Тема Газпром

Алгебраические текстовые задачи на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#123698

Группа альпинистов хочет совершить восхождение на айсберг высотой $1000$ м. После ночевки в лагере у подножья айсберга они могут подниматься, навешивая веревку, со скоростью $40$ м/ч, а по навешенной веревке со скоростью $400$ м/ч. После отдыха на трассе на айсберге скорость подъема составляет $30$ м/ч. За какое минимальное количество дней они смогут достичь вершины, если будут работать на айсберге (включая подъем по навешенной веревке) $6$ часов в день?

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть альпинисты на конец предыдущего дня добрались до высоты h. До какой максимальной высоты они смогут добраться в конце следующего?

Подсказка 2

Нужно разобрать два сценария, когда альпинисты ночуют у подножья и на айсберге. В каждом из случаев получится выражение для максимальной высоты на конец следующего дня.

Подсказка 3

Теперь нужно понять, на какой высоте какому из сценариев выгоднее следовать. Для этого нужно сравнить выражения и выяснить, при каких h одно выражение будет больше другого и наоборот. Далее можно будет вычислить итоговое количество дней.

Показать ответ и решение

Пусть $x n$ — наибольшая высота (в метрах), на которую могут подняться альпинисты к концу $n$ -го дня ( $n= 1,2,...$ ).

Пусть к концу какого-то дня они достигли высоты $h$ метров. Это значит, что они навесили $h$ метров верёвки. При ночёвке у подножия на следующий им сначала придется подняться на $h$ метров по верёвке со скоростью 400 метров в час, что займёт $h 400$ часов, а затем оставшееся время подниматься со скоростью 40 метров в час, то есть они поднимутся на высоту

( h ) h h+ 6− 400 ⋅40= h+ 240− 10

Если же ночью они будут отдыхать на айсберге, то на следующий день они всё время будут продвигаться со скоростью 30 метров в час и поднимуться на $h+ 6⋅30 =h +180.$

Заметим, что $h+ 240 −-h ≥h +180 10$ при $h≤ 600,$ поэтому группе выгоднее ночевать в лагере, только если они достигли высоты меньше шестисот метров. Тогда $xn+1$ определяется следующим образом:

({ xn+ 240− xn, при xn ≤ 600 xn+1 =( 10 xn+ 180, при xn ≥ 600

Здесь $(240 − xn∕10)$ — это прирост высоты при ночевке у подножия, а $180$ — прирост при ночевке на горе.

Начиная с $x0 = 0,$ определим последовательно $xn :$

Поскольку $x0 = 0≤ 600,$

x0 0 x1 =x0+ 240− 10-= 0+240− 10 = 240

Поскольку $x1 = 240≤600,$

x1 240 x2 = x1+ 240− 10 =240+ 240 − 10 =480− 24 =456

Поскольку $x2 = 456≤600,$

x2 456 x3 = x2+240− 10 = 456+ 240−-10-= 696− 45.6 =650.4

Теперь $x3 = 650.4> 600,$ поэтому для $x4$ используется вторая ветка формулы:

x4 =x3+ 180= 650.4 +180= 830.4

Так как $x4 = 830.4> 600 :$

x5 = x4+ 180= 830.4+ 180 =1010.4

Поскольку $x5 = 1010.4> 1000,$ альпинисты смогут подняться на айсберг (достичь высоты $1000 м$ ) к концу 5-го дня, при этом они первые две ночевки проводят внизу, а последние две — на айсберге.

Ответ:

$5$ дней

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#123706

Имеется два сплава меди и олова. Первый весит $5$ кг и содержит $55%$ меди, второй весит $3$ кг и содержит $25%$ меди. Какого веса надо взять куски этих сплавов, чтобы после их совместной переплавки получить $4$ кг сплава, содержащего $k%$ меди?

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть взяли x кг первого сплава и y кг второго. Исходя из условия можно выразить y через x. Также можно получить выражение через x для количества меди в новом сплаве.

Подсказка 2

Нам нужно выразить массы взятых сплавов через k. Зная выражение количества меди в новом сплаве через x, мы можем легко выразить x через k, ведь в новом сплаве по условию k процентов меди.

Подсказка 3

Осталось выразить через k массу взятого куска второго сплава и проверить, при каких значениях k соблюдаются ограничения на массы изначальных сплавов из условия.

