3.10 Прямоугольный параллелепипед

Пусть .
 

 

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника () имеем: .

 

Из прямоугольного треугольника () по теореме Пифагора .

 

Подставляя из первого равенства во второе, получим:

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех трёх его измерений. Из вершины выходит по одному ребру каждого из измерений. Пусть длина неизвестного ребра равна Тогда

 
Площадь полной поверхности первого параллелепипеда

Площадь полной поверхности второго параллелепипеда Следовательно,

 
Так как , то грани и равны, следовательно, и их диагонали равны, значит, . Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то . Рассмотрим : в нем является средней линией, следовательно, она равна половине основания , которое в свою очередь является диагональю квадрата , следовательно, равно . Следовательно, .

 
Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, ) параллельны боковым ребрам призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть – длина их высоты.
Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника . Так как – прямоугольник, то есть , то . Заметим также, что вообще говоря , а .
Пусть – сторона шестиугольника. Его угол равен , следовательно, по теореме косинусов:

Заметим также, что , следовательно, в треугольнике : Следовательно, .
Значит, – прямоугольник со сторонами и .
 
Площадь правильного шестиугольника равна , следовательно, объем призмы а объем параллелепипеда Следовательно,

 

Обозначим , , , тогда площадь полной поверхности равна

Площадь квадрата со стороной равна , сумма площадей квадратов со сторонами , , равна , тогда искомая величина равна

Если мы повернем грань вокруг , так чтобы она оказалась в одной плоскости с гранью , а точки и оказались на продолжении отрезков и за точки и соответственно, то получим следующую фигуру:
 

 

Очевидно, что кратчайшее расстояние от точки до точки будет равно длине диагонали . Так как , то является диагональю квадрата .

Заданные отрезки являются диагоналями соответствующих граней параллелепипеда. Значит, каждый отрезок можно выразить через теорему Пифагора соответствующего прямоугольного треугольника: , , . Из этих уравнений можно найти неизвестные стороны параллелепипеда:
;
;
.
Мы нашли три различных ребра параллелепипеда. Всего в параллелепипеде ребер – по каждого вида. Тогда сумма всех ребер будет равна:

 
Заметим, что все варианты для площадей его граней – это всевозможные попарные произведения чисел , то есть , или . Среди этих произведений наибольшим является .

Отношение их объемов равно:

 

Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе диагонали равны. Следовательно, . Рассмотрим диагональ и диагональ параллелепипеда . Треугольник прямоугольный, так как ребро перпендикулярно грани (по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза

 
Пусть , , . Тогда объем параллелепипеда равен

Так как (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании лежит прямоугольник), то объем пирамиды Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Способ 1.

Заметим, что объем многогранника, вершинами которого являются точки в два раза меньше объема прямоугольного параллилепипеда, поскольку это призма с основанием, в два раза меньше, чем у параллелепипеда.

Тогда — искомый объём, — объём параллелепипеда:

Способ 2.

Полученный многогранник представляет из себя прямую призму с основаниями и объём которой вычисляет ся по формуле

Запишем выражение для объёма пирамиды который по условию равен 8:

Отсюда получаем

Заметим, что Найдём объём всего параллелепипеда:

Тогда объём оставшейся части равен

— пирамида с основанием и высотой так как

Объем пирамиды вычисляется по формуле

где — площадь основания, — высота, проведенная к основанию.

Найдем высоту пирамиды и площадь основания пирамиды:

Тогда объем пирамиды равен

Многогранник — это пирамида с основанием и высотой Объем пирамиды можно найти по формуле

Многогранник — призма с основанием и высотой Объем призмы можно найти по формуле

Прямые и — скрещивающиеся. Вместо прямой рассмотрим параллельную ей прямую и будем искать синус угла

Треугольник прямоугольный. Значит синус искомого угла равен

По теореме Пифагора найдем длину отрезка

Тогда искомый синус равен

В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора найдем длину

Треугольник прямоугольный, так как прямая перпендикулярна плоскости а значит, перпендикулярна и прямой По теореме Пифагора найдем

В прямоугольном параллелепипеде с измерениями и длина его диагонали равна

Следовательно,