Тема №22. Графики функций

06 Функции, содержащие модуль

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40764

Постройте график функции $y = x2− |4x +7|.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

{ |4x + 7|= 4x+ 7, если 4x +7 ≥ 0 −(4x+ 7), если 4x+ 7< 0 {4x + 7, если x ≥− 7 |4x +7|= 47 −4x− 7, если x< −4

Раскроем модуль в выражении $y = x2− |4x + 7|:$

{ 2 7 y = x − (4x+ 7), если x ≥ −4 x2 − (−4x − 7), если x< − 74 { 2 7 y = x2− 4x− 7, если x ≥ −47 x + 4x+ 7, если x < −4

График функции при $7 x ≥− 4$ — это парабола $2 y = x − 4x− 7.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-4= 2 2a 2 yв. = 22− 4⋅2− 7= −11

Построим таблицу значений для параболы при $7 x≥ − 4 :$


$x$	$7 − 4$	$− 1$	0	1	2	3	4	5	$11- 2$

$y$	$49 16$	$− 2$	$− 7$	$− 10$	$− 11$	$− 10$	$− 7$	$− 2$	$5 4$

График функции при $x <− 7 4$ — это парабола $y = x2+ 4x+ 7.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − 4 = −2 22a 2 yв. = (−2) + 4⋅(− 2)+ 7= 3

Построим таблицу значений для параболы при $7 x< − 4 :$


$x$	$− 7 4$	$− 2$	$− 5 2$	$− 3$

$y$	$49 16$	3	$13 4$	4

Построим график функции:

$xyy110 = 3$ $49 xyy110 = 16$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком 3 точки пересечения в двух случаях:

1.: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2+ 4x+ 7:$ $(− 2;3).$ В этом случае $m = 3.$
2.: прямая $y =m$ проходит через точку $( 7 49) −4;16$ — точку стыка. В этом случае $m = 49. 16$

Получаем ответ:

{ 49} m ∈ 3;16

Ответ:

$m ∈ {3;3,0625}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#60990

Постройте график функции

(0,25x2+ 0,5x)⋅|x| y = ------x+-2-----.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем область определения функции $x +2 ⁄= 0 ⇔ x⁄= − 2.$

Преобразуем исходное выражение:

(0,25x2+ 0,5x)⋅|x| 0,25x(x+ 2)⋅|x| -----x-+2-------= ----x-+2------=0,25x⋅|x|

Раскроем модуль:

$pict$

Найдем координату выколотой точки: если $x = −2,$ то $y = −0,25x2 = − 0,25⋅(−2)2 = −0,25 ⋅4 = −1.$

Точка $(− 2; −1)$ является выколотой точкой.

График функции при $x ≥0$ — парабола $y = 0,25x2$ с ветвями вверх.

Найдем вершину параболы:

-b -0- xв. = −2a = −0,5 = 0 yв. = 1⋅02 = 0 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	0	1	2	3	4

$y$	0	$1 4$	1	$9 4$	4

График функции при $x < 0$ — это парабола $y = −0,25x2$ с ветвями вниз.

Найдем вершину параболы:

b- -0-- xв. = − 2a = − −0,5 = 0 yв. = −0,25⋅02 = 0

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	0	$− 1$	$− 2$	$− 3$	$− 4$

$y$	0	$− 1 4$	$− 1$	$− 9 4$	$− 4$

Точка $(0; 0)$ является точкой стыка двух графиков.

Построим график функции:

$xyy110 = −1$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Видно, что горизонтальные прямые пересекают график в одной точке при любых значениях $m,$ кроме случая, когда прямая проходит через выколотую точку.

