Тема Классические неравенства

Неравенства Мюрхеда и Шура

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91086

Для положительных чисел $x,y,z$ докажите неравенство

3 3 3 (x+ y)(y+ z)(z+ x)+ xyz ≤ 3(x + y +z )

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметричное относительно x, y и z неравенство. Они часто решаются с помощью неравенства Мюрхеда и неравенства Шура. Попробуйте применить какое-нибудь из них.

Подсказка 2

Раскройте скобки и примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Раскрыв скобки имеем:

T1,1,1(x,y,z) 3 2 +T2,1,0(x,y,z)≤ 2T3,0,0(x,y,z)

что очевидно следует из неравенства Мюрхеда.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#91087

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство

(a+-b− c)2 (b+c−-a)2- (c+-a−-b)2- ab + bc + ca ≥3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметричное относительно a, b и c неравенство. Они часто решаются с помощью неравенства Мюрхеда и неравенства Шура. Попробуйте применить какое-нибудь из них.

Подсказка 2

Домножьте на знаменатели, раскройте скобки и примените неравенство Шура.

Показать доказательство

Домножим на $abc,$ раскроем скобки, после этого имеем:

T3,0,0(a,b,c)+ T1,1,1(a,b,c)≥ 2T2,1,0(a,b,c)

что очевидно по неравенству Шура.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#91088

Неотрицательные числа $x,y,z$ таковы, что $x2+y2+ z2 = 3.$ Докажите неравенство

x+y +z ≥xy+ yz+ zx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие задачи не однородное, поэтому применять классические неравенства и прочие приемы тяжело. Попробуйте сделать условие задачи однородным.

Подсказка 2

Сделаем замену x=a/k, y=b/k, z=c/k. Тогда условие станет однородным и симметричным относительно a, b и c. Что же делать с k?

Подсказка 3

Выразите k из условия через a, b и c. А далее примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Сделаем замену

a b c x= λ ,y = λ,z = λ

Получим следующую задачу: положительные числа $a,b,c,λ$ таковы, что $2 2 2 2 a + b +c = 3λ,$ докажите, что $λ(a+ b+ c)≥ ab+ ac +bc.$

Выразим $λ,$ тогда нужно доказать следующее

∘ ---------- a2+-b2+-c2(a +b+ c)≥ab+ ac+bc 3

После возведения в квадрат получим

2 2 2 2 2 (a + b +c )(a+ b+ c) ≥ 3(ab+ ac+bc)

Раскроем скобки, домножим на $2$ и получим, что необходимо доказать следующее

T4,0,0(a,b,c)+ 2T2,2,0(a,b,c)+4T3,1,0(a,b,c)+ 2T2,1,1(a,b,c)≥ 3T2,2,0(a,b,c)+ 6T2,1,1(a,b,c)

Последнее очевидно из неравенства Мюрхеда.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91089

Для положительных чисел $a,b,c$ и $d$ докажите неравенство

∘-2---2--2---2 ∘ ---------------- a-+-b-+-c+-d-≥ 3 abc+bcd+cda+-dab- 4 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметричное относительно a, b, c и d неравенство. Они часто решаются с помощью неравенства Мюрхеда и неравенства Шура. Попробуйте применить какое-нибудь из них.

Подсказка 2

Да больно, но нужно возвести в шестую степень и преобразовать выражение. После этого примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Возведем в шестую степень. Теперь достаточно доказать, что

2 2 2 2 3 2 (a + b+ c +d ) ≥ 4(abc+bcd+cda+ dab)

После раскрытия скобок останется неравенство:

T6,0,0,0(a,b,c,d) 3T4,2,0,0(a,b,c,d) 2T2,2,2,0(a,b,c,d) 6 + 2 +T2,2,2,0(a,b,c,d) ≥ 3 + 2T2,2,1,1(a,b,c,d)

Оно верно, так как суммы коэффициентов перед $T$ одинаковые, а все наборы слева мажорируют наборы справа.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91090

Сумма положительных чисел $a,b,c$ равна $1.$ Докажите, что

--1-- -1--- --1-- --7--- a+ bc + b+ca + c+ ab ≥ 1+ abc

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие задачи неоднородное, поэтому применять классические неравенства и прочие приемы тяжело. Попробуйте сделать условие задачи однородным.

