Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Многочлены на Бельчонке

Тема Бельчонок

Многочлены на Бельчонке

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86098

Многочлен $P(x)= x4 − x3− x2− 1$ имеет корни $a,b,c,d$ . Многочлен

6 5 4 3 2 Q(x)= x − x − 2x +x +x − x+ 3.

Найдите $Q (a)+ Q(b)+ Q(c)+Q(d).$

Источники: Бельчонок - 2024, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $Q (x)= H(x)P (x)+ R(x)$ . Нетрудно видеть, что при $x =a,b,c,d$ верно $Q(x)= R(x)$ , то есть достаточно найти число $R(a)+ R(b)+ R(c)+ R(d).$

Если поделить столбиком $Q$ на $P$ , получим, что $2 R(x)= x − x +2$ . Значит, нужная нам сумма равна

2 2 2 2 (a + b+ c + d)− (a +b+ c+ d)+ 8=

2 = (a +b+ c+d) − 2(ab+ ac+ad+ bc+bd+ cd)− (a+b+ c+ d)+8

По теореме Виета сумма корней равна $1$ , сумма их попарных произведений равна $− 1$ . Подставляя это, получаем ответ $10$ .

Ответ: 10