Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написан квадратный трёхчлен 
. Таня (по своему усмотрению) увеличивает или уменьшает на 1 коэффициент при 
,
после чего Ваня увеличивает или уменьшает на фиксированное число 
свободный член, а далее эти действия повторяются. Как только
написанный на доске многочлен имеет целый корень, Ваня получает оценку «пять». Может ли он обеспечить себе «пятёрку» при любых
действиях Тани, если
(b) 
Пункт а, подсказка 1
За значением в какой точке x_0 несложно наблюдать, если Таня увеличивает или уменьшает значение многочлена на x_0? Какое значение у многочлена в этой точке сейчас и какие действия должен сделать Ваня, чтобы максимально приблизить его к 0?
Пункт а, подсказка 2
Рассмотрим значение f(x) = x^2 + 9x + 47 в точке 1. Какое оно сейчас? Как может действовать Ваня и насколько сильно можно приблизить значение f(1) к нулю?
Пункт а, подсказка 3
Ваня может всегда уменьшать f(1) и сделать так, чтобы -1 <= f(1) <= 1. Осталось лишь рассмотреть ходы Тани после этого и придумать ответные действия!
Пункт б, подсказка 1
Можно попробовать поиграть за наших героев и подставлять различные иксы. Что можно заметить? Какова связь с нашим m? Может ли обнулиться значение? Найдем какой-нибудь инвариант.
Пункт б, подсказка 2
Обратите внимание, что Ваня своими действиями не влияет на делимость многочлена на 3. А что делать Тане, чтобы не допустить кратности трём?..
(a) Пусть 
Ваня сможет за конечное количество ходов добиться 
Вначале 
Далее каждым своим ходом Ваня может уменьшать 
и добиться, чтобы (после его хода) 
Если Таня сделает 
равным нулю (или оно уже равно нулю), то Ваня сразу выиграл.
Иначе Таня вынуждена сделать 
или 
и опять-таки Ваня выигрывает.
(b) Стратегия Тани — держать коэффициент при 
равным 10 или 11.
В этом случае значение многочлена 
будет не кратно трем и, следовательно, не равно нулю.
Действительно, многочлены
не кратны трем при любом целом 
При 
остаток от деления 
на три равен 2; при 
остаток от деления 
на три составляет 1 и 2, соответственно;
при 
остаток от деления 
на три составляет 2 и 1, соответственно.
(a) да
(b) нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
