Тема Газпром

Алгебраические текстовые задачи на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99236

На предприятии изготавливают инструмент для шахт, который в зависимости от качества делится на три сорта. При проверке качества в отделе технического контроля (ОТК) вероятности неверной сортировки продукции составляют:

- для инструмента первого сорта вероятность попасть во второй сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента второго сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента третьего сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,005,$ во второй сорт — $0,05;$

Какая доля инструмента первого сорта была изготовлена, если после контроля ОТК $93,5%$ инструмента были признаны первосортным, а $3$ % инструмента — третьесортным?

Источники: Газпром - 2024, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь, как и в любой задаче на движение/производство/сплавы и прочее, в большинстве случаев стоит просто параметризировать все начальные данные и составить уравнения из условия. В данном случае очень удобно будет ввести x — доля первого сорта в начале, y, z — второго и третьего соответственно. Какие тогда уравнения у нас получаются на x, y, z в связи с условием и в связи с тем, как мы их ввели?

Подсказка 2

В силу того, что это доля, x + y + z = 1. А также есть два уравнения на изменение первого и третьего сорта. Тогда у нас получилась система из 3 уравнений на 3 переменных. А значит, можем найти х.

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — доля изготовленного инструмента первого сорта, $y$ — второго сорта, $z$ — третьего сорта.

Для инструмента первого сорта получим уравнение:

0,975x+ 0,015y+ 0,005z =0,935.

Для инструмента третьего сорта получим уравнение:

0,01x+ 0,01y +0,945z = 0,03.

Воспользуемся условием, что $x+ y+ z = 1$ , и получим систему уравнений:

(|{ 0,975x+ 0,015y +0,005z = 0,935, 0,01x+ 0,01y+ 0,945z =0,03, ⇔ |( x+ y+ x= 1 ( ( ( -4- |{ 195x+ 3y+ z = 187, |{ 192x− 2z =184, |{ z = 178177, ⇔ |( 2x +2y+ 189z =6, ⇔ |( 187z = 4, ⇔ |( x= 74158, x+y +z =1 x +y+ z = 1 y = 748.

Ответ:

$717 748$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99237

ООО «СварМонтаж» занимается строительством линейной части магистральных газопроводов. В составе организации работают три бригады сварщиков, причем некоторые из сварщиков имеют удостоверение НАКС («Национальное Агентство Контроля сварки»). Среди сотрудников трех бригад, доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС, образуют геометрическую прогрессию.

Если бы количество сварщиков при неизменном проценте обладателей удостоверений НАКС в бригадах соотносилось бы как $2:3:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, был бы равен $48,$ а если бы соотношение было бы $1:2:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, составил бы $54.$ Сколько процентов сотрудников в каждой бригаде имеют удостоверение НАКС?

Источники: Газпром - 2024, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах, где есть несколько непересекающихся групп объектов и в каждой из таких групп есть особые объекты, которые отличаются каким-то свойством, очень удобно вводить явные переменные, которые отражают начальное количество объектов каждого типа, и после этого записывать уравнения из условия. Пусть в нашей задаче p/100, q/100, r/100 — доли сотрудников, у которых есть НАКС. Тогда без ограничения общности можно сказать, что q² = pr. А какие еще уравнения, связанные с отношениями, следуют из условия на p,q,r?

Подсказка 2

Имеем: 48/100(2k + 3k + k) = p/100*2k + q/100*3k + r/100*k. Запишите аналогичное уравнение для оставшегося отношения, после чего у нас получится система, пусть и нелинейная, но из трёх уравнений и трёх неизвестных. Теперь их все можно найти!

Показать ответ и решение

Пусть доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС в каждой бригаде, составляют $-p,-q-, r- 100 100 100$ соответственно. Указанные доли составляют геометрическую прогрессию, следовательно, по признаку геометрической прогрессии $2 q = p⋅r.$

Пусть количество сотрудников (сварщиков) в каждой бригаде составляют $x,y,z$ соответственно.