Таким образом, при $m = −1$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Ответ:

$m = − 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#45343

Постройте график функции $y = |x2 +2x − 3|.$ Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Раскроем знак модуля:

y = |x2 +2x − 3| ⇔ { x2+ 2x− 3, если x2+ 2x− 3 ≥0 ⇔ y = −(x2+ 2x− 3), если x2+ 2x− 3< 0

Значит, для того, чтобы построить график функции $y = |x2+ 2x− 3|,$ нужно часть графика, расположенную в нижней полуплоскости, отразить симметрично в верхнюю полуплоскость относительно оси $Ox.$

Сначала построим график функции $2 y = x + 2x− 3.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − 2 = −1 2a 2 y =(−1)2+ 2⋅(−1)− 3= −4 в.

Построим таблицу значений для параболы:


$x$	$− 1$	0	1	2	$− 2$	$− 3$	$− 4$

$y$	$− 4$	$− 3$	0	5	$− 3$	0	5

Построим график функции:

$xy110$

Отразим ту часть графика, которая которая расположена в нижней полуплоскости относительно оси $Ox,$ в верхнюю полуплоскость:

$xyyyyyy110 = = = = = m0m4m,,, m0m <<>m04< 4$

Прямые, параллельные оси абсцисс — множество горизонтальных прямых, задающихся уравнением $y = m.$ Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $0< m < 4,$ то прямая то прямая $y = m$ имеет ровно четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 4$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, график функции может иметь максимум 4 общие точки с прямой, параллельной оси абсцисс.

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#60989

Постройте график функции

4,5|x|− 1 y = |x|−-4,5x2.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 4,5x− 1⁄= 0 4,5x ⁄= 1 9x ⁄= 2 x⁄= 2 2) − 4,5x9− 1⁄= 0 − 4,5x⁄= 1 −9x ⁄= 2 x ⁄=− 2 9

Таким образом, исходная задача теперь выглядит так:

( |{− 1, x> 0, x ⁄= 2 y = | x 9 ( 1x, x < 0, x⁄= − 29

График функции при $x >0, x⁄= 2 9$ — это гипербола $y = − 1. x$ Построим таблицу значений для гиперболы при $2 x > 0, x⁄= 9 :$


$x$	1	2	4	$1 2$	$1 4$

$y$	$− 1$	$− 1 2$	$− 1 4$	$− 2$	$− 4$

Найдем координаты выколотой точки на этом участке: если $2 x= 9,$ то $y = − 12-= − 9 . 9 2$

Точка $( ) 2; − 9 9 2$ является выколотой точкой.

График функции при $2 x <0, x⁄= − 9$ — это гипербола $1 y = x.$ Построим таблицу значений для гиперболы при $x < 0, x⁄= − 2 : 9$


$x$	$− 1$	$− 2$	$− 4$	$− 1 2$	$− 1 4$

$y$	$− 1$	$− 12$	$− 14$	$− 2$	$− 4$

Найдем координаты выколотой точки на этом участке: если $x= − 2, 9$ то $y = -12-= − 9 . −9 2$

Точка $( ) − 2; − 9 9 2$ является выколотой точкой.

Построим график функции:

$xy110$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Прямая $y = kx$ не имеет точек пересечения в трёх случаях:

1.: Прямая $y = kx$ совпадает с осью $Ox.$ В этом случае $k = 0.$
2.: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 2 9) 9; − 2 .$ Найдём $k :$ $− 9= 2k ⇔ k = − 81 2 9 4$
3.: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(− 2; − 9). 9 2$ Найдём $k :$ $− 9= − 2k ⇔ k = 81 2 9 4$

Таким образом, ${ } k ∈ − 81; 0; 81 . 4 4$

Ответ:

${ } k ∈ − 81; 0; 81 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#61569

Постройте график функции

( | | ) y = 1 ||x − 6||+ x + 6 . 2 |6 x| 6 x

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем область определения функции: $x⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

x − 6 ≥0 6 x x2− 36 --6x--≥ 0 (x− 6)(x +6) -----6x---- ≥ 0

Найдем нули числителя: $x− 6= 0$ или $x +6 = 0,$ то есть $x= 6$ или $x = −6.$

Нули знаменателя: $x= 0.$

Решим неравенство методом интервалов:

