Задачи №23 из банка ФИПИ —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38722

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB =18,DC = 54,AC = 48.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD15x4848M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =48$ по условию, то

AM = AC − CM =48 − x.

Тогда из отношения $AB- AM-- CD = CM$ получаем уравнение:

18 = 48−-x 54 x 18x= 54⋅(48− x) x = 3⋅(48 − x) x = 144 − 3x 4x= 144 x= 36

Значит, $CM = 36.$

Ответ: 36

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57402

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 14,$ $DC =42,$ $AC = 52.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD14x5422M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =52$ по условию, то

AM = AC − CM =52 − x.

Тогда из отношения $AB- = AM-- CD CM$ получаем уравнение:

14 = 52−-x 42 x 14x= 42⋅(52− x) x = 3⋅(52 − x) x = 156 − 3x 4x= 156 x= 39

Значит, $CM = 39.$

Ответ: 39

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32026

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN = 12,$ $AC = 42,$ $NC = 25.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +25.

$ABCM142xN225$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 42 = x+-25 12 x 7 x+-25 2 = x 7x= 2⋅(x+ 25) 7x =2x +50 5x =50 x= 10

Значит, $BN = 10.$

Ответ: 10

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#50263

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =20,$ $AC = 35,$ $NC = 39.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +39.

$ABCM233xN059$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 35 = x+-39 20 x 7= x+-39 4 x 7x= 4⋅(x+ 39) 7x= 4x+ 156 3x= 156 x= 52

Значит, $BN = 52.$

Ответ: 52

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38484

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB =18$ и $AC = 24.$

$ABCH123840$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

2 2 2 BC = AC +AB = = 182 +242 = 62⋅32+ 62⋅42 = = 62⋅(32+ 42)= 62⋅52.

Тогда

BC = 6⋅5= 30.

Покажем как найти высоту $AH$ тремя способами.

Способ 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ и запишем синус его угла $B :$

sin ∠ABC = -AC = 24 = 4. BC 30 5

Рассмотрим прямоугольный треугольник $HBA$ и запишем синус его угла $B :$

AH AH sin ∠HBA = AB-= 18-.

Заметим, что $∠ABC = ∠HBA,$ так как это один и тот же угол. Тогда

sin ∠ABC = sin ∠HBA 4= AH- 5 18 AH = 18⋅4 = 14,4 5

Способ 2.

$ABCH123840$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $HBA.$ У них есть общий угол $∠ABC,$ а также равны прямые углы

∠BAC = ∠BHA.

Значит, $△ ABC ∼△HBA.$ Запишем отношение подобия:

AH CA AB- = CB- AH 24 -18 = 30 AH-= 4 18 5

Значит,

AH = 4⋅18= 14,4. 5

Способ 3.

$ABCH123840$

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1 1 2 ⋅AB ⋅AC = 2 ⋅BC ⋅AH AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AH = AB--⋅AC- = 18⋅24= 72 = 14,4. BC 30 5

Ответ: 14,4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#57404

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 51. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть в треугольнике $ABC$ c прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB = 24$ и $BC = 51.$

$ABCH24h5451$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

2 2 2 BC = AB + AC .

Тогда

AC2 = BC2 − AB2 = 512− 242 = 4 2 = (51− 24) ⋅(51+ 24)= 27⋅75= 3 ⋅5 .

Значит,

AC = √34-⋅52 = 32⋅5= 45.

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1⋅AB ⋅AC = 1 ⋅BC ⋅AH 2 2 AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AH = AB-⋅AC-= 24-⋅45 = 24⋅15 = 360. BC 51 17 17

Ответ:

$360 17$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#41484

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC.$ Найдите $AB,$ если $AH = 3, AC = 27.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $AHB$ и $ABC.$ В них $∠ABC = ∠AHB = 90∘$ по условию, а $∠BAC$ — общий. Тогда треугольники $AHB$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCH327$

Запишем отношение подобия треугольников $AHB$ и $ABC :$

AH- AB- AB = AC .

Тогда

AB2 = AH ⋅AC = 3⋅27= 34 = 92.

Следовательно, $AB = 9.$

Ответ: 9

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#57405

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC.$ Найдите $AB,$ если $AH = 5,$ $AC = 45.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $AHB$ и $ABC.$ В них $∠ABC = ∠AHB = 90∘$ по условию, а $∠BAC$ — общий. Тогда треугольники $AHB$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCH545$

Запишем отношение подобия треугольников $AHB$ и $ABC :$

AH- AB- AB = AC .

Тогда

AB2 = AH ⋅AC = 5⋅45= 52⋅32 = 152.

Следовательно, $AB = 15.$

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#27838

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K.$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 10,$ $CK = 18.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $ABCD$ — параллелограмм, поэтому $AB ∥CD$ и $BC ∥AD.$ Тогда $∠BKA = ∠KAD$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AK.$ $∠BAK = ∠KAD,$ так как $AK$ — биссектриса угла $BAD.$ Тогда

∠BAK = ∠KAD = ∠BKA.