Также по условию при соотношении сотрудников бригад $2:3:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $48.$ Это означает, что $x :y :z = 2:3:1,$ следовательно, $x = 2k,y = 3k,z =k;$ запишем:

48 p q r 100 ⋅(x +y +z)= 100 ⋅x+ 100 ⋅y+ 100-⋅z ⇔ 48⋅(x +y +z)= p⋅x+ q⋅y+⋅z ⇔ . ⇔ 48⋅(2k+3k+ k)= p⋅2k+q ⋅3k+ r⋅k⇔ 48⋅(2+ 3+1)= p⋅2+ q⋅3+r ⋅1.

А значит, $2p+ 3q+r =288.$

По условию, при соотношении сотрудников бригад $1:2:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $54.$ Это означает, что $x :y :z = 1:2:1,$ следовательно, $x = k,y = 2k,z = k;$ запишем:

-54⋅(x+ y+ z) =-p-⋅x +-q-⋅y+ -r-⋅z ⇔ 54⋅(x+ y+ z) =p⋅x+ q⋅y+ r⋅z ⇔ 100 100 100 100 ⇔ 54⋅(k+ 2k+ k)=p ⋅k +q⋅2k+ r⋅k⇔ 54⋅(1+2 +1)= p⋅1+ q⋅2+r⋅1.

А значит, $p+ 2q+ r=216$ . Получили систему из трёх уравнений:

( ( ( |{ q2 = pr |{ q2 =pr, |{ q = 48 |( p +2q+ r= 216, ⇔ |( p= 72− q, ⇔ |( p= 24 2p+ 3q+ r=288 r= 144− q r= 96

Ответ:

$24%,48%,96%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99213

На торги выставлен лот из трёх пакетов акций нефтедобывающих компаний: Разнефти, Дванефти и Тринефти. Суммарное количество акций пакетов Разнефти и Дванефти совпадает с количеством акций в пакете Тринефти. Пакет акций Дванефти в $4$ раза дешевле пакета Разнефти, а их суммарная стоимость совпадает со стоимостью пакета Тринефти. Одна акция Разнефти превышает стоимость одной акции Дванефти на величину от $16$ тыс. руб. до $20$ тыс. руб., а цена одной акции Тринефти колеблется в пределах от $42$ тыс. руб. до $60$ тыс. руб. Определить, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций в лоте может составлять пакет акций Дванефти.

Источники: Газпром - 2022, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — цена одной акции Дванефти, $y$ — цена одной акции Разнефти, $z$ — цена одной акции Тринефти; $n$ — количество акций в пакете Дванефти, $m$ — количество акций в пакете Разнефти. Остальные условия задачи запишем в виде системы уравнений и неравенств:

(| (| m- 4x- ||||| 4xn =ym, ||||| n = y , |{ xn +ym = z(m + n), |{ y = x+a,am- ||| 16≤ y− x≤ 20, ⇒ ||| z = x+ n+m, ||||( 42≤ z ≤ 60 ||||( 16 ≤a ≤20 42 ≤z ≤60

Необходимо найти переделы изменения величины

n n n+-m-+(n+-m)-⋅100% = 2(n+-m)-⋅100%

Если удастся найти отношения $mn,$ то задача будет решена, так как $( ) 2(n+nm) =2 1+ mn- .$ Определим сначала, при каких условиях процент акций Разнефти в общем лоте будет наименьшим. Для этого $2(nn+m-) → min,$ если $n→ min,m → max,y − x → min ,$ следовательно, $y− x= 16,$ значит, $a =16.$ Если $n → min,m → max ,$ то $z = x+ 1n6+mm-→ max,$ следовательно, $z = 60.$ Тогда,

m- = -4x-,x= -16m--,z = -16m--+ -16m-= 60 n x+16 4n− m 4n − m n +m

16m(m + n)+ 16m(4n− m)= 60(4n− m)(n +m )