$x∈ [−6; 0)∪ [6; + ∞ )$

Для того, чтобы упростить ограничения из второго случая достаточно воспользоваться той же картинкой из метода интервалов, выбрать участки с «-» и выколоть граничные точки. Тогда решение $x ∈(−∞; − 6)∪(0; 6).$

Исходная задача принимает следующий вид:

( || x y = { 6, x ∈[−6; 0)∪ [6; +∞ ) ||( 6 x, x ∈(−∞; − 6)∪(0; 6)

График функции при $x ∈[−6; 0)∪ [6; +∞ )$ — это прямая $x y = 6 .$

Построим таблицу значений для прямой при $x∈ [−6; 0):$


$x$	$− 6$	0

$y$	$− 1$	0

Точка $(0; 0)$ является выколотой точкой.

Построим таблицу значений для прямой при $x∈ [6; +∞ ):$


$x$	6	12

$y$	1	2

График функции при $x ∈(−∞; − 6)∪(0; 6)$ — это гипербола $6 y = x.$

Построим таблицу значений для гиперболы при $x∈ (− ∞; −6):$


$x$	$− 6$	$− 8$	$− 10$

$y$	$− 1$	$− 34$	$− 35$

Построим таблицу значений для гиперболы при $x∈ (0; 6):$


$x$	$1 2$	1	2	3	6

$y$	12	6	3	2	1

Построим график функции:

$xyyy110 = = −1 1$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком ровно 1 общую точку.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −1,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = − 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно 1 точку пересечения с графиком.
Если $− 1< m < 0,$ то прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком.
Если $0 ≤m < 1,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $1< m,$ то прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком, когда $m ∈ {−1; 1}.$

Ответ:

$m ∈ {−1; 1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#27284

Постройте график функции $2 y = x − 3|x|− x.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y =m$ имеет с графиком не менее одной, но не более трех общих точек.

Показать ответ и решение

Для начала раскроем функцию модуля и запишем исходную функцию следующим образом:

{x2 − 4x при x ≥0 y = 2 x +2x при x <0

1. Исследуем функцию на интервале $(− ∞;0).$ На этом интервале график функции совпадает с графиком функции $y = x2+ 2x.$

График функции $y = x2+ 2x$ — парабола. Найдём вершину параболы:

b 2 xв. = −2a = −2 = −1 yв. = − (− 1)2+ 2⋅(−1)= − 1

Тогда эта парабола получена сдвигом параболы $2 y = x$ на 1 единицу влево по оси $OX$ и на 1 единицу вниз по оси $OY.$

2. Исследуем функцию на полуинтервале $[0;+ ∞ ).$ На этом полуинтервале график функции совпадает с графиком функции $y = x2− 4x.$

График функции $y = x2− 4x$ — парабола. Найдём вершину параболы:

b − 4 xв. = −2a = −-2-= 2 yв. = 22− 4 ⋅2= −4

Тогда эта парабола получена сдвигом параболы $y = x2$ на 2 единицы вправо по оси $OX$ и на 4 единицы вниз по оси $OY.$

Отметим также, что при $x= 0$ функция примет значение $y = 0.$

Теперь мы можем построить график исходной функции:

$xyyyyyyyy110 = = = = = = = m−−mm0m,,,,41m−−m <41><<−04mm << −01$

Опираясь на построенный график, посмотрим теперь на различные положения прямой $y = m$ относительно этого графика.

При $m <− 4$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
При $m = −4$ прямая $y =m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
При $− 4< m < −1$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
При $m =− 1$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
При $− 1 <m < 0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно четыре общие точки.
При $m =0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
При $m >0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Таким образом, подходит только $− 4≤ m ≤ −1$ и $m ≥ 0.$

Ответ:

$− 4 ≤ m ≤− 1; m ≥ 0$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#28213

Постройте график функции $1(||x 4|| x 4) y = 2 4 − x + 4 + x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y =m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Решим сопутствующее уревнение:

( (| ⌊ { x2− 16= 0 ||{ ⌈x= 4 x − 4= 0 ⇔ ( ⇔ | x= −4 4 x x⁄= 0 ||( x⁄= 0

Тогда $x 4 4 − x ≥ 0$ при $x ≥ 4$ и $0> x ≥− 4,$ при $x< −4$ и $0 < x< 4$ выражение $x 4 4 − x < 0.$ При $x = 0$ функция $(| | ) y = 12 |x4 − 4x|+ x4 + 4x$ не определена.

