Тема ДВИ по математике в МГУ

Теория чисел на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91976

Найдите сумму всех натуральных чисел $n,$ для которых число $n2+ 7n +1$ является квадратом некоторого натурального числа.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одно из значений n ищется подбором, попробуйте его сразу угадать!

Подсказка 2

Для остальных n > 1 попробуем сравнить наше выражение с точными квадратами. n² + 7n при выделении полного квадрата даёт (n + 3.5)² - 3.5². Попробуйте с учётом этого сделать вывод о том, будет ли наше выражение больше/меньше или может быть равно (n + 4)², (n + 3)² или (n + 2)². Осталось перебрать не так уж много вариантов, чтобы получить исчерпывающий ответ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть данное число является квадратом натурального числа $m.$ Тогда:

2 2 n +7n +1= m |⋅4

2 2 4n +28n+ 4= 4m |+ 45

4n2 +28n+ 49= 4m2 + 45

(2n +7)2− 4m2 = 45

(2n+ 7− 2m)(2n+ 7+ 2m)= 45

Так как первый сомножитель меньше второго, то получаем три случая:

1.

{ 2n+ 7− 2m = 5 2n+ 7+ 2m = 9

Вычтем из второго уравнение первое, получим, что $m = 1.$ А значит, $n = 0$ — не натуральное число.

2.

{ 2n+7 − 2m = 1 2n+7 +2m = 45

Аналогично первому случаю, получаем, что $m =11, n =8.$

3.

{ 2n+7 − 2m = 3 2n+7 +2m = 15

Получаем, что $m =3, n= 1.$

Итак, сумма подходящих $n$ равна $1 +8= 9.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Ясно, что $n =1$ подходит, потому что $1 +7+ 1= 32.$ При $n >1$ заметим, что

n2+ 7n+ 1> n2+4n+ 4= (n+ 2)2

так как

3n> 3

Но при этом

n2+7n +1< n2+ 8n+ 16 =(n+ 4)2

Значит, возможна только ситуация, когда

2 2 2 n + 7n+ 1= (n +3) = n +6n+ 9

n= 8

В итоге сумма подходящих значений равна $1 +8 =9.$

Ответ: 9

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92113

Найдите сумму всех двузначных чисел, состоящих из одной чётной цифры и одной нечётной цифры (чётные цифры — это $0,2,4,6,8$ , нечётные — все остальные).

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем выписать такие числа подряд! Какую закономерность можно заметить?

Подсказка 2

Выпишите подряд подходящие числа, у которых первая цифра нечётная, и отдельно, у которых первая цифра чётная! Сколько подходящих чисел в каждом десятке?

Подсказка 3

Группировка слагаемых поможет нам быстро справиться с вычислениями)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если цифра в разряде десятков нечётна (таких случаев 5), то каждому подходящему числу можно сопоставить неподходящее число на единицу больше. В каждом таком десятке будет 5 пар, поэтому сумма неподходящих чисел в таких десятках на $5 ⋅5 =25$ больше.

Если цифра в разряде десятков чётна (таких случаев 4, потому что 0 не может быть числом десятков двузначного числа), то каждому подходящему числу можно сопоставить неподходящее число на единицу меньше. В каждом таком десятке будет 5 пар, поэтому сумма неподходящих чисел в таких десятках на $5⋅4= 20$ меньше.

В итоге сумма $S$ подходящих на $25− 20= 5$ меньше, чем сумма неподходящих. Так как все двузначные числа учитываются приведённым соответствием, то получаем уравнение

90(10 +99) S+ (S+ 5) =10+ 11+...+99= ----2----= 4905

S =2450

Второе решение.

Отдельно сгруппируем суммы подходящих чисел с первой нечётной цифрой и отдельно с первой чётной, а далее заметим, что в каждом десятке по 5 подходящих чисел

(10+ 12+14+ 16+ 18+ 30+ 32+...+98)+(21+ 23 +25+ 27+29+ 41+ ...+89)=

5((10+ 30+ 50 +70+ 90)+ (0+2 +4+ 6+ 8))+ 5((20+ 40+60+ 80))+ 4(1+3 +5+ 7+ 9)=

5⋅(250+ 20+200)+ 4⋅25 =5⋅490= 2450

Ответ: 2450

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92362

Найдите количество всех упорядоченных четвёрок чисел $a,b,c,d$ , таких что числа

2 2 2 2 2 2 a − ab +b ,b − bc +c ,c − cd+d

равны друг другу, если известно, что каждое из чисел $a,b,c,d$ равно либо 1, либо 2, либо 3, а число $a$ является среди них наибольшим.

Показать ответ и решение

Замечание. В оригинальном условии на экзамене была опечатка, которая делала задачу некорректной. Решение приведено для нового условия, которое дано на сайте.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Условие о равенстве трех чисел эквивалентно выполнению следующей системы:

{ 2 2 2 2 a2− ab+ b2 =b2− bc+ c2 b − bc+c = c − cd+ d

Переносим в каждом уравнении правую часть влево и раскладываем на множители:

{ (a− c)(a+ c− b)= 0 (b− d)(b+d − c)= 0

Тогда возможны $4$ случая:

1.: $a =c$ и $b= d.$ В этом случае, если $a =3,$ то остается выбрать значение $b= 1,2,3$ ( $3$ способа), если $a =2,$ то $b=1,2$ ( $2$ способа) и $a= 1,$ $b =1$ ( $1$ способ), то есть всего $6$ способов;
2.: $a =c$ и $b+ d− c =0.$ В этом случае имеем $b+ d= c.$ Тогда $b+ d≥ 2,$ поэтому $c≥ 2.$ С другой стороны, $c≤ 3,$ поэтому $b+ d≤ 3.$ Тогда $b+d =2$ или $3$ и $a$ и $c$ равны $2$ или $3.$ Если $b+d =2,$ то $b=d =1,$ и $a= c,$ и этот случай мы учли выше. Если же $b+d =3,$ то тут всего два случая: $a =c= 3$ и $b= 1,$ $d =2$ или $b= 2,$ $d =1.$ Таким образом, имеем $2$ варианта;
3.: $a +c− b= 0$ и $b= d.$ Этот случай симметричен предыдущему, но в нем возможны только случаи $b= d= 2,$ $a= c= 1$ (который нас не интересует, так как $a$ — наибольшее число) и $b= d= 3$ и $a+ c= 3,$ в которых $a≤ 2,$ что тоже нас не интересует;
4.: $a +c− b= 0$ и $b+d − c= 0.$ Сложим два этих равенства и получим, что $a+ d= 0,$ что невозможно, поскольку $a≥1,$ $d ≥1.$

Таким образом, получаем $6 +2= 8$ упорядоченных четверок.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63904

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 105, которые делятся на 3, но не делятся на 5.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте о том, как мы можем описать сумму всех чисел, которые делятся на 3 и не делятся при этом на 5. Можем ли мы ее представить в виде какой-то разности?

Подсказка 2

Верно! Мы можем найти сумму всех чисел с нашего промежутка, которые делятся на 3 и потом вычесть сумму всех чисел, которые делятся и на 3 и на 5! А каждую из этих сумм легко посчитать при помощи формулы арифметической прогрессии!

Показать ответ и решение

Сначала возьмём все числа, кратные $3$ — это $3,6,9,...105$ . Их будет 35, а их сумма