16.01 Задачи №16 из банка ФИПИ

Так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то

как радиусы. Значит, треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

как вертикальные. Найдём по теореме о сумме углов треугольника:

Угол — вписанный и опирается на диаметр значит, В треугольнике по теореме о сумме углов треугольника

По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, как радиусы. Тогда

В треугольнике по теореме Пифагора:

Заметим, что как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, из этого следует, что

Тогда

Рассмотрим треугольник как угол, опирающийся на диаметр, По теореме о сумме углов треугольника

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому

Так как четырехугольник вписанный, то . Следовательно,

Заметим, что опирается на меньшую дугу а — на большую дугу Тогда сумма этих углов равна Таким образом,

Значит,

Так как у трапеции основания параллельны, то сумма внутренних односторонних углов равна то есть

Заметим, что опирается на меньшую дугу а — на большую дугу Тогда сумма этих углов равна

То есть

Так как четырехугольник описан около окружности, то

Ответ: 13

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Периметр треугольника по условию равен 110, следовательно, полупериметр треугольника равен Найдём площадь треугольника:

Пусть точки и — точки касания и с окружностью. Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то

Значит, точки и лежат на одной прямой, так как прямые, перепендикулярные третьей прямой, параллельны. Тогда — высота. Так как и — радиусы, то

Пусть точки и — точки касания окружности со сторонами и трапеции соответственно. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому Так как то а значит, точки лежат на одной прямой, то есть — высота трапеции

Таким образом, высота равна двум радиусам вписанной окружности, то есть

Так как треугольник — равносторонний, то все его углы по Пусть — радиус описанной окружности. По теореме синусов

Пусть — радиус окружности, описанной около треугольника По теореме синусов

Проведём высоту треугольника

Рассмотрим треугольник Так как в равностороннем треугольнике все углы по то Тогда

Пусть точка — центр вписанной окружности. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. В равностороннем треугольнике биссектрисы совпадают с медианами и высотами, поэтому точка также является точкой пересечения высот и медиан. По свойству медианы треугольника

— радиус окружности, поэтому радиус вписанной окружности равен 2.

Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис. Проведём биссектрису

В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются медианами и высотами. Значит, — медиана и высота, и точка пересечения биссектрис является точкой пересечения медиан. Так как медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении считая от вершины, то Тогда если — радиус вписанной окружности треугольника то Тогда

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Пусть — квадрат. — вписанный и равен Тогда — диаметр.

Рассмотрим треугольник По теореме Пифагора

Значит, диаметр окружности равен 32. Тогда радиус окружности равен

Пусть — квадрат. — вписанный и равен Тогда — диаметр. По условию радиус окружности равен тогда

Рассмотрим треугольник Пусть Так как все стороны квадрата равны, то По теореме Пифагора

Значит, сторона квадрата равна 8.