Тогда функцию $y$ можно задать так:

( (( ) ) ||| 12 − x4 + 4x + x4 + 4x = 4x, при x< − 4; |||{ 1((x − 4)+ x+ 4)= x, при − 4≤ x< 0 y = 2((4 x ) 4 x ) 4 ||||| 12 − x4 + 4x + x4 + 4x = 4x, при 0< x <4 |( 1((x − 4)+ x+ 4)= x, при 4 ≤ x. 2 4 x 4 x 4

Теперь можем построить график функции $y.$ При $x ≥4$ и $0> x≥ − 4$ им является график прямой $y = x, 4$ при $x< − 4$ и $0 <x < 4$ — график гиперболы $4 x.$

$PIC$

По графику видно, что прямые $y = m$ при $m > 1$ и $− 1 < m <0$ пересекают график в двух точках, а при $m < −1$ и $0 ≤m < 1$ — не пересекают график вовсе. Каждая из прямых $y = 1$ и $y = −1$ пересекает график ровно в одной точке. Значит, $m ∈ {−1;1}.$

Ответ:

${− 1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#38721

Постройте график функции $y = 3|x +8|− x2− 14x− 48$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

( {yl = −3(x+ 8)− x2− 14x − 48 = −x2− 17x− 72,x < −8 y = (y = 3(x+ 8)− x2− 14x − 48 = −x2− 11x− 24,x ≥ −8 r

График каждой из функций $yl$ и $yr$ представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз, находящейся в левой и правой плуплоскости соответственно относительно прямой $x= − 8$ .

Преобразуем вид функций, выделив полные квадраты:

( )2 ( )2 yl = −(x2+ 17x) − 72 =− x + 17 − 72+ 289 =− x + 17 + 1 2 4 2 4 ( )2 ( )2 yr = −(x2+ 11x)− 24 = − x+ 11 − 24+ 121 = − x+ 11 + 25 2 4 2 4

Таким образом, вершины парабол — точки $( 17 1) Ol −2-;4$ и $( 11 25) Or − 2 ;-4$ .

Заметим, что $( ) yl(− 8)= − −8 + 172-2+ 14 = − 14 + 14 = yr(−8) =0$ , то есть общая точка $yl$ и $yr$ — точка $O(−8;0)$ .

Получаем такие графики:

$PIC$

Прямые $y = 1 4$ и $y = 0$ имеют с графиком 3 точки пересечения, следовательно, $1 m = 4;0.$

Ответ:

$m ∈ {0;0,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#44292

Постройте график функции $y = x2− 4|x|− x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 y = x2− 4x− x, еcли x ≥ 0 ⇔ x − 4(− x)− x, если x <0 {x2− 4x− x, если x≥ 0 ⇔ y = 2 ⇔ x + 4x− x, если x< 0 {x2 − 5x, если x≥ 0 ⇔ y = x2+ 3x, если x< 0

График функции при $x ≥0$ — это парабола $y =x2 − 5x.$

Найдем вершину параболы:

b − 5 5 xв. = −2a = −-2-= 2 ( ) y = 5 2− 5⋅ 5 = 25− 25 =− 25 в. 2 2 4 2 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	$5 2$	2	1	0	3	4	5	6

$y$	$− 25 4$	$− 6$	$− 4$	0	$− 6$	$− 4$	0	6

График функции при $x <0$ — это парабола $y =x2 +3x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= − 3 2a 2 ( )2 ( ) yв. = − 3 + 3⋅ − 3 = 9− 9 = − 9 2 2 4 2 4

