Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .05 ПВГ 2013

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31428

Решите неравенство

log 7 log√-49 3+ 2⋅4 x − 2 x ≥ 0.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим логарифм - находим ОДЗ (Цитаты великих мыслителей). И после этого нам хочется обработать логарифм с аргументом 49, ведь это 7 в квадрате. Не забудем и про основание этого логарифма, ведь оно... в какой степени?

Подсказка 2

Правильно, в степени 1/2, значит, из основания вынесется еще одна двойка. Теперь нам нужно привести основание степени, которая с минусом, к четверке от двойки. А в показателе степени эта двойка есть.

Подсказка 3

Ну да, все свелось к замене t = 4^(log_x(7)). Вы решили неравенство и нашли возможные t, помня, что они должны быть положительными. Теперь нужно найти х. Приходим к тому, что log с основанием х должен быть меньше другого логарифма. Не нравится логарифм в основании - переверните его! А теперь решаем неравенство относительно p = log_7(x). Отсюда и найдутся нужные х.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ и $x⁄= 1$ .

- log√x49= 2logx49= 4logx7.

Значит,

log 7 log√-49 2log 7 4log 7 3+ 2⋅4 x − 2 x = 3+ 2⋅2 x − 2 x ≥ 0.

Пусть $t=22logx7$ . Тогда

3+2t− t2 =− (t− 3)(t+1)≥ 0.

Отсюда $t∈[−1,3]$ . $t= 22logx7 >0$ , поэтому нам подходят $x >0$ такие, что $2logx7 ≤log23$ , то есть

log 7 ≤log3. x 4

Если $0< x< 1$ , то левая часть отрицательная, а правая положительная и такие $x$ подходят.

Если $x> 1$ , то обе части неравенства

log37≤ log43 log3x

можно домножить на положительное $log3x$ . Тогда $log37≤ log43log3x= log4x$ . Отсюда $x≥ 4log37$ .

Ответ:

$(0;1)∪ [4log37;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32858

Решите неравенство

√---- 2 ∘ -2------- 4x +2 + 4 − x >x + x − 5x+ 2.

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см.pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа под корнем есть x² и другие слагаемые, а без корня только x². Хочется добавить недостающие слагаемые, чтобы можно было сделать замену и получить в обеих частях выражение вида t + √t. Для этого давайте вычтем из обеих частей 5x и добавим 2. Что хорошее тогда можно заметить?

Подсказка 2

Теперь мы получили слева и справа похожие выражение, по сути нам нужно решить неравенство f(g(x)) > f(h(x)). Из f(a) > f(b) в общем случае не следует сразу a > b, например, для f(t) = -t. или f(t) = sin t. Но что хорошего можно сказать про нашу рассматриваемую функцию f(t) = t + √t?

Подсказка 3

Она монотонно возрастает! То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции и наоборот.

Подсказка 4

Теперь нужно решить полученное неравенство на аргументы, причём учесть область определения исходного неравенства.

Показать ответ и решение

Первое решение.

После переноса корней налево получаем $√ ---- √ 2-------- 2 4− x − x − 5x+ 2> x − 4x − 2$ .

Обозначив $√---- 4 − x= a$ и $√-2------- x − 5x+ 2= b$ , получаем неравенство $2 2 a− b >b − a ⇐ ⇒ (a− b)(1+ a+b)> 0$ .

Так как $1+ a+ b≥1 >0$ , то остаётся решить $a− b> 0$ , то есть $√---- √-2------- 4− x> x − 5x+2$ . При возведении в квадрат учтём ОДЗ (неотрицательность подкоренных) и получим двойное неравенство:

4− x> x2− 5x +2 ≥0

Первое неравенство равносильно

2 √ - √- x − 4x − 2< 0 ⇐⇒ x∈ (2− 6;2+ 6),

а второе

5−-√17 5-+√17- x∈ (− ∞; 2 ]∪ ( 2 ;+∞ ).

Теперь нужно пересечь полученные промежутки.