( ) 80mn = 60 4n2+ 3mn − m2

3m2 − 5mn − 12n2 = 0

(m )2 m 3 -n − 5n-− 12= 0

[ m-= 3 nm-= − 4 n 3

По условию задачи выбираем $m = 3n,$ тогда наименьший процент

---n---100% = 12,5% 2(n+ m)

Аналогично найдем наибольший процент: для этого $--n-- 2(n+m) → max,$ если $n→ max,m → min,y − x → max,$ следовательно, $y− x =20,$ значит, $a= 20.$ Если $n→ max,m → min,$ то $-20m- z =x +n+m → min,$ следовательно, $z = 42.$ Тогда, $-20m- x= 4n−m$ , $20m- 20m- z = 4n−m + n+m = 42.$ Имеем:

21m2 − 13mn − 84n2 = 0

(m-)2 m- 21 n − 13 n − 84= 0

{ m-= 7 nm-=−312 n 7

По условию задачи выбираем $m = 73n,$ наибольший процент $2(nn+m-)100% =15%.$

Ответ:

$12,5%$ и $15%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99163

Сторона квадрата равна $2.$ Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и т. д. Найти сумму периметров этих квадратов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хотелось бы понять, а какие значения вообще принимают периметры таких квадратов. Давайте переберём первые несколько значений и попробуем найти закономерность.

Подсказка 2

Сторона каждого следующего квадрата в √2 раз меньше стороны предыдущего, следовательно, у периметров такое же отношение. Такая последовательность напоминает какую-то прогрессию. Подумайте, как найти её сумму!

Показать ответ и решение

Длина стороны первого квадрата равна $2,$ его периметр равен $8.$ Длина стороны второго квадрата равна $√2-$ (по т. Пифагора), его периметр равен $√ - 4 2.$ Длина стороны третьего квадрата равна $1,$ его периметр равен $4.$ Длина стороны четвёртого квадрата равна $√2 2$ , его периметр равен $4√2- 2 .$ Длина стороны пятого квадрата равна $1 2$ , его периметр равен $4 2.$ И т. д. Получим последовательность:

√ - 4√2 4 8,4 2,4,-2-,2,...

Эта последовательность представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1√2,$ то есть $|q|< 1.$ Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $S = b11−q.$ Так как $b1 = 8,q = 1√2,$ то

√- S = --8--= √8-2-. 1− 1√2 2− 1

Ответ:

$-8√2- √2-− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99165

Заданы квадраты со сторонами $a = 2020 n n$ , для $n= 1,2,...$ Можно ли все квадраты, начиная со второго, уложить в первый квадрат без наложений?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем их уложить, а в случае чего покажем, что это не удастся. Не совсем понятно, как аккуратно укладывать, если работать с квадратами по одиночке... Быть может, можно работать с ними группами?

Подсказка 2

Нам хотелось бы попробовать разбить квадраты на такие группы, чтобы для каждой группы заприметить "свой" прямоугольник, который они будут занимать в большом квадрате. Причём прямоугольники должны быть такой длины, чтобы при бесконечном суммировании получалось не больше, чем 2020.

Подсказка 3

Обратите внимание на то, что сумма обратных степеней двоек как раз равна 1!

Подсказка 4

Можно ли разбить наши квадраты на группы так, чтобы одна группа помещалась в прямоугольник с длиной 2020/2ⁿ?

Показать ответ и решение

Разделим квадраты на группы так, чтобы количество квадратов в группе было ровно 2 в степени номера группы:

(2020 2020) ( 2020 2020 2020 2020) -2--;-3- , -4-;-5-;--6-;-7-- ,...

Сумма длин сторон квадратов в $n$ -ой группе равна

( ) ( ) 2020 -1n + n1---+...+-n+11--- <2020⋅ -1n +-1n +...+ 1n- = 2020⋅1 =2020 2 2 +1 2 − 1 ◟2---2-n◝◜-----2-◞ 2 раз

Квадраты $n$ -ой группы помещаются рядом в прямоугольник с высотой $202n0 2$ и шириной 2020. Помещая эти прямоугольники, содержащие группы квадратов, один на другой, получим прямоугольник шириной 2020 и высотой, равной сумме высот прямоугольников:

2020(1+ -1 +-1 +-1 +...+ -1 +...) = 2020 2 22 23 24 2n

то есть в первый квадрат поместились без наложения все квадраты, начиная со второго.