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	$− 32$	$− 1$	0	$− 2$	$− 3$	$− 4$

$y$	$− 94$	$− 2$	0	$− 2$	0	4

Построим график функции:

$xyyyyy110 ==== −−0m62,,, m2525> 0$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком 1, 2 или 3 общие точки.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −6,25,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = −6,25,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точки пересечения с графиком.
Если $− 6,25< m < − 2,25,$ то прямая то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m = − 2,25,$ то прямая $y =m$ имеет три точки пересечения с графиком.
Если $− 2,25< m < 0,$ то прямая $y =m$ имеет четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 0$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m > 0$ то то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет 1, 2 или 3 точки пересечения, когда

m ∈[−6,25;− 2,25]∪ [0;+∞ )

Ответ:

$m ∈ [− 6,25;−2,25]∪[0;+ ∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45264

Постройте график функции $y = −x2+ 6|x|− 5.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем знак модуля:

{ 2 y = −x2+ 6x− 5, при x≥ 0 −x − 6x− 5, при x< 0

Таким образом,

{ y = −(x− 3)2 +4, при x ≥0 −(x+ 3)2 +4, при x < 0

Построим график этой кусочно-заданной функции:

$xyyyyyy110 = = = = = mmmmm,,,,, mm−mm5<==><−−m4455 <4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m = −5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $− 5< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком исходной функции при $m ∈(−∞; −5)∪ {4}.$

Ответ:

$m ∈ (−∞; −5)∪{4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45265

Постройте график функции $y = |x2 +8x +12|.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение в правой части уравнения функции:

2 |x + 8x+ 12|= |(x+ 6)(x + 2)|

Раскроем знак модуля:

( |{ −(x+ 6)⋅−(x+ 2), при x< −6 y =|( (x+ 6)⋅−(x+ 2), при − 6 ≤ x≤ −2 (x+ 6)(x+ 2), при x> −2

Таким образом,

( |{ x2+ 8x+ 12= (x+ 4)2 − 4, при x < −6 y =| −(x2+ 8x+ 12)= −(x+ 4)2+ 4, при − 6 ≤ x≤ −2 ( x2+ 8x+ 12= (x+ 4)2 − 4, при x > −2

Построим график этой кусочно-заданной функции. Можно заметить, что график данной нам функции получается при помощи отражения части графика функции $2 y = (x+ 4) − 4,$ находящейся в нижней полуплоскости, в верхнюю относительно оси $Ox.$

$xyyyyyy110 = = = = = mmmmm,,,,, mm0mm<<==>m0044< 4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $0< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком исходной функции только при $m =4.$

Ответ:

$m = 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#45267

Постройте график функции $| | y = ||-2-+ 1||. |3− x |$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение в правой части уравнения функции:

|| 2 || ||2 + (3− x)|| ||5− x|| ||3-− x-+ 1||= ||-3−-x--||= ||3−-x||

Раскроем знак модуля:

(|5−x, при x < 3 y = {3−−x5−x, при 3< x≤ 5 |(5−3x−x 3−x, при x > 5

Таким образом,

( x−5 -2- |{ x5−−3x = 1−2 x−3, при x <3 y = |( x−3 = x−3 − 1, при 3≤ x ≤ 5 xx−−53 = 1− x2−3, при x >− 2

Построим график этой кусочно-заданной функции:

$xyyyyyy110 ===== mmmmm,,,,, m m 0 m m <=<=> 00m11 < 1$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $0 <m < 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m = 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m > 1,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком исходной функции только при $m ∈ {0;1}.$

Ответ:

$m ∈ {0;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#46329

Постройте график функции $y = x2+ 3x− 3|x +2|+ 2$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 y = x2+ 3x − 3(x +2)+ 2, еcли x + 2≥ 0 ⇔ x + 3x + 3(x +2)+ 2, если x + 2< 0 {x2+ 3x− 3x− 6+ 2, если x ≥ −2 ⇔ y = 2 ⇔ x + 3x+ 3x+ 6+ 2, если x < −2

{ 2 ⇔ y = x − 4, если x≥ −2 x2 +6x +8, если x< −2

График функции при $x ≥− 2$ — это парабола $2 y = x − 4.$

Найдем вершину параболы:

xв. =−-b =− 0 = 0 2a 2 yв. = 02− 4= −4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −2 :$


$x$	$− 2$	$− 1$	0	1	2	3

$y$	0	$− 3$	$− 4$	$− 3$	0	5

График функции при $x <− 2$ — это парабола $y = x2+ 6x+ 8.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − 6 = −3 2a 2 2 yв. =(−3) + 6⋅(−3)+ 8= −1

Построим таблицу значений для параболы при $x< − 2:$


$x$	$− 5$	$− 4$	$− 3$	$− 2$

$y$	3	0	$− 1$	0

Построим график функции:

$xyyy110 = = −01$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет три точки пересечения с графиком в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $2 y = x + 6x+ 8,$ то есть через точку $(− 3;− 1).$ В этом случае $m = −1.$
2.: Прямая $y = m$ проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку $(−2;0).$ В этом случае $m =0.$

Таким образом,

m ∈{0;−1}

Ответ:

$m ∈ {0;−1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#50259

Постройте график функции $y = |x|(x− 1)− 5x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль в выражении $y =|x|(x − 1) − 5x :$

{ y = x(x− 1)− 5x, если x ≥ 0 − x(x − 1)− 5x, если x< 0 {x2 − x− 5x, если x≥ 0 y = 2 −x + x − 5x, если x< 0 {x2 − 6x, если x≥ 0 y = − x2− 4x, если x < 0

График функции при $x ≥0$ — это парабола $y =x2 − 6x.$

Найдем вершину параболы:

b − 6 xв. = −2a = −-2-= 3 2 yв. = 3 − 6 ⋅3= −9

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	3	2	1	0	4	5

$y$	$− 9$	$− 8$	$− 5$	0	$− 8$	$− 5$

График функции при $x <0$ — это парабола $y =− x2− 4x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= − −4-= −2 2a −2 y = −(−2)2− 4⋅(−2)= 4 в.

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	$− 2$	$− 1$	0	$− 3$	$− 4$	$− 5$

$y$	4	3	0	3	0	$− 5$

Построим график функции:

$xyyy110 = = −49$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком 2 точки пересечения в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2− 6x:$ $(3;−9).$ В этом случае $m = − 9.$
2.: Прямая $y =m$ проходит через вершину параболы $y = −x2− 4x:$ $(− 2;4).$ В этом случае $m = 4.$

Получаем ответ:

m ∈{−9;4}

Ответ:

$− 9; 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#54129

Постройте график функции $y = x2− 11x− 2|x − 5|+ 30$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 y = x2− 11x − 2(x − 5)+ 30, еcли x − 5 ≥ 0 ⇔ x − 11x + 2(x − 5)+ 30, если x − 5 < 0 {x2 − 11x− 2x +10+ 30, если x ≥ 5 ⇔ y = 2 ⇔ x − 11x+ 2x − 10+ 30, если x < 5

{ 2 ⇔ y = x − 13x+ 40, если x ≥ 5 x2− 9x+ 20, если x < 5

График функции при $x ≥5$ — это парабола $2 y =x − 13x+ 40.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-13= 61 2a 2 2 ( 13)2 13 yв. = 2- − 13⋅2-+ 40= = 169-− 178= − 9= − 21 4 4 4 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 5:$


$x$	$1 62$	5	6	7	8	9

$y$	$1 − 24$	0	$− 2$	$− 2$	0	4

График функции при $x <5$ — это парабола $y =x2 − 9x +20.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= − −9-= 41 2a 2 2 ( 9)2 9 yв. = 2 − 9⋅ 2 + 20= = 81-− 82= − 1 4 4 4