Показать ответ и решение

Пусть взяли $x кг$ первого сплава и $y кг$ второго сплава. По условию, суммарный вес нового сплава должен быть $4 кг,$ то есть $x +y =4.$ Отсюда $y =4 − x.$ Первый сплав весит $5 кг$ и содержит $55%$ меди. Количество меди в $x кг$ первого сплава: $0.55x.$ Второй сплав весит $3 кг$ и содержит $25%$ меди. Количество меди в $y кг$ второго сплава: $0.25y =0.25(4− x).$

Общее количество меди в новом $4 кг$ сплаве:

M = 0.55x+0.25(4− x)=0.55x +1− 0.25x= 0.3x+ 1 (кг)

Новый сплав должен содержать $k%$ меди. В $4 кг$ это составляет $4⋅-k- =0.04k кг меди. 100$ Следовательно,

0.3x+ 1= 0.04k

Выразим $x$ через $k:$

0.3x= 0.04k− 1

x = 0.04k-− 1 = 41k00-− 1-= 4k-− 100⋅ 10 = 4k-− 100= 2k−-50 0.3 310- 100 3 30 15

Тогда вес второго сплава

y =4− x= 4− 2k−-50= 60−-(2k−-50)= 60− 2k+-50= 110−-2k 15 15 15 15

Используем ограничения на количество исходных сплавов: Для первого сплава: $0≤ x≤ 5$ (так как всего имеется $5 кг$ первого сплава). Для второго сплава: $0≤ y ≤ 3$ (так как всего имеется $3 кг$ второго сплава).

Подставим выражения для $x$ и $y :$

1) Ограничение для $x:$

0≤ 2k−-50-≤ 5 15

25 ≤k ≤62.5

2) Ограничение для $y :$

0≤ 110−-2k≤ 3 15

32.5≤ k≤ 55

Чтобы оба условия выполнялись, найдем пересечение диапазонов для $k :$

{ 25≤ k≤ 62.5 32.5≤ k ≤55

Пересечением является интервал $k∈ [32.5;55].$

Таким образом, при $k∈ [32.5;55]$ нужно взять $2k− 50 --15---кг$ первого сплава и $110− 2k ---15---кг$ второго сплава. При $k∈∕[32.5;55]$ (но в пределах $0 ≤k ≤100,$ если $k$ — процент) такой сплав получить невозможно.

Ответ:

При $k∈ [32,5;55]$ нужно взять $2k−50 15$ кг первого сплава и $110−2k 15$ второго сплава; при $k∈ [0;32,5)∪(55;100]$ такой сплав получить невозможно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99236

На предприятии изготавливают инструмент для шахт, который в зависимости от качества делится на три сорта. При проверке качества в отделе технического контроля (ОТК) вероятности неверной сортировки продукции составляют:

- для инструмента первого сорта вероятность попасть во второй сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента второго сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента третьего сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,005,$ во второй сорт — $0,05;$

Какая доля инструмента первого сорта была изготовлена, если после контроля ОТК $93,5%$ инструмента были признаны первосортным, а $3$ % инструмента — третьесортным?

Источники: Газпром - 2024, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь, как и в любой задаче на движение/производство/сплавы и прочее, в большинстве случаев стоит просто параметризировать все начальные данные и составить уравнения из условия. В данном случае очень удобно будет ввести x — доля первого сорта в начале, y, z — второго и третьего соответственно. Какие тогда уравнения у нас получаются на x, y, z в связи с условием и в связи с тем, как мы их ввели?

Подсказка 2

В силу того, что это доля, x + y + z = 1. А также есть два уравнения на изменение первого и третьего сорта. Тогда у нас получилась система из 3 уравнений на 3 переменных. А значит, можем найти х.

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — доля изготовленного инструмента первого сорта, $y$ — второго сорта, $z$ — третьего сорта.

Для инструмента первого сорта получим уравнение:

0,975x+ 0,015y+ 0,005z =0,935.

Для инструмента третьего сорта получим уравнение:

0,01x+ 0,01y +0,945z = 0,03.