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99170

Три насоса разной производительности наполняли танкер нефтью. Если бы производительность первого была в $2$ раза, а третьего — в $3$ раза больше, чем в действительности, то танкер был бы наполнен за $5$ часов. Если бы производительность первого была в $3$ раза, а второго — в $2$ раза, а третьего — в $4$ раза больше, чем в действительности, то танкер был бы наполнен за $3 34$ часа. За сколько часов танкер наполнен в действительности?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах на работу/движение/заполение чего-то, всегда удобно ввести параметры, через которые все выражается и дальше работать исключительно с получившейся системой. Какие здесь параметры удобно ввести?

Подсказка 2

Скорости работы и объём танкера. Тогда составим уравнения, которые следуют из условия. Какое выражение нам тогда нужно найти? А как его выразить, если мы посмотрим на уже имеющуюся систему?

Подсказка 3

Нам надо найти отношение объёма танкера к сумме скоростей заполнения. При этом два отношения уже есть. Заметим, что коэффициенты в одном (каждый из них) меньше соответствующих коэффицинтов в другом. Как тогда найти нужное нам отношение?

Показать ответ и решение

Обозначим объем танкера $V$ (а некоторых единицах), а производительности первого, второго и третьего насосов через $x,y,z,$ соответственно. Составим по условиям задачи два уравнения:

3 5(2x+ y+ 3z)= V и 34 (3x+ 2y+4z)= V

Пусть $t$ — число часов, за которое в действительности наполнен танкер. Получим третье уравнение: $t(x+ y+ z)=V.$ Составим систему уравнений:

( V |{ 2x+ y+ 3z = 54V |( 3x+ 2y+ 4z = 15 x +y+ z = Vt

Если найдем такие числа $α$ и $β$ , для которых

α(2x+ y+ 3z)+ β(3x+ 2y+ 4z)= x+ y+ z

то будет справедливо равенство:

V- 4V- V- α 5 +β 15 = t

Для нахождения чисел $α$ и $β$ сравним в уравнении

α(2x+ y+ 3z)+ β(3x+ 2y+ 4z)= x+ y+ z

коэффициенты при одинаковых неизвестных. Получим систему:

(| 2α+ 3β = 1 { α+ 2β = 1 |( 3α+ 4β = 1

Решая систему, находим $α = −1$ и $β = 1.$ Следовательно, решая уравнение $4V − V-= V- 15 5 t$ , получим $t =15.$

Ответ:

$15$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#98154

В доме 720 квартир. Однокомнатные квартиры составляют более $12%,$ но менее $13%$ от общего числа квартир. $60%$ от оставшихся были двухкомнатные квартиры, остальные — трехкомнатные. Определите, какое количество процентов от общего числа квартир этого дома составили двухкомнатные квартиры.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — суммарное количество двухкомнатных и трехкомнатных квартир, тогда количество однокомнатных квартир $(720 − x).$

По условию задачи количество двухкомнатных квартир — $0,6x,$ количество трехкомнатных квартир — $0,4x$ , количество однокомнатных квартир заключено в интервале от $0,12⋅720$ до $0,13⋅720,$ то есть

0,12⋅720< 720 − x <0,13 ⋅720

86,4< 720 − x <93,6

626,4< x< 633,6

Число $0,6x$ — число двухкомнатных квартир — целое. Следовательно, оно должно делиться на $5.$ Но в интервале $626,4< x< 633,6$ одно целое число, которое делится на $5$ — это $630$ , так что $x= 630.$ Тогда количество двухкомнатных квартир $0,6 ⋅630= 378,$ что составляет $52,5%$ от общего числа квартир.