⋅ 2= 2,4. 5$

Ответ: 2,4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74915

Олег и Оливер гоняют на велосипедах с одинаковыми угловыми скоростями: Оливер — по круговой траектории $𝒜,$ а Олег — по круговой траектории $𝒯$ в два раза меньшего радиуса, причем они стартуют с двух ближайших точек окружностей и круг Олега лежит внутри круга Оливера. По окружности $𝒯$ также движутся два помощника, поддерживающих экран (т.е. хорду с концами в точках, в которых расположены помощники) так, что расстояние от каждого из них до Олега всегда такое же, как и расстояние от Олега до Оливера. Докажите, что на протяжении всей гонки экран касается некоторой фиксированной окружности.

Источники: Иннополис-2022 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим за O,V,X и Y Олега, Оливера и двух помощников соответственно. Если нарисовать рисунок, то от нас явно спрятали какую-то известную и хорошую "картинку", посмотрите на равные отрезки, которые нам даны и на окружность 𝒯.

Подсказка 2

Верно, как будто нам показывают лишь часть картинки леммы о трезубце! Попробуйте восстановить точку, которую от нас спрятали и подумать, как эта точка поможет нам в задаче.

Подсказка 3

Давайте ещё заметим, что у нас получилась как бы "картинка в картинке", возможно, тут поможет гомотетия, попробуйте посмотреть на центр положительной гомотетии окружностей 𝒯 и 𝒜.

Подсказка 4

Да это же центр нашей искомой окружности, ещё не совсем, но можно попробовать это доказать! Мы уже знаем, что она точно касается экрана и её центр не меняется, остаётся показать, что её радиус тоже фиксирован, а какой факт связывает точку, окружность и радиус?

Подсказка 5

Можно использовать степень точки S относительно 𝒯, останется только "перекинуть" равные отрезки так, чтобы остались только фиксированные величины (из исходной "картинки") и радиус окружности с центром в S.

Показать доказательство

Обозначим за $O,V,X$ и $Y$ Олега, Оливера и двух помощников соответственно, за $S$ — центр положительной гомотетии окружностей $𝒯$ и $𝒜.$ Из условия следует, что прямая $V O$ всегда проходит через $S,$ причем, так как радиусы окружностей отличаются в два раза, отрезок $SV$ делится точкой $O$ пополам. Отметим точку $R ⁄= O$ — пересечение луча $OS$ с $𝒯.$ Поскольку равные хорды стягивают равные меньшие дуги, точка $O$ — середина дуги $XOY,$ то есть прямая $RO$ содержит внутреннюю биссектрису треугольника $XRY,$ а еще $OS = OV =OX =OY.$ По лемме о трезубце это означает, что точка $S$ является центром вписанной окружности треугольника $XRY$ $($ обозначим эту окружность за $ω).$

$PIC$

Покажем, что $ω$ является искомой окружностью. Она касается отрезка $XY$ в силу построения, поэтому достаточно проверить, что она не зависит от времени. Как показано выше, центр $ω$ — это $S,$ обозначим ее радиус за $r$ . Также обозначим за $d$ расстояние между центрами $ω$ и $𝒯,$ а за $R$ — постоянный радиус $𝒯.$

Посчитаем степень точки $S$ относительно $𝒯$ двумя способами:

d2− r2 = −RO ⋅SO = −RO ⋅OX =− RO⋅2R sin∠XRO = −2Rr

Величины $d$ и $R$ не зависят от времени, поэтому $r$ также от него не зависит, следовательно, окружность $ω$ имеет постоянный центр и радиус, что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76628

Петя пришел на остановку автобуса, едущего до школы с остановками равноотстоящими друг от друга, и, не увидев автобуса на дороге, решил пробежаться и сесть в автобус на следующих остановках по пути в школу. Бежал Петя так, что в любой момент времени мог заметить появление автобуса на дороге за своей спиной. Увидев автобус, Петя может повернуть назад или сохранить направление движения. Известно, что скорость движения автобуса в 4 раза превосходит скорость бега Пети, а увидеть автобус он может на расстоянии не более 1 км. Найти наибольшее значение расстояния между остановками, при котором независимо от того повернет Петя назад при обнаружении автобуса или нет, он сможет сесть в автобус на остановке. (время нахождения автобуса на остановке не учитывать)

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Это задача на движение и скорости. Значит, здесь можно ввести достаточное количество переменных и тождественными преобразованиями/оценками получить всё, что нам нужно. Если расстояние до остановки, которая сзади Пети - x, а расстояние между остановками равно а (в момент того, как Петя увидел автобус), то нам надо понять, для каких а как надо поступать Пете, чтобы точно сесть на автобус.