Воспользуемся условием, что $x+ y+ z = 1$ , и получим систему уравнений:

(|{ 0,975x+ 0,015y +0,005z = 0,935, 0,01x+ 0,01y+ 0,945z =0,03, ⇔ |( x+ y+ x= 1 ( ( ( -4- |{ 195x+ 3y+ z = 187, |{ 192x− 2z =184, |{ z = 178177, ⇔ |( 2x +2y+ 189z =6, ⇔ |( 187z = 4, ⇔ |( x= 74158, x+y +z =1 x +y+ z = 1 y = 748.

Ответ:

$717 748$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99237

ООО «СварМонтаж» занимается строительством линейной части магистральных газопроводов. В составе организации работают три бригады сварщиков, причем некоторые из сварщиков имеют удостоверение НАКС («Национальное Агентство Контроля сварки»). Среди сотрудников трех бригад, доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС, образуют геометрическую прогрессию.

Если бы количество сварщиков при неизменном проценте обладателей удостоверений НАКС в бригадах соотносилось бы как $2:3:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, был бы равен $48,$ а если бы соотношение было бы $1:2:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, составил бы $54.$ Сколько процентов сотрудников в каждой бригаде имеют удостоверение НАКС?

Источники: Газпром - 2024, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах, где есть несколько непересекающихся групп объектов и в каждой из таких групп есть особые объекты, которые отличаются каким-то свойством, очень удобно вводить явные переменные, которые отражают начальное количество объектов каждого типа, и после этого записывать уравнения из условия. Пусть в нашей задаче p/100, q/100, r/100 — доли сотрудников, у которых есть НАКС. Тогда без ограничения общности можно сказать, что q² = pr. А какие еще уравнения, связанные с отношениями, следуют из условия на p,q,r?

Подсказка 2

Имеем: 48/100(2k + 3k + k) = p/100*2k + q/100*3k + r/100*k. Запишите аналогичное уравнение для оставшегося отношения, после чего у нас получится система, пусть и нелинейная, но из трёх уравнений и трёх неизвестных. Теперь их все можно найти!

Показать ответ и решение

Пусть доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС в каждой бригаде, составляют $-p,-q-, r- 100 100 100$ соответственно. Указанные доли составляют геометрическую прогрессию, следовательно, по признаку геометрической прогрессии $2 q = p⋅r.$

Пусть количество сотрудников (сварщиков) в каждой бригаде составляют $x,y,z$ соответственно.

Также по условию при соотношении сотрудников бригад $2:3:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $48.$ Это означает, что $x :y :z = 2:3:1,$ следовательно, $x = 2k,y = 3k,z =k;$ запишем:

48 p q r 100 ⋅(x +y +z)= 100 ⋅x+ 100 ⋅y+ 100-⋅z ⇔ 48⋅(x +y +z)= p⋅x+ q⋅y+⋅z ⇔ . ⇔ 48⋅(2k+3k+ k)= p⋅2k+q ⋅3k+ r⋅k⇔ 48⋅(2+ 3+1)= p⋅2+ q⋅3+r ⋅1.

А значит, $2p+ 3q+r =288.$

По условию, при соотношении сотрудников бригад $1:2:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $54.$ Это означает, что $x :y :z = 1:2:1,$ следовательно, $x = k,y = 2k,z = k;$ запишем:

-54⋅(x+ y+ z) =-p-⋅x +-q-⋅y+ -r-⋅z ⇔ 54⋅(x+ y+ z) =p⋅x+ q⋅y+ r⋅z ⇔ 100 100 100 100 ⇔ 54⋅(k+ 2k+ k)=p ⋅k +q⋅2k+ r⋅k⇔ 54⋅(1+2 +1)= p⋅1+ q⋅2+r⋅1.

А значит, $p+ 2q+ r=216$ . Получили систему из трёх уравнений:

( ( ( |{ q2 = pr |{ q2 =pr, |{ q = 48 |( p +2q+ r= 216, ⇔ |( p= 72− q, ⇔ |( p= 24 2p+ 3q+ r=288 r= 144− q r= 96

Ответ:

$24%,48%,96%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99213

На торги выставлен лот из трёх пакетов акций нефтедобывающих компаний: Разнефти, Дванефти и Тринефти. Суммарное количество акций пакетов Разнефти и Дванефти совпадает с количеством акций в пакете Тринефти. Пакет акций Дванефти в $4$ раза дешевле пакета Разнефти, а их суммарная стоимость совпадает со стоимостью пакета Тринефти. Одна акция Разнефти превышает стоимость одной акции Дванефти на величину от $16$ тыс. руб. до $20$ тыс. руб., а цена одной акции Тринефти колеблется в пределах от $42$ тыс. руб. до $60$ тыс. руб. Определить, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций в лоте может составлять пакет акций Дванефти.

