Тема 22. Функции и их свойства. Графики функций

22.06 Функции, содержащие модуль

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела функции и их свойства. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27284

Постройте график функции $2 y = x − 3|x|− x.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y =m$ имеет с графиком не менее одной, но не более трех общих точек.

Показать ответ и решение

Для начала раскроем функцию модуля и запишем исходную функцию следующим образом:

{x2 − 4x при x ≥0 y = 2 x +2x при x <0

1. Исследуем функцию на интервале $(− ∞;0).$ На этом интервале график функции совпадает с графиком функции $y = x2+ 2x.$

График функции $y = x2+ 2x$ — парабола. Найдём вершину параболы:

b 2 xв. = −2a = −2 = −1 yв. = − (− 1)2+ 2⋅(−1)= − 1

Тогда эта парабола получена сдвигом параболы $2 y = x$ на 1 единицу влево по оси $OX$ и на 1 единицу вниз по оси $OY.$

2. Исследуем функцию на полуинтервале $[0;+ ∞ ).$ На этом полуинтервале график функции совпадает с графиком функции $y = x2− 4x.$

График функции $y = x2− 4x$ — парабола. Найдём вершину параболы:

b − 4 xв. = −2a = −-2-= 2 yв. = 22− 4 ⋅2= −4

Тогда эта парабола получена сдвигом параболы $y = x2$ на 2 единицы вправо по оси $OX$ и на 4 единицы вниз по оси $OY.$

Отметим также, что при $x= 0$ функция примет значение $y = 0.$

Теперь мы можем построить график исходной функции:

$xyyyyyyyy110 = = = = = = = m−−mm0m,,,,41m−−m <41><<−04mm << −01$

Опираясь на построенный график, посмотрим теперь на различные положения прямой $y = m$ относительно этого графика.

При $m <− 4$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
При $m = −4$ прямая $y =m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
При $− 4< m < −1$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
При $m =− 1$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
При $− 1 <m < 0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно четыре общие точки.
При $m =0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
При $m >0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Таким образом, подходит только $− 4≤ m ≤ −1$ и $m ≥ 0.$

Ответ:

$− 4 ≤ m ≤− 1; m ≥ 0$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#28213

Постройте график функции $1(||x 4|| x 4) y = 2 4 − x + 4 + x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y =m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Решим сопутствующее уревнение:

( (| ⌊ { x2− 16= 0 ||{ ⌈x= 4 x − 4= 0 ⇔ ( ⇔ | x= −4 4 x x⁄= 0 ||( x⁄= 0

Тогда $x 4 4 − x ≥ 0$ при $x ≥ 4$ и $0> x ≥− 4,$ при $x< −4$ и $0 < x< 4$ выражение $x 4 4 − x < 0.$ При $x = 0$ функция $(| | ) y = 12 |x4 − 4x|+ x4 + 4x$ не определена.

Тогда функцию $y$ можно задать так:

( (( ) ) ||| 12 − x4 + 4x + x4 + 4x = 4x, при x< − 4; |||{ 1((x − 4)+ x+ 4)= x, при − 4≤ x< 0 y = 2((4 x ) 4 x ) 4 ||||| 12 − x4 + 4x + x4 + 4x = 4x, при 0< x <4 |( 1((x − 4)+ x+ 4)= x, при 4 ≤ x. 2 4 x 4 x 4

Теперь можем построить график функции $y.$ При $x ≥4$ и $0> x≥ − 4$ им является график прямой $y = x, 4$ при $x< − 4$ и $0 <x < 4$ — график гиперболы $4 x.$

$PIC$

По графику видно, что прямые $y = m$ при $m > 1$ и $− 1 < m <0$ пересекают график в двух точках, а при $m < −1$ и $0 ≤m < 1$ — не пересекают график вовсе. Каждая из прямых $y = 1$ и $y = −1$ пересекает график ровно в одной точке. Значит, $m ∈ {−1;1}.$

Ответ:

${− 1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#37453

Постройте график функции $y = |x|x+ |x|− 3x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

{ 2 2 y = x +2 x− 3x =x − 22x,x≥ 0 −x − x − 3x = −x − 4x,x< 0

$PIC$

$y1 = x2− 2x$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, и она пересекает ось абсцисс в точках $x= 0;2.$ $y2 = − x2− 4x$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, и она пересекает ось абсцисс в точках $x = −4;0.$ Прямая $y = m$ пересекает график в двух точках тогда, когда она проходит через вершины парабол.