Подсказка 2

Оказывается, что a+bc=(a+b)(a+c). Тогда левая часть неравенства равна 2/((a+b)(a+c)(b+c)). Неравенство до сих пор не однородное. Сделайте его таким.

Подсказка 3

Сделайте неравенство однородным, используя (a+b+c)^3=1. Далее домножьте на знаменатели и воспользуйтесь неравенством Мюрхеда(или транснеравенством для нужных наборов).

Показать доказательство

Заметим, что $a+bc= a(a+b+ c)+bc= (a+b)(a +c).$ Аналогично для двух других знаменателей. Тогда сумма дробей в левой части равна

1 1 1 2 (a+-b)(a+-c) +(b+-c)(b+a) + (c+-a)(c+b) = (a+-b)(b+c)(c+-a)

т.е. исходное неравенство равносильно неравенству $2(a+b+ c)3 +2abc≥7(a+ b)(b+c)(c+ a).$ Если в нём раскрыть скобки и привести подобные, то останется неравенство $2a3+ 2b3+2c3 ≥ a2b+ ab2+b2c+ bc2+ c2a+ ca2,$ которое верно по неравенству Мюрхеда для наборов $(3,0,0)$ и $(2,1,0).$ Или если словами попроще, то верно по транснеравенству для наборов $a,a,b,b,c,c$ и $a2,a2,b2,b2,c2,c2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#91091

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $ab+ bc +ca= a+ b+c.$ Докажите, что

a +b+ c+ 1≥4abc

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие задачи неоднородное, поэтому применять классические неравенства и прочие приемы тяжело. Попробуйте сделать условие задачи однородным.

Подсказка 2

Сделаем замену a=a'/k, b=b'/k, c=c'/k. Тогда условие станет однородным и симметричным относительно a', b', c'. Что же делать с k?

Подсказка 3

Выразите k из условия через a', b' и c'. Далее примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Сделаем замену

a′ b′ c′- a= λ ,b = λ,c= λ

Штрихи далее опустим. Получим следующую задачу: положительные числа $a,b,c,λ$ таковы, что $λ(a+ b+c)= ab+bc+ ca,$ докажите, что $2 3 λ (a+ b+c)+λ ≥4abc.$ Подставив $λ$ поймем, что нужно доказать следующее

(ab+bc+ ca)2(a+ b+ c)2+ (ab+ bc+ca)3 ≥4abc(a+ b+ c)3

Раскроем скобки, приведем подобные и получим

3 1 T4,2,0(a,b,c)+ 2T3,3,0(a,b,c)≥ T4,1,1(a,b,c)+ T3,2,1(a,b,c)+ 2T2,2,2(a,b,c)

что очевидно из неравенства Мюрхеда.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91092

Сумма положительных чисел $x,y,z$ равна $1.$ Для произвольного натурального $k$ докажите неравенство

xk+2 yk+2 zk+2 1 xk+1+yk-+zk + yk+1+-zk+xk + zk+1-+xk+-yk ≥ 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

В условии сказано, что x+y+z=1, значит, вы умеете менять степень любого слагаемого на 1. Сделайте все слагаемые в знаменателях степени k+2. Что делать дальше?

Подсказка 3

Теперь условие задачи стало однородным. Домножьте на все знаменатели, сгруппируйте слагаемые на симметрические суммы. После чего напишите много Мюрхедов.

Показать доказательство

Покажем решение без особой технической реализации. Сделаем неравенство однородным. Для этого в знаменателе первой дроби $xk+2$ домножим на $x+ y+ z,$ а $k k y +z$ домножим на $2 (x+ y+ z).$ Аналогично проделаем с остальными слагаемыми. Теперь неравенство однородное. Домножим на все знаменатели, после чего нужно сгруппировать слагаемые на симметрические суммы. Это удастся сделать, так как изначальное неравенство симметричное относительно $x,y,z.$ После этого нужно применить неравенство Мюрхеда много раз.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#94741

Докажите, что для любого многочлена $P(x)$ , принимающего во всех точках неотрицательные значения, и для любого набора ( $x,y,z$ ) вещественных чисел, а также неотрицательного вещественного $t$ справедливо неравенство

t+2 t+2 t+2 t+1 t+1 t+1 t+1 P (x)+P (y)+P (z)− (P(z)P (x)+ P(z)P (y)+ P(y)P (x)+ P(y)P (z)+

t+1 t+1 t t t +P(x)P (y)+ P(x)P (z))+ P(x)P(y)P(z)+ P(x)P(z)P (y)+P (y)P(z)P (x)≥ 0.