Построим таблицу значений для параболы при $x< 5 :$


$x$	$412$	5	4	3

$y$	$1 − 4$	0	0	2

Построим график функции:

$1 xyyy110 = = −0 4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет три точки пересечения с графиком в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y =x2 − 9x +20,$ то есть через точку $(41;− 1). 2 4$ В этом случае $m =− 1= − 0,25. 4$
2.: Прямая $y = m$ проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку $(5;0).$ В этом случае $m = 0.$

Таким образом,

m ∈ {−0.25;0}

Ответ:

$− 0,25; 0$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#61564

Постройте график функции $y = 3|x +2|− x2− 3x− 2.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

$pict$

График функции при $x ≥ −2$ — парабола $y = −x2+ 4$ с ветвями вниз.

Найдем вершину параболы:

-b 0 xв. =− 2a =− 2 = 0 yв. = −02+ 4= 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −2 :$


$x$	0	$− 2$	$− 1$	1	2	3

$y$	4	0	3	3	0	$− 5$

График функции при $x <− 2$ — это парабола $y = −x2− 6x− 8$ с ветвями вниз.

Найдем вершину параболы:

b- −6- xв. = − 2a = − −2 = −3 yв. =− (− 3)2 − 6 ⋅(− 3)− 8 =1

Построим таблицу значений для параболы при $x< − 2:$


$x$	$− 3$	$− 2$	$− 4$	$− 5$

$y$	1	0	0	$− 3$

Точка $(− 2; 0)$ является точкой стыка двух графиков.

Построим график функции:

$xyyy110 == 10$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком ровно 3 общие точки.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ имеет 2 общие точки с графиком.
Если $m =0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 3 точки пересечения с графиком.
Если $0 <m < 1,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 4 точки пересечения с графиком.
Если $m = 1,$ то прямая $y = m$ имеет 3 точки пересечения с графиком.
Если $1< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком.
Если $m =4$ то прямая $y = m$ имеет ровно 1 точку пересечения с графиком.
Если $m > 4$ то прямая $y =m$ не имеет точек пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет 3 точки пересечения с графиком, когда $m ∈ {0; 1}.$

Ответ:

$m ∈ {0; 1}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#61570

Постройте график функции $y = x2− |6x +5|.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

$pict$

График функции при $5 x ≥− 6$ — парабола $y = x2− 6x− 5$ с ветвями вверх.

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-6= 3 2a 2 2 yв. = 3 − 6⋅3− 5= −14

Построим таблицу значений для параболы при $5 x≥ − 6 :$


$x$	3	0	1	2	$− 5 6$

$y$	$− 14$	$− 5$	$− 10$	$− 13$	$25 36$

График функции при $x <− 5 6$ — это парабола $y = x2+ 6x+ 5$ с ветвями вниз.

Найдем вершину параболы:

-b 6 xв. = −2a = −2 = −3 2 yв. =(−3) + 6⋅(−3)+ 5= −4

Построим таблицу значений для параболы при $x< − 2:$


$x$	$− 3$	$− 2$	$− 4$	$− 5$	$5 − 6$

$y$	$− 4$	$− 3$	$− 3$	0	$25 36$

Точка $( 5 25) − 6;36$ является точкой стыка двух графиков.

Построим график функции:

$xyyy110 = = −245 36$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком ровно 3 общие точки.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −14,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = − 14,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 1 точку пересечения с графиком.
Если $− 14< m < − 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 точки пересечения с графиком.
Если $m = −4,$ то прямая $y = m$ имеет 3 точки пересечения с графиком.
Если $− 4< m < 25, 36$ то прямая $y = m$ имеет 4 точки пересечения с графиком.
Если $m = 2536-$ то прямая $y = m$ имеет ровно 3 точки пересечения с графиком.
Если $m > 2536-$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет 3 точки пересечения с графиком, когда ${ } m ∈ − 4; 25 . 36$

Ответ:

${ } m ∈ − 4; 25 36$