m1 = y1(1)= − 1;

m = y (− 2)= 4. 2 2

Ответ: -1; 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38721

Постройте график функции $y = 3|x +8|− x2− 14x− 48$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

( {yl = −3(x+ 8)− x2− 14x − 48 = −x2− 17x− 72,x < −8 y = (y = 3(x+ 8)− x2− 14x − 48 = −x2− 11x− 24,x ≥ −8 r

График каждой из функций $yl$ и $yr$ представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз, находящейся в левой и правой плуплоскости соответственно относительно прямой $x= − 8$ .

Преобразуем вид функций, выделив полные квадраты:

( )2 ( )2 yl = −(x2+ 17x) − 72 =− x + 17 − 72+ 289 =− x + 17 + 1 2 4 2 4 ( )2 ( )2 yr = −(x2+ 11x)− 24 = − x+ 11 − 24+ 121 = − x+ 11 + 25 2 4 2 4

Таким образом, вершины парабол — точки $( 17 1) Ol −2-;4$ и $( 11 25) Or − 2 ;-4$ .

Заметим, что $( ) yl(− 8)= − −8 + 172-2+ 14 = − 14 + 14 = yr(−8) =0$ , то есть общая точка $yl$ и $yr$ — точка $O(−8;0)$ .

Получаем такие графики:

$PIC$

Прямые $y = 1 4$ и $y = 0$ имеют с графиком 3 точки пересечения, следовательно, $1 m = 4;0.$

Ответ:

$m ∈ {0;0,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#43939

Постройте график функции $( ) y =-0,5x2−-0,5x-|x| x − 1$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Показать ответ и решение

Область значений функции: $x− 1⁄= 0 ⇔ x ⁄= 1$

(0,5x2 − 0,5x)|x| 0,5x(x− 1)|x| y =-----x−-1----- = ---x-− 1---= 0,5x|x|

Раскроем модуль:

{0,5x2, если x≥ 0 y = −0,5x2, если x< 0

Найдем координаты выколотой точки:

2 x =1 ⇒ y = 0,5⋅1 = 0,5

График функции при $x ≥0$ — это парабола $y = 0,5x2$ с выколотой точкой $(1;0,5).$

Найдем вершину параболы:

xв. =−-b =− 0 = 0 2a 1 yв. = 0,5⋅02 = 0

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	0	1	2	3

$y$	$0$	$0,5$	2	$4,5$

График функции при $x <0$ — это парабола $2 y =− 0,5x .$

Найдем вершину параболы:

xв. =−-b =− 0 = 0 2a 1 yв. = − 0,5 ⋅02 = 0

Построим таблицу значений для прямой при $x< 0 :$


$x$	0	$− 1$	$− 2$	$− 3$

$y$	$0$	$− 0,5$	$− 2$	$− 4,5$

Построим график функции:

$xyy110 = 0,5$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки в одном случае: прямая проходит через выколотую точку $(1;0,5).$ В этом случае $m = 0,5.$

Ответ:

$m = 0,5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#44292

Постройте график функции $y = x2− 4|x|− x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 y = x2− 4x− x, еcли x ≥ 0 ⇔ x − 4(− x)− x, если x <0 {x2− 4x− x, если x≥ 0 ⇔ y = 2 ⇔ x + 4x− x, если x< 0 {x2 − 5x, если x≥ 0 ⇔ y = x2+ 3x, если x< 0

График функции при $x ≥0$ — это парабола $y =x2 − 5x.$

Найдем вершину параболы:

b − 5 5 xв. = −2a = −-2-= 2 ( ) y = 5 2− 5⋅ 5 = 25− 25 =− 25 в. 2 2 4 2 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	$5 2$	2	1	0	3	4	5	6

$y$	$− 25 4$	$− 6$	$− 4$	0	$− 6$	$− 4$	0	6

График функции при $x <0$ — это парабола $y =x2 +3x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= − 3 2a 2 ( )2 ( ) yв. = − 3 + 3⋅ − 3 = 9− 9 = − 9 2 2 4 2 4

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	$− 32$	$− 1$	0	$− 2$	$− 3$	$− 4$