Показать доказательство

Пусть $P(x)= a,P (y)= b,P (z)= c.$ По условию $a,b,c≥ 0.$ Тогда легко видеть, что выражение в левой части есть

∑ t 2 ∑ t cyca (a − ca− ba +cb)= cyca (a− b)(a− c)

Неравенство

∑ at(a− b)(a− c)≥ 0 cyc

представляет собой неравенство Шура, поэтому исходное неравенство выполняется.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#98107

Произведение положительных чисел $x,$ $y$ и $z$ равно $1.$ Докажите, что

2 2 2 2 2 2 2 4 4 44 4 4 27(y z +x)(xz + y)(x y +z)≤ 8(xy+ yz+ zx) (xy + y z+ z x)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Проще всего решать однородные неравенства. Правая часть уже однородна, она имеет степень 12. Как привести левую часть к тому же?

Подсказка 2

Умножением на xyz вы можете сделать все скобки в левой части степени 4. Как после этого решать неравенство? Вспомните неравенство Мюрхеда(хотя бы для 3 переменных).

Показать доказательство

Обозначим через $(a,b,c),a≥ b≥ c$ все одночлены вида $xaybzc, xbyazc, ....$ Назовём набор $(a,b,c)$ мажорирующим для $(a′,b′,c′),$ если

′ a ≥a

a +b≥ a′+b′

a +b+ c≥ a′+ b′+c′

a +b+ c= a′+b′+c′

Покажем, что для симметричных неравенств, где набор $(a,b,c)$ мажорирует $′ ′ ′ (a,b,c)$ выполнится $′ ′ ′ (a,b,c)≥(a,b,c).$ (Например, для $(2,0,0)$ и $(1,1,0)$ — $2 2 2 x + y +z ≥ xy+ xz+yz).$ Будем считать $′ b< b$ (иначе аналогично с $c$ и $′ c).$ Давайте зафиксируем $′ c,c$ и уменьшим $a$ и увеличим $b$ так, чтобы $a$ стало равно $a′.$ Тогда заметим, что $′ ′ ′ ′ xayb+ xbya ≥ xa yb+a−a + ya xb+a−a .$ Значит, мы можем сравнять первый коэффициент у двух наборов, не увеличив разность между ними. Аналогично сравняем второй коэффициент, третий сравняется автоматически и неравенство обратится в равенство. Значит, изначальный знак был верным. Вообще, мы сейчас предоставили план доказательства неравенства Мюрхеда для трёх переменных.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь пора решить задачу. Давайте приведём неравенство к однородному. Для этого в левой части домножим $x$ на $xyz = 1.$ Аналогично сделаем с $y$ и $z.$ Тогда получится следующее неравенство (уже однородное):

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 44 27(y z + xyz)(x z + yxz)(x y + zxy)≤ 8(xy+ yz+ zx) (x y + yz + zx )

Вынесем из левой части общие множители наружу:

2 22 2 2 2 2 44 4 4 4 4 27x y z(yz+x )(xz +y )(xy+ z)≤ 8(xy+yz+ zx)(x y +y z +z x )

А теперь аккуратно раскроем скобки. Тогда в левой части получатся слагаемые $54(4,4,4)+27(5,5,2)+ 27(6,3,3),$ а в правой части будет $8(6,6,0)+8(6,4,2)+16(5,2,2)+ 16(6,5,1).$ Ясно, что левые наборы мажорируются правыми, а суммы коэффициентов с учётом перестановок одинаковы и равны $216.$ (Любой набор справа кроме $(5,5,2)$ мажорирует любой левый, а набор $(5,5,2)$ есть слева с большим коэффициентом, поэтому можно просто его вычесть). Значит, неравенство верно.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел