Тема №16. Окружности

01 Задачи №16 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №16. окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45337

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB.$ Найдите угол $ACB,$ если угол $AOB$ равен $73∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то

1 1 ∘ ∘ ∠ACB = 2∠AOB = 2 ⋅73 = 36,5 .

Ответ: 36,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#26577

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $∘ 108 .$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $OC = OB$ как радиусы окружности. Тогда треугольник $OBC$ — равнобедренный и

1 ∘ ∠OBC = ∠OCB = 2 (180 − ∠BOC ).

При этом $∠BOC = ∠AOD = 108∘,$ тогда

∠OBC = 1 (180∘− 108∘)= 1⋅72∘ = 36∘. 2 2

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46324

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $ACB$ равен $53∘.$ Найдите угол $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$BO =OC$ как радиусы. Значит, треугольник $BOC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠OBC = ∠OCB = 53∘.$

$PIC$

$∠AOD = ∠BOC$ как вертикальные. Найдём $∠BOC$ по теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∠AOD = ∠BOC ∘= 180∘ − ∠O∘BC −∘ ∠BCO = = 180 − 53 − 53 = 74 .

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#116399

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ лежит на стороне $AB.$ Найдите угол $ABC,$ если угол $BAC$ равен $33∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Угол $ACB$ — вписанный и опирается на диаметр $AB,$ значит, $∠ACB = 90∘.$ В треугольнике $ABC$ по теореме о сумме углов треугольника

∠ABC = 180∘ − ∠ACB − ∠BAC = = 180∘− 90∘ − 33∘ = 57∘.

Ответ: 57

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#42139

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ лежит на стороне $AB.$ Радиус окружности равен 20,5. Найдите $BC,$ если $AC = 9.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, $∠ACB = 90∘.$ $AO = OB =20,5$ как радиусы. Тогда

AB = 20,5 +20,5= 41.

$PIC$

В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

BC = ∘AB2--−-AC2-= ∘ ------- √---- = 412− 92 = 1600= 40.

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#100344

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $80∘,$ угол $CAD$ равен $34∘.$ Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Углы $CAD$ и $CBD$ равны, как вписанные, опирающиеся на одну дугу $CD.$ Поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = = ∠ABD + ∠CAD = 80∘+ 34∘ = 114∘.

Ответ: 114

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#26575

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $∘ 92 ,$ угол $CAD$ равен $∘ 60 .$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $∠CBD =∠CAD$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, из этого следует, что $∘ ∠DBC = 60 .$

Тогда

∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 92∘− 60∘ =32∘.

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#26574

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N.$ Известно, что $∘ ∠NBA = 41 .$ Найдите угол $NMB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $∠NMB = ∠NAB,$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Так как $AB$ — диаметр, то $∠ANB = 90∘.$ Тогда треугольник $ANB$ — прямоугольный и

∠NAB = 90∘− ∠NBA =90∘− 41∘ = 49∘.

Тогда

∠NMB = ∠NAB = 49∘.

Ответ: 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#116402

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Радиус окружности с центром в точке $O,$ проходящей через вершину $A,$ равен $√- 5.$ Найдите площадь квадрата $ABCD.$

$ABCDO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $DO = CO = x.$ Тогда, так как $ABCD$ — квадрат, имеем

AD = AB = BC = CD = 2x.

$√- ABCDOxx2x5$

Запишем теорему Пифагора для треугольника $OAD :$

OA2 =DO2 + AD2 5 =x2 +4x2 2 5 =5x x2 = 1

Площадь квадрата со стороной $2x$ равна $2 4x,$ то есть

SABCD = 4x2 = 4 ⋅1 = 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#42805

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $52∘.$ Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как у трапеции основания параллельны, то сумма внутренних односторонних углов равна $180∘,$ то есть

∠A +∠B = 180∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠B =180 − ∠A = 180 − 52 =128

Ответ: 128

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#54954

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $77∘.$ Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По свойству вписанного четырёхугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A + ∠C = 180 ⇒ ∠C = 180 − 77 = 103

Ответ: 103

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#26584

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD,$ вписанного в окружность, равен $∘ 62 .$ Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что $∠BAD$ опирается на меньшую дугу $BD,$ а $∠BCD$ — на большую дугу $BD.$ Тогда сумма этих углов равна $180∘.$ Таким образом,

∘ ∠BAD + ∠BCD = 180 ∠BCD = 180∘ − ∠BAD = 180∘− 62∘ = 118∘

Значит, $∠C = 118∘.$

Ответ: 118

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#88756

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 12,$ $BC = 5,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$BAC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора

AB2 =BC2 + AC2 2 2 2 AB = 5 + 12 AB2 = 25+ 144 AB2 = 169 AB = 13

Радиус $R$ описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы, поэтому

1 R = 2AB = 6,5.

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#48494

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 16 3.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ — равносторонний, то все его углы по $60∘.$ Пусть $R$ — радиус описанной окружности. По теореме синусов

--AB---- sin∠BCA = 2R.

Значит,

√- √- R = -16-3--= 16√3-= 16. 2sin 60∘ 2⋅-23

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#57329

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 6 3.$ Найдите длину стороны этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$ По теореме синусов

---AB--- sin∠BCA =2R √ - √3- AB = 2R sin60∘ = 2⋅6 3⋅-2-= 6⋅3 =18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#57327

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150∘,$ $AB = 26.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$ По теореме синусов:

---AB--- sin∠ACB =2R 26 sin150∘ =2R 26 -1 =2R ⇒ R = 26 2

Ответ: 26

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#108434

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $45∘,$ $√- AB = 8 2.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$ По теореме синусов:

---AB--- sin∠ACB =2R 8√2- sin45∘ = 2R √- 8-2-= 2R ⇒ R = 8 1√2

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#48495

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 4 3.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведём высоту $BH$ треугольника $ABC.$

Рассмотрим треугольник $BHC.$ Так как в равностороннем треугольнике все углы по $60∘,$ то $∠BCH =60∘,$ $sin∠BCH = BBHC-.$ Тогда

∘ √ - √3- BH = BC ⋅sin60 = 4 3⋅ 2 = 6

Пусть точка $O$ — центр вписанной окружности. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. В равностороннем треугольнике биссектрисы совпадают с медианами и высотами, поэтому точка $O$ также является точкой пересечения высот и медиан. По свойству медианы треугольника

BO 2 1 1 OH- = 1 ⇒ OH = 3BH = 3 ⋅6 =2

$OH$ — радиус окружности, поэтому радиус вписанной окружности равен 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#57328

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 7 3.$ Найдите длину стороны этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис. Проведём биссектрису $BK.$

В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются медианами и высотами. Значит, $BK$ — медиана и высота, и точка пересечения биссектрис является точкой пересечения медиан. Так как медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении $2 :1,$ считая от вершины, то $BO- 2 OK = 1.$ Тогда если $r$ — радиус вписанной окружности треугольника $ABC,$ то $BO = 2r.$ Тогда

√- √ - BK = 3r = 3⋅7 3 = 21 3

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC :$

sin ∠BCK = BK-- B√C- BC = -BK--= 21√-3= 42 sin60∘ 23

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#57325

Периметр треугольника равен 110, одна из сторон равна 38, а радиус вписанной в него окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Периметр треугольника по условию равен 110, следовательно, полупериметр треугольника равен $1120= 55.$ Найдём площадь треугольника:

S = 55⋅10= 550.

Ответ: 550