$y$	$− 94$	$− 2$	0	$− 2$	0	4

Построим график функции:

$xyyyyy110 ==== −−0m62,,, m2525> 0$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком 1, 2 или 3 общие точки.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −6,25,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = −6,25,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точки пересечения с графиком.
Если $− 6,25< m < − 2,25,$ то прямая то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m = − 2,25,$ то прямая $y =m$ имеет три точки пересечения с графиком.
Если $− 2,25< m < 0,$ то прямая $y =m$ имеет четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 0$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m > 0$ то то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет 1, 2 или 3 точки пересечения, когда

m ∈[−6,25;− 2,25]∪ [0;+∞ )

Ответ:

$m ∈ [− 6,25;−2,25]∪[0;+ ∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45264

Постройте график функции $y = −x2+ 6|x|− 5.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем знак модуля:

{ 2 y = −x2+ 6x− 5, при x≥ 0 −x − 6x− 5, при x< 0

Таким образом,

{ y = −(x− 3)2 +4, при x ≥0 −(x+ 3)2 +4, при x < 0

Построим график этой кусочно-заданной функции:

$xyyyyyy110 = = = = = mmmmm,,,,, mm−mm5<==><−−m4455 <4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m = −5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $− 5< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком исходной функции при $m ∈(−∞; −5)∪ {4}.$

Ответ:

$m ∈ (−∞; −5)∪{4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#45265

Постройте график функции $y = |x2 +8x +12|.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение в правой части уравнения функции:

2 |x + 8x+ 12|= |(x+ 6)(x + 2)|

Раскроем знак модуля:

( |{ −(x+ 6)⋅−(x+ 2), при x< −6 y =|( (x+ 6)⋅−(x+ 2), при − 6 ≤ x≤ −2 (x+ 6)(x+ 2), при x> −2

Таким образом,

( |{ x2+ 8x+ 12= (x+ 4)2 − 4, при x < −6 y =| −(x2+ 8x+ 12)= −(x+ 4)2+ 4, при − 6 ≤ x≤ −2 ( x2+ 8x+ 12= (x+ 4)2 − 4, при x > −2

Построим график этой кусочно-заданной функции. Можно заметить, что график данной нам функции получается при помощи отражения части графика функции $2 y = (x+ 4) − 4,$ находящейся в нижней полуплоскости, в верхнюю относительно оси $Ox.$

$xyyyyyy110 = = = = = mmmmm,,,,, mm0mm<<==>m0044< 4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $0< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком исходной функции только при $m =4.$

Ответ:

$m = 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#45267

Постройте график функции $| | y = ||-2-+ 1||. |3− x |$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение в правой части уравнения функции:

|| 2 || ||2 + (3− x)|| ||5− x|| ||3-− x-+ 1||= ||-3−-x--||= ||3−-x||

Раскроем знак модуля:

(|5−x, при x < 3 y = {3−−x5−x, при 3< x≤ 5 |(5−3x−x 3−x, при x > 5

Таким образом,

( x−5 -2- |{ x5−−3x = 1−2 x−3, при x <3 y = |( x−3 = x−3 − 1, при 3≤ x ≤ 5 xx−−53 = 1− x2−3, при x >− 2

Построим график этой кусочно-заданной функции:

$xyyyyyy110 ===== mmmmm,,,,, m m 0 m m <=<=> 00m11 < 1$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $0 <m < 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m = 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m > 1,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком исходной функции только при $m ∈ {0;1}.$

Ответ:

$m ∈ {0;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#46329

Постройте график функции $y = x2+ 3x− 3|x +2|+ 2$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 y = x2+ 3x − 3(x +2)+ 2, еcли x + 2≥ 0 ⇔ x + 3x + 3(x +2)+ 2, если x + 2< 0 {x2+ 3x− 3x− 6+ 2, если x ≥ −2 ⇔ y = 2 ⇔ x + 3x+ 3x+ 6+ 2, если x < −2

{ 2 ⇔ y = x − 4, если x≥ −2 x2 +6x +8, если x< −2

График функции при $x ≥− 2$ — это парабола $2 y = x − 4.$

Найдем вершину параболы:

xв. =−-b =− 0 = 0 2a 2 yв. = 02− 4= −4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −2 :$