Источники: Газпром - 2022, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии дано очень много чисел, поэтому нам нужно ввести много переменных для них и записать систему. Далее нужно выразить величину, про которую мы хотим что-то узнать.

Подсказка 2

Оказывается, исследование величины из вопроса задачи сводится к исследованию m/n, где m и n — количества акций в пакетах Разнефти и Дванефти соответственно.

Подсказка 3

Рассмотрим, например, максимизацию отношения. Тогда m максимально, а n минимально. Значит, цена акции Тринефти максимальна, а разность стоимости минимальна. Нужно это доказать, а потом решить систему уравнений. Аналогично для минимизации.

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — цена одной акции Дванефти, $y$ — цена одной акции Разнефти, $z$ — цена одной акции Тринефти; $n$ — количество акций в пакете Дванефти, $m$ — количество акций в пакете Разнефти. Остальные условия задачи запишем в виде системы уравнений и неравенств:

(| (| m- 4x- ||||| 4xn =ym, ||||| n = y , |{ xn +ym = z(m + n), |{ y = x+a,am- ||| 16≤ y− x≤ 20, ⇒ ||| z = x+ n+m, ||||( 42≤ z ≤ 60 ||||( 16 ≤a ≤20 42 ≤z ≤60

Необходимо найти переделы изменения величины

n n n+-m-+(n+-m)-⋅100% = 2(n+-m)-⋅100%

Если удастся найти отношения $mn,$ то задача будет решена, так как $( ) 2(n+nm) =2 1+ mn- .$ Определим сначала, при каких условиях процент акций Разнефти в общем лоте будет наименьшим. Для этого $2(nn+m-) → min,$ если $n→ min,m → max,y − x → min ,$ следовательно, $y− x= 16,$ значит, $a =16.$ Если $n → min,m → max ,$ то $z = x+ 1n6+mm-→ max,$ следовательно, $z = 60.$ Тогда,

m- = -4x-,x= -16m--,z = -16m--+ -16m-= 60 n x+16 4n− m 4n − m n +m

16m(m + n)+ 16m(4n− m)= 60(4n− m)(n +m )

( ) 80mn = 60 4n2+ 3mn − m2

3m2 − 5mn − 12n2 = 0

(m )2 m 3 -n − 5n-− 12= 0

[ m-= 3 nm-= − 4 n 3

По условию задачи выбираем $m = 3n,$ тогда наименьший процент

---n---100% = 12,5% 2(n+ m)

Аналогично найдем наибольший процент: для этого $--n-- 2(n+m) → max,$ если $n→ max,m → min,y − x → max,$ следовательно, $y− x =20,$ значит, $a= 20.$ Если $n→ max,m → min,$ то $-20m- z =x +n+m → min,$ следовательно, $z = 42.$ Тогда, $-20m- x= 4n−m$ , $20m- 20m- z = 4n−m + n+m = 42.$ Имеем:

21m2 − 13mn − 84n2 = 0

(m-)2 m- 21 n − 13 n − 84= 0

{ m-= 7 nm-=−312 n 7

По условию задачи выбираем $m = 73n,$ наибольший процент $2(nn+m-)100% =15%.$

Ответ:

$12,5%$ и $15%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99163

Сторона квадрата равна $2.$ Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и т. д. Найти сумму периметров этих квадратов.

Источники: Газпром - 2021, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хотелось бы понять, а какие значения вообще принимают периметры таких квадратов. Давайте переберём первые несколько значений и попробуем найти закономерность.

Подсказка 2

Сторона каждого следующего квадрата в √2 раз меньше стороны предыдущего, следовательно, у периметров такое же отношение. Такая последовательность напоминает какую-то прогрессию. Подумайте, как найти её сумму!