Подсказка 2

Это зависит от неравенства со скоростями. Пете удобно бежать к задней остановке, если x/v ≤ (1 - x) / (4v), где v - скорости Пети. То есть когда расстояние до остановки сзади не больше 1/5. Попробуйте написать такое же неравенство, когда ему надо бежать к передней остановке и понять, как оба этих неравенства ограничивают а.

Подсказка 3

(a - x)/v ≤ (1 - x - a)/(4v). Остаётся только написать пример, когда это достигается, но это очевидно делается, если понять, когда в каждом нашем неравенстве достигается равенство.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $A$ — положение автобуса на дороге в момент, когда его увидел Петя, $P$ — положение Пети на дороге в момент, когда он увидел автобус, $B$ — положение последней остановки, которую миновал Петя к моменту, когда он увидел автобус, $C$ — положение следующей за $B$ остановки, $a$ — расстояние между остановками, $X$ — расстояние между точками $B$ и $P$ , $v$ — скорость бега Пети.

Рассмотрим несколько случаев

Случай 1. Увидев автобус, Петя повернул назад. Петя окажется на остановке $B$ не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

x≤ 1−-x⇒ x ≤ 1 v 4v 5

Случай 2. Увидев автобус, Петя не изменил направления движения. Петя окажется на остановке $C$ не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

a−-x 1− x-+a 1 v ≤ 4v ⇒ a− x≤ 3

Наибольшее допустимое значение $a$ соответствует пересечению прямых $1 x= 5$ и $1 a= x+ 3.$ В итоге находим $-8 amax = 15.$

Ответ:

$-8 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90129

Из пункта А в пункт Б выехал велосипедист, а через четверть часа вслед за ним выехал автомобиль. На половине пути от А до Б автомобиль догнал велосипедиста. Когда автомобиль прибыл в пункт Б, велосипедисту оставалось проехать еще треть пути. За какое время велосипедист проехал путь из А в Б, если известно, что скорости автомобиля и велосипедиста постоянны на всем пути от пункта А в пункт Б?

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста равна $v 1$ км / мин, скорость автомобиля равна $v 2$ км / мин, а расстояние между пунктами равно $S$ км, тогда

S∕2 S∕2 2S∕3 S v1-= v2-+ 15, -v1-= v2 + 15

15= 2Sv-− 2Sv-= 23Sv-− Sv- 1 2 1 2

S--= S-- 6v1 2v2

v2 = 3v1

Отсюда $2Sv-= S6v--+15 1 1$ $\text{[math]}$ $S = 45v1$ , то есть велосипедист потратил на дорогу $Sv-= 45 1$ минут.

Замечание. Как эта задача выглядит при графическом подходе к решению:

$PIC$

Ответ: 45 минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#64357

Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта В осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт С, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Длину какого отрезка мы тогда хотим найти?

Подсказка 2

Конечно проекции отрезка Василия “после отправления из С” на ось расстояния! При этом мы знаем длину проекции отрезка Василия “до встречи с Григорием”. Что можем сказать про связь этих отрезков (не проекций) в геометрическом плане?

Подсказка 3

Они параллельны! А что мы знаем про проекции отрезков с некоторых параллельных прямых на третью прямую?

Подсказка 4

Проекции соотносятся так же, как и длины самих отрезков! Этот факт нетрудно доказывается с применением обобщенной теоремы Фалеса. Остается только найти соотношение из планиметрических соображений и вычислить искомую длину.

Показать ответ и решение

Рассмотрим график движения, где по $ADCB$ двигался первый катер, а по $AB$ — второй

$PIC$

Здесь $AE = 8$ из условия, $AD$ и $BC$ параллельны (тангенсы их углов наклона к оси равны скорости катера вниз по реке), откуда $△ADF ∼△BCF$ с коэффициентом $2:1$ ( $∠ADF = ∠FCB$ ), откуда на отрезке $CB$ первый катер прошёл 4 км.

Ответ:

4 километра

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64356

Пункты $A$ , $B$ , $C$ расположены последовательно, причём расстояние $AB$ равно 3 км, а расстояние $BC$ равно 4 км. Из пункта $A$ выехал велосипедист и поехал в пункт $C$ . Одновременно с ним из пункта $B$ вышел пешеход и направился в пункт $A$ . Известно, что пешеход и велосипедист пришли в пункты $A$ и $C$ одновременно. Найдите, на каком расстоянии от пункта $A$ они встретились.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Не забывайте, что стартовые и конечные точки у пешехода и велосипедиста разные. Длину какого отрезка мы тогда хотим найти?