$x$	$− 2$	$− 1$	0	1	2	3

$y$	0	$− 3$	$− 4$	$− 3$	0	5

График функции при $x <− 2$ — это парабола $y = x2+ 6x+ 8.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − 6 = −3 2a 2 2 yв. =(−3) + 6⋅(−3)+ 8= −1

Построим таблицу значений для параболы при $x< − 2:$


$x$	$− 5$	$− 4$	$− 3$	$− 2$

$y$	3	0	$− 1$	0

Построим график функции:

$xyyy110 = = −01$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет три точки пересечения с графиком в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $2 y = x + 6x+ 8,$ то есть через точку $(− 3;− 1).$ В этом случае $m = −1.$
2.: Прямая $y = m$ проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку $(−2;0).$ В этом случае $m =0.$

Таким образом,

m ∈{0;−1}

Ответ:

$m ∈ {0;−1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#50259

Постройте график функции $y = |x|(x− 1)− 5x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль в выражении $y =|x|(x − 1) − 5x :$

{ y = x(x− 1)− 5x, если x ≥ 0 − x(x − 1)− 5x, если x< 0 {x2 − x− 5x, если x≥ 0 y = 2 −x + x − 5x, если x< 0 {x2 − 6x, если x≥ 0 y = − x2− 4x, если x < 0

График функции при $x ≥0$ — это парабола $y =x2 − 6x.$

Найдем вершину параболы:

b − 6 xв. = −2a = −-2-= 3 2 yв. = 3 − 6 ⋅3= −9

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	3	2	1	0	4	5

$y$	$− 9$	$− 8$	$− 5$	0	$− 8$	$− 5$

График функции при $x <0$ — это парабола $y =− x2− 4x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= − −4-= −2 2a −2 y = −(−2)2− 4⋅(−2)= 4 в.

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	$− 2$	$− 1$	0	$− 3$	$− 4$	$− 5$

$y$	4	3	0	3	0	$− 5$

Построим график функции:

$xyyy110 = = −49$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком 2 точки пересечения в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2− 6x:$ $(3;−9).$ В этом случае $m = − 9.$
2.: Прямая $y =m$ проходит через вершину параболы $y = −x2− 4x:$ $(− 2;4).$ В этом случае $m = 4.$

Получаем ответ:

m ∈{−9;4}

Ответ:

$− 9; 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#54129

Постройте график функции $y = x2− 11x− 2|x − 5|+ 30$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 y = x2− 11x − 2(x − 5)+ 30, еcли x − 5 ≥ 0 ⇔ x − 11x + 2(x − 5)+ 30, если x − 5 < 0 {x2 − 11x− 2x +10+ 30, если x ≥ 5 ⇔ y = 2 ⇔ x − 11x+ 2x − 10+ 30, если x < 5

{ 2 ⇔ y = x − 13x+ 40, если x ≥ 5 x2− 9x+ 20, если x < 5

График функции при $x ≥5$ — это парабола $2 y =x − 13x+ 40.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-13= 61 2a 2 2 ( 13)2 13 yв. = 2- − 13⋅2-+ 40= = 169-− 178= − 9= − 21 4 4 4 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 5:$


$x$	$1 62$	5	6	7	8	9

$y$	$1 − 24$	0	$− 2$	$− 2$	0	4

График функции при $x <5$ — это парабола $y =x2 − 9x +20.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= − −9-= 41 2a 2 2 ( 9)2 9 yв. = 2 − 9⋅ 2 + 20= = 81-− 82= − 1 4 4 4

Построим таблицу значений для параболы при $x< 5 :$


$x$	$412$	5	4	3

$y$	$1 − 4$	0	0	2

Построим график функции:

$1 xyyy110 = = −0 4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет три точки пересечения с графиком в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y =x2 − 9x +20,$ то есть через точку $(41;− 1). 2 4$ В этом случае $m =− 1= − 0,25. 4$
2.: Прямая $y = m$ проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку $(5;0).$ В этом случае $m = 0.$

Таким образом,

m ∈ {−0.25;0}

Ответ:

$− 0,25; 0$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#61564

Постройте график функции $y = 3|x +2|− x2− 3x− 2.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

$pict$

График функции при $x ≥ −2$ — парабола $y = −x2+ 4$ с ветвями вниз.