Показать ответ и решение

Длина стороны первого квадрата равна $2,$ его периметр равен $8.$ Длина стороны второго квадрата равна $√2-$ (по т. Пифагора), его периметр равен $√ - 4 2.$ Длина стороны третьего квадрата равна $1,$ его периметр равен $4.$ Длина стороны четвёртого квадрата равна $√2 2$ , его периметр равен $4√2- 2 .$ Длина стороны пятого квадрата равна $1 2$ , его периметр равен $4 2.$ И т. д. Получим последовательность:

√ - 4√2 4 8,4 2,4,-2-,2,...

Эта последовательность представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1√2,$ то есть $|q|< 1.$ Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $S = b11−q.$ Так как $b1 = 8,q = 1√2,$ то

√- S = --8--= √8-2-. 1− 1√2 2− 1

Ответ:

$-8√2- √2-− 1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#99165

Заданы квадраты со сторонами $a = 2020 n n$ , для $n= 1,2,...$ Можно ли все квадраты, начиная со второго, уложить в первый квадрат без наложений?

Источники: Газпром - 2021, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем их уложить, а в случае чего покажем, что это не удастся. Не совсем понятно, как аккуратно укладывать, если работать с квадратами по одиночке... Быть может, можно работать с ними группами?

Подсказка 2

Нам хотелось бы попробовать разбить квадраты на такие группы, чтобы для каждой группы заприметить "свой" прямоугольник, который они будут занимать в большом квадрате. Причём прямоугольники должны быть такой длины, чтобы при бесконечном суммировании получалось не больше, чем 2020.

Подсказка 3

Обратите внимание на то, что сумма обратных степеней двоек как раз равна 1!

Подсказка 4

Можно ли разбить наши квадраты на группы так, чтобы одна группа помещалась в прямоугольник с длиной 2020/2ⁿ?

Показать ответ и решение

Разделим квадраты на группы так, чтобы количество квадратов в группе было ровно 2 в степени номера группы:

(2020 2020) ( 2020 2020 2020 2020) -2--;-3- , -4-;-5-;--6-;-7-- ,...

Сумма длин сторон квадратов в $n$ -ой группе равна

( ) ( ) 2020 -1n + n1---+...+-n+11--- <2020⋅ -1n +-1n +...+ 1n- = 2020⋅1 =2020 2 2 +1 2 − 1 ◟2---2-n◝◜-----2-◞ 2 раз

Квадраты $n$ -ой группы помещаются рядом в прямоугольник с высотой $202n0 2$ и шириной 2020. Помещая эти прямоугольники, содержащие группы квадратов, один на другой, получим прямоугольник шириной 2020 и высотой, равной сумме высот прямоугольников:

2020(1+ -1 +-1 +-1 +...+ -1 +...) = 2020 2 22 23 24 2n

то есть в первый квадрат поместились без наложения все квадраты, начиная со второго.

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#99170

Три насоса разной производительности наполняли танкер нефтью. Если бы производительность первого была в $2$ раза, а третьего — в $3$ раза больше, чем в действительности, то танкер был бы наполнен за $5$ часов. Если бы производительность первого была в $3$ раза, а второго — в $2$ раза, а третьего — в $4$ раза больше, чем в действительности, то танкер был бы наполнен за $3 34$ часа. За сколько часов танкер наполнен в действительности?

Источники: Газпром - 2021, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах на работу/движение/заполение чего-то, всегда удобно ввести параметры, через которые все выражается и дальше работать исключительно с получившейся системой. Какие здесь параметры удобно ввести?

Подсказка 2

Скорости работы и объём танкера. Тогда составим уравнения, которые следуют из условия. Какое выражение нам тогда нужно найти? А как его выразить, если мы посмотрим на уже имеющуюся систему?

Подсказка 3

Нам надо найти отношение объёма танкера к сумме скоростей заполнения. При этом два отношения уже есть. Заметим, что коэффициенты в одном (каждый из них) меньше соответствующих коэффицинтов в другом. Как тогда найти нужное нам отношение?