Подсказка 2

Конечно проекции отрезка велосипедиста на ось расстояния! При этом мы знаем длину проекции всего отрезка велосипедиста. А что мы точно можем сказать про проекции отрезков с некоторой прямой на другую прямую?

Подсказка 3

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$

Тогда по условию $XZ =3$ и $TY = 7.$ Из признака подобия $OX-= XZ= 3. OY TY 7$ Отсюда доля пути из $A$ в $C$ , которую проехал велосипедист до его встречи с пешеходом равна $OX- 3- XY = 10$ . Значит, от точки встречи до пункта $A$ расстояние $-3 10 ⋅AC = 2,1.$

Ответ:

2100 метров

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80604

Василий выехал из пункта $A$ в пункт $B$ на велосипеде. Проехав треть пути, велосипед Василя сломался. Не теряя времени, Василий пошел пешком обратно в пункт $A$ . В момент поломки из пункта $A$ выехал мотоциклист Михаил. На каком расстоянии от пункта $A$ он встретит Василия, если расстояние между пунктами $A$ и $B$ $4$ км, скорости велосипедиста, мотоциклиста и пешехода постоянны, а Василий доберется до пункта $A$ тогда же, когда Михаил до пункта $B$ ?

Источники: ДВИ - 2015, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте построим график движения, будем рассматривать расстояние от пункта А относительно времени.

Подсказка 2

Строим графики движения обоих велосипедистов и далее вспоминаем про подобие треугольников!

Показать ответ и решение

$PIC$

Ломаная $AY V$ — график движения Василия, а отрезок $XU$ — график движения Михаила $UV = PT = AB = 4$ . Так как треугольник $XY Z$ подобен треугольнику $UVZ$ , то $XZZU-= XUYV-= 13,$ а так как треугольник $XP Z$ подобен треугольнику $UT Z$ , то $PZZT = XZZU-= 13$ . Значит $PZ = UV4-= 44 = 1$

Ответ: 1 км

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80603

В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее вышел катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось идти 500 метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый» развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», «Смелый» развернулся и направились обратно в Нижнее. В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если скорости катеров в стоячей воде одинаковые и постоянны.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте построим график движения, будем рассматривать расстояние от Верхнего относительно времени.

Подсказка 2

Обозначаем за S расстояние между Верхним и Нижним, а Т — время «Быстрого» вниз по течению, обозначаем на графике всю известную информацию, и пользуемся фактами планиметрии, в том числе подобием треугольников, чтобы выражать те отрезки, которые можем.

Подсказка 3

Находим, какие есть варианты для S и помним о том, что по течению корабли плывут быстрее, чем против, чтобы на основе этого составить строгую оценку!

Показать ответ и решение

Графики движения катеров в осях время и расстояние изображены на рисунке:

$PIC$

Ломаная $ABC$ - график движения «Быстрого», а ломаная $DEF$ «Смелого». Пусть $S$ расстояние (в километрах) от Верхнего до Нижнего, $T$ — время (в минутах) движения «Быстрого» вниз по течению. Из подобия треугольников $ABC$ и $DEF$ получаем $S−S−1∕12= 1188−T$ .

Из подобия треугольников $CHG$ и $CBQ$ : $S1−∕21∕2-= 184−T-$ . Из этих равенств получаем $S−-1∕2= -18∕8-= ---9-- ⇔ 4(S − 1∕2)2 =9(S− 1)⇔ 4S2 − 13S+ 10= 0 S−1 S−1∕2 4(S−1∕2)$ Значит или $S = 2,$ или $S = 5 4$ . Так каk $T$ и 18 - Т времена прохождения одного и того же пути по и против течения, то $T < 18− T ⇔ T < 9.$ Поэтому получаем $S−-1∕2= -18-< 2⇔ S > 3 S−1 18−T 2$ .

Ответ: 2 км

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#64355

Из пункта А в пункт В в 7:00 вышел пешеход, а через некоторое время из В в А выехал всадник. Пешеход пришел в В через 10 часов после выезда оттуда всадника. Всадник приехал в А в 12:00 того же дня. Скорости пешехода и всадника постоянны. Какую долю пути из А в В прошел пешеход до его встречи со всадником?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Не забывайте, что стартовые точки у пешехода и всадника разные как по времени, так и по “расстоянию” относительно кого-то из них. Соотношение длин каких отрезков мы хотим найти?

Подсказка 2

Нам нужны проекции отрезков пешехода “до встречи” и “всего пути” на ось расстояния. Что мы точно можем сказать про проекции отрезков с некоторой прямой на другую прямую?

Подсказка 3

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$