Найдем вершину параболы:

-b 0 xв. =− 2a =− 2 = 0 yв. = −02+ 4= 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −2 :$


$x$	0	$− 2$	$− 1$	1	2	3

$y$	4	0	3	3	0	$− 5$

График функции при $x <− 2$ — это парабола $y = −x2− 6x− 8$ с ветвями вниз.

Найдем вершину параболы:

b- −6- xв. = − 2a = − −2 = −3 yв. =− (− 3)2 − 6 ⋅(− 3)− 8 =1

Построим таблицу значений для параболы при $x< − 2:$


$x$	$− 3$	$− 2$	$− 4$	$− 5$

$y$	1	0	0	$− 3$

Точка $(− 2; 0)$ является точкой стыка двух графиков.

Построим график функции:

$xyyy110 == 10$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком ровно 3 общие точки.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ имеет 2 общие точки с графиком.
Если $m =0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 3 точки пересечения с графиком.
Если $0 <m < 1,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 4 точки пересечения с графиком.
Если $m = 1,$ то прямая $y = m$ имеет 3 точки пересечения с графиком.
Если $1< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком.
Если $m =4$ то прямая $y = m$ имеет ровно 1 точку пересечения с графиком.
Если $m > 4$ то прямая $y =m$ не имеет точек пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет 3 точки пересечения с графиком, когда $m ∈ {0; 1}.$

Ответ:

$m ∈ {0; 1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#61567

Постройте график функции $y = ||x2 +5x +6||.$

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Показать ответ и решение

Построим сначала график $y =x2 +5x +6,$ затем все участки, находящиеся выше оси абсцисс оставим без изменения, а участки, находящиеся ниже оси абсцисс, отобразим наверх симметрично относительно оси абсцисс.

$y = x2+ 5x+ 6$ — квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вверх.

Найдем вершину параболы:

( ) ( ) x = −-b = − 5, y = − 5 2+ 5⋅ − 5 + 6 =− 1 в. 2a 2 в. 2 2 4

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	$− 5 2$	$− 3$	$− 2$	$− 4$	$− 1$	0	$− 5$

$y$	$1 − 4$	0	0	2	2	6	6

Построим график:

$xy110$

Прямые, параллельные оси абсцисс или совпадающие с ней задаются уравнением $y =m.$ Найдём, какое наибольшее количество общих точек могут иметь прямая $y = m$ и график исходной функции.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m =0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 точки пересечения с графиком.
Если $0 <m < 1, 4$ то прямая $y = m$ имеет ровно 4 точки пересечения с графиком.
Если $m = 14,$ то прямая $y = m$ имеет 3 точки пересечения с графиком.
Если $1 4 < m,$ то прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком.

Таким образом, график данной функции и прямая, параллельная оси абсцисс имеют не больше 4 общих точек.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#61570

Постройте график функции $y = x2− |6x +5|.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

$pict$

График функции при $5 x ≥− 6$ — парабола $y = x2− 6x− 5$ с ветвями вверх.

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-6= 3 2a 2 2 yв. = 3 − 6⋅3− 5= −14

Построим таблицу значений для параболы при $5 x≥ − 6 :$


$x$	3	0	1	2	$− 5 6$

$y$	$− 14$	$− 5$	$− 10$	$− 13$	$25 36$

График функции при $x <− 5 6$ — это парабола $y = x2+ 6x+ 5$ с ветвями вниз.

Найдем вершину параболы:

-b 6 xв. = −2a = −2 = −3 2 yв. =(−3) + 6⋅(−3)+ 5= −4

Построим таблицу значений для параболы при $x< − 2:$


$x$	$− 3$	$− 2$	$− 4$	$− 5$	$5 − 6$

$y$	$− 4$	$− 3$	$− 3$	0	$25 36$

Точка $( 5 25) − 6;36$ является точкой стыка двух графиков.

Построим график функции:

$xyyy110 = = −245 36$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком ровно 3 общие точки.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −14,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = − 14,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 1 точку пересечения с графиком.
Если $− 14< m < − 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 точки пересечения с графиком.
Если $m = −4,$ то прямая $y = m$ имеет 3 точки пересечения с графиком.
Если $− 4< m < 25, 36$ то прямая $y = m$ имеет 4 точки пересечения с графиком.
Если $m = 2536-$ то прямая $y = m$ имеет ровно 3 точки пересечения с графиком.
Если $m > 2536-$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 точки пересечения с графиком.