Показать ответ и решение

Обозначим объем танкера $V$ (а некоторых единицах), а производительности первого, второго и третьего насосов через $x,y,z,$ соответственно. Составим по условиям задачи два уравнения:

3 5(2x+ y+ 3z)= V и 34 (3x+ 2y+4z)= V

Пусть $t$ — число часов, за которое в действительности наполнен танкер. Получим третье уравнение: $t(x+ y+ z)=V.$ Составим систему уравнений:

( V |{ 2x+ y+ 3z = 54V |( 3x+ 2y+ 4z = 15 x +y+ z = Vt

Если найдем такие числа $α$ и $β$ , для которых

α(2x+ y+ 3z)+ β(3x+ 2y+ 4z)= x+ y+ z

то будет справедливо равенство:

V- 4V- V- α 5 +β 15 = t

Для нахождения чисел $α$ и $β$ сравним в уравнении

α(2x+ y+ 3z)+ β(3x+ 2y+ 4z)= x+ y+ z

коэффициенты при одинаковых неизвестных. Получим систему:

(| 2α+ 3β = 1 { α+ 2β = 1 |( 3α+ 4β = 1

Решая систему, находим $α = −1$ и $β = 1.$ Следовательно, решая уравнение $4V − V-= V- 15 5 t$ , получим $t =15.$

Ответ:

$15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#98154

В доме 720 квартир. Однокомнатные квартиры составляют более $12%,$ но менее $13%$ от общего числа квартир. $60%$ от оставшихся были двухкомнатные квартиры, остальные — трехкомнатные. Определите, какое количество процентов от общего числа квартир этого дома составили двухкомнатные квартиры.

Источники: Газпром - 2020, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, можно ли всё выразить через одну переменную. Как будет выглядеть количество однокомнатных квартир?

Подсказка 2

Однокомнатные квартиры будут заданы через неравенство. Если перебирать варианты не хочется, обратимся к выражению двухкомнатных квартир через переменную и поставим ограничение.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — суммарное количество двухкомнатных и трехкомнатных квартир, тогда количество однокомнатных квартир $(720 − x).$

По условию задачи количество двухкомнатных квартир — $0,6x,$ количество трехкомнатных квартир — $0,4x$ , количество однокомнатных квартир заключено в интервале от $0,12⋅720$ до $0,13⋅720,$ то есть

0,12⋅720< 720 − x <0,13 ⋅720

86,4< 720 − x <93,6

626,4< x< 633,6

Число $0,6x$ — число двухкомнатных квартир — целое. Следовательно, оно должно делиться на $5.$ Но в интервале $626,4< x< 633,6$ одно целое число, которое делится на $5$ — это $630$ , так что $x= 630.$ Тогда количество двухкомнатных квартир $0,6 ⋅630= 378,$ что составляет $52,5%$ от общего числа квартир.

Ответ:

$52,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105074

Газопровод разбит на несколько участков. На каждом участке работает одинаковое число работников. Известно, что число работников находящихся на одном участке, превышает число участков на $12.$ Когда $15$ человек пришли на первый участок, а с остальных участков ушло по $15$ человек, число работников на первом участке стало равным числу работников, оставшихся на всех остальных участках. Определить число участков газопровода.

Источники: Газпром - 2020, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами текстовая задача, а условие прямо намекает на составление уравнения) Но для этого нам нужно ввести переменные! Обозначим за n число участков, а за k — число работников, работающих первоначально на каждом участке. Как тогда записать условие с помощью уравнения?

Подсказка 2

k - n = 12, k + 15 = (n-1)(k+15). Как можно решить такую систему?

Подсказка 3

Выразим n через k и подставим!

Показать ответ и решение

Обозначим за $n$ число участков, а за $k$ — число работников, работающих первоначально на каждом участке. Исходя из условий задачи, получим систему:

( ( |{ k− n= 12 |{ n =k − 12 |( k+ 15 =(n− 1)(k− 15), |( k+ 15= (k− 12− 1)(k− 15) k> 15,n,k∈ N; k >15,n,k ∈N

Решим эту второе уравнение системы.

k +15= (k− 13)(k − 15) 2 k +15= k − 28k +195 k2− 29k+ 180= 0 k1 =9,k2 = 20

Так как по условию $k> 15$ , то $k= 20$ и $n= 8.$ Таким образом, газопровод разбит на $8$ участков.

Ответ:

$8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#105943

В компьютерном магазине за два дня продали $2$ одинаковых монитора, $13$ принтеров и один сканер, причем в первый день была выручена та же сумма, что и во второй. Принтер дешевле монитора и дороже сканера на одну и ту же сумму. Сколько принтеров и сколько мониторов продали в один день со сканером?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть в один день со сканером продано P мониторов и L принтеров, с есть цена принтера и принтер на s дороже сканера. Какое тогда уравнение можно написать, исходя из условия?