Значит, треугольник $ABK$ — равнобедренный, поэтому

AB = BK = 10.

$ABCDK1111200088$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 10$ и

AD = BC = BK + KC =10 +18 =28.

Найдём периметр параллелограмма:

PABCD =AB +BC + CD +DA = = 10+ 28+ 10+ 28= 38+ 38= 76.

Ответ: 76

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#61043

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K.$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 8,$ $CK = 13.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $ABCD$ — параллелограмм, поэтому $AB ∥CD$ и $BC ∥AD.$ Тогда $∠BKA = ∠KAD$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AK.$ $∠BAK = ∠KAD,$ так как $AK$ — биссектриса угла $BAD.$ Тогда

∠BAK = ∠KAD = ∠BKA.

Значит, треугольник $ABK$ — равнобедренный, поэтому

AB = BK = 8.

$ABCDK8881231$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 8$ и

AD = BC =BK + KC = 8+ 13= 21.

Найдём периметр параллелограмма:

PABCD =AB +BC + CD +DA = = 8+ 21+ 8+ 21= 29+ 29= 58.

Ответ: 58

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#28214

Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH =24$ и $CH = 1.$ Найдите высоту ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$DABCH214$

Найдём $DC :$

DC = DH + HC =24 +1 = 25.

По условию $ABCD$ — ромб, поэтому

AB = BC = CD = AD =25.

Рассмотрим треугольник $AHD.$ Он прямоугольный, так как $AH ⊥ DC,$ ведь $AH$ — высота ромба по условию. Тогда по теореме Пифагора для треугольника $AHD :$

AD2 = DH2 + AH2.

Значит,

AH2 =AD2 − DH2 AH2 = 252 − 242 2 AH =625 − 576 AH2 = 49 AH = 7

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#95638

Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH =24$ и $CH = 2.$ Найдите высоту ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$DABCH224$

Найдём $DC :$

DC = DH + HC =24 +2 = 26.

По условию $ABCD$ — ромб, поэтому

AB = BC = CD = AD =26.

Рассмотрим треугольник $AHD.$ Он прямоугольный, так как $AH ⊥ DC,$ ведь $AH$ — высота ромба по условию. Тогда по теореме Пифагора для треугольника $AHD :$

AD2 = DH2 + AH2.

Значит,

AH2 =AD2 − DH2 AH2 = 262 − 242 2 AH =676 − 576 AH2 = 100 AH = 10

Ответ: 10

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#37456

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 72$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 18.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅72 = 36. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 18 1 AO- = 36 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311330∘0∘20866∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘, 120∘, 60∘, 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#57409

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей равна 44. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 44$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 11.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅44 = 22. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 11 1 AO- = 22 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311220∘0∘20122∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#45344

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45∘$ и $120∘,$ а $CD = 34.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 120∘− 90∘ = 30∘.

$AHCK45B303D∘∘4$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√- √ - CK = CD ⋅cos30∘ = 34⋅-3-= 17 3. 2

Высоты трапеции равны, поэтому

√- AH = CK = 17 3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- AB = sin∠ABH.

Следовательно,

√- -AH--- 17-3- √- AB = sin 45∘ = √1- = 17 6. 2

Ответ:

$√- 17 6$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#57406

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30∘$ и $135∘,$ а $CD = 29.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 135∘− 90∘ = 45∘.

$AHCK30B452D∘∘9$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√ - √ - CK = CD ⋅cos45∘ = 29⋅-2= 29--2. 2 2

Высоты трапеции равны, поэтому

29√2 AH = CK = --2--.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- = sin∠ABH. AB

Следовательно,

√- -AH--- 29-2- √- AB = sin 30∘ = 2 ⋅2= 29 2.

Ответ:

$√- 29 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#95858

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 20,$ $BF =15.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ1250$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘ --2----2 √AB-=---20 +√ 15-= = 400 +225 = 625= 25.

Ответ: 25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#55644

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 25,$ $BC = 15,$ $CF :DF = 3:2.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 3 AE = DF = 2.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 3 5 =1 + DF-= 1+ 2 = 2.

Таким образом,

OF = 2 ⋅BC = 2⋅15= 6. 5 5

$ABCDEOF32322161aabb555$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 2 = 5. BE 3 3

Таким образом,

EO = 3⋅AD = 3 ⋅25= 15. 5 5

Тогда

EF = EO + OF = 15+ 6= 21.

Ответ: 21

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#57408

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 12,$ $BF =9.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ912$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘--2---2 √AB-=--12 +√-9-= = 144+ 81= 225 =15.

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#95702

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 42,$ $BC = 14,$ $CF :DF = 4:3.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 4 AE = DF = 3.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 4 7 =1 + DF-= 1+ 3 = 3.

Таким образом,

OF = 3 ⋅BC = 3⋅14= 6. 7 7

$ABCDEOF43434162aabb244$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 3 = 7. BE 4 4

Таким образом,

EO = 4⋅AD = 4 ⋅42= 24. 7 7

Тогда

EF = EO + OF = 24+ 6= 30.

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

23.01 Задачи №23 из банка ФИПИ