Подсказка 2

Верно, P(c+s) + Lc + (c-s) = (2-P)(c+s) + (13-L)c. У нас в уравнении есть целые переменные, поэтому можно попробовать представить уравнение в виде равенства произведений в правой и левой частях. Как это сделать?

Подсказка 3

Точно, (14- 2L - 2P)c = (2P-3)s! Теперь вспомним, что мониторов всего 2, поэтому P может быть равно 0, 1 или 2. Попробуем по очереди разобрать все три случая!

Подсказка 4

В случае P = 0 получаем (2L - 14)c = 3s. Вспомним, что s, исходя из условия задачи, меньше c! Какой вывод можно сделать?

Подсказка 5

Верно! Подходит только L = 8. При P = 1 и P = 2 уравнение принимает вид (2L - 12)c = s и (10-2L)c = s соответственно. Можно ли снова использовать тот факт, что 0 < s < c?

Показать ответ и решение

Допустим, что в один день со сканером продано $P$ мониторов и $L$ принтеров. Тогда в другой день было продано $2− P$ и $13− L$ мониторов и принтеров соответственно. Если $c$ — цена принтера, учитывая, что принтер на $s$ дороже сканера $(0 <s< c),$ то цена равна сканера $c− s,$ а цена монитора равна $c+s,$ а из условия задачи следует, что

P(c+s)+ Lc+ (c− s)=(2− P)(c+ s)+(13− L)c (14− 2L− 2P)c= (2P − 3)s

Число $P$ может принимать одно из трех значений: $0,1$ или $2.$ Рассмотрим по очереди каждое из них.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $P = 0,$ тогда

(2L − 14)c= 3s

Так как $0< s< c,$ следовательно,

0 <(2L− 14)c< 3c

7 <L < 8,5

Единственное целое число $L,$ которое удовлетворяет этому неравенству, равно $8.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В случае $P = 1$

(2L− 12)c= s

Так как $0< s< c,$ то

0< (2L − 12)c<c

6 <L < 6,5

Очевидно, что никакое целое число при $P =1$ не удовлетворяет получившемуся неравенству.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При $P = 2$ получим

(10− 2L)c= s

Так как $0< s< c,$ то

0< (10− 2L)c<c

4,5< L< 5

Т.е. при $P =2$ неравенство не выполняется ни при каких целых $L.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Таким образом, описанная в условии задачи ситуация может осуществиться только при $P =0,L= 8.$ Значит, в один день со сканером продано $8$ принтеров и ни одного монитора.

Ответ: 8 принтеров и 0 мониторов

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#105944

Объёмы добычи газа (млрд. куб. м) за первое полугодие $2017$ года компаниями «Новатэк», «Роснефть», «ЛУКОЙЛ» относятся между собой как $1 1 -1 5 :2 :10,$ а объём добычи газа (млрд. куб. м) компанией «Газпром нефть» составляет $30%$ от объема добытого газа компанией «Роснефть».Определить, сколько млрд. куб. м составили объёмы добычи газа компаниями «Новатэк», «Роснефть», ЛУКОЙЛ и «Газпром нефть», если известно, что компания «Роснефть» добыла на $8$ млрд. куб. м больше, чем остальные компании вместе.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть x — весь объем добытого газа. Как можно выразить объемы газа, добытого каждой компанией?

Подсказка 2

Верно! Это x/5, x/2, x/10 и 3x/20. Причем x/2 — это объем газа, добытый компанией "Роснефть". Какое тогда выходит уравнение по условию?

Подсказка 3

Конечно! x/2 = x/5 + x/10 + 3x/20 + 8. Какой тогда получается x?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — объём всего добытого газа. Тогда $x; x;-x; 3x- 5 2 10 10⋅2$ — объёмы добытого газа каждой из компаний “Новатэк”, “Роснефть”, “ЛУКОЙЛ” и “Газпром нефть” соответственно. Тогда

x x x 3x 2 = 5 + 10-+ 20 + 8

10x− 4x − 2x− 3x ------20------= 8

x= 160

Соответственно

160 160 160 3 ⋅160 -5-= 32,-2-= 80,10-= 16,-20- =24

Ответ:

$32; 80; 16; 24$