Заметим, что $√- 5−√17 2− 6< 2 ,$ так как $√- √-- 4− 2 6< 5− 17$ , потому что $√-- √ - √ - 17< 5= 1+ 2 4< 1+ 2 6$ .

А вот $√- 5+√17 2+ 6 < -2---$ , так как $√- √-- 4 +2 6 <5+ 17$ , потому что $√- √-- √ -- √ -- √-- 2 6= 24 < 25 =1 + 16 <1+ 17$ .

В итоге при пересечении получаем $√ -5−√17 x∈ (2− 6;--2--]$ .

Второе решение.

Перепишем неравенство в виде

√ ---- 2 ∘-2------- 4− x+ 4− x> x − 5x+ 2+ x − 5x+ 2.

Заметим, что функция $f(t)= t2+t= t⋅(t+ 1)$ монотонно возрастает при $t≥ 0$ . Поэтому неравенство $f(√4-−-x) >f(√x2−-5x+-2)$ равносильно неравенству $√4−-x> √x2−-5x+2-$ . А оно в свою очередь эквивалентно системе (второе и третье условия задают ОДЗ изначального неравенства):

(|{ 4− x> x2− 5x +2, 4− x≥ 0 ⇐ ⇒ |( x2− 5x+ 2≥0

{ x2− 4x− 2< 0, x2− 5x+ 2≥0

Так же, как и в первом решении, получаем

√-- x∈(2− √6;5−--17] 2

Ответ:

$(2 − √6;5−√17] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#36667

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых для любого значения $b$ система

{ (x+ 1)2+ |y − 1|= 2; y = b|2x+ 1|+a.

имеет решения.

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см.pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первом уравнении системы явный намек на параболу, раскройте модуль и изобразите решения уравнений системы в координатной плоскости.

Подсказка 2

Второй график будет галочкой, которую можно двигать вверх-вниз и ветви которой могут иметь любой угол наклона. Как надо зафиксировать галочку, чтобы для любого b было хотя бы одно решение?

Подсказка 3

Рассмотрите точки пересечения графика верхнего уравнения с осью ординат.

Показать ответ и решение

$PIC$

Изобразим решение системы на координатной плоскости. Первое уравнение системы задает объединение двух дуг парабол: $y1 = 3− (x +1)2,y1 ≥ 1$ и $y2 = (x+ 1)2 − 1,y2 < 1$ , которое представляет из себя замкнутую линию. Второе уравнение системы при $b= 0$ определяет на плоскости прямую $y = a$ , а при $b⁄= 0$ — два луча $y = b(2x+ 1)+a,x≥ − 12$ и $y = −b(2x+1)+ a,x <− 12$ с общим началом в точке $( ) − 12,a$ . Прямая $x =− 12$ пересекает дуги парабол в точках $( ) A − 12,− 34$ и $( ) B − 12,114$ . Поэтому для того, чтобы система имела решение, необходимо и достаточно, чтобы общее начало лучей лежало на отрезке $AB$ .

Ответ:

$[− 3;11] 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38132

Решите уравнение

( ( 2 )) log3(x+1)⋅log3(2x − 1)⋅ 3− log3 2x + x− 1 = 1

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, конечно, запишем ОДЗ. Откуда сразу про одну из скобок понятно, что она больше нуля. Давайте обратим внимание на квадратный трёхчлен в логарифме. Попробуем его разложить и посмотрим, что получится. Какое тогда действие само напрашивается для упрощения нашей жизни?

Подсказка 2

Верно, у нас ведь будут одинаковые части с логарифмами, которые мы можем заменить, например, буквами a и b. Теперь не очень понятно, что с этим делать... Но будем думать с точки зрения того, что задачу нам дали решаемую, иначе как-то грустно. В итоге, у нас получилось уравнение с двумя переменными. Тогда раз мы знаем, что решение существует, как мы можем его решать?

Подсказка 3

Ага, мы ведь можем посмотреть на него, как на квадратное уравнение относительно b, и сказать, что дискриминант должен быть больше нуля. Решая неравенство на дискриминант, получим промежуток... Обидно. Мы надеялись, что значение выйдет какое-то одно, а получилось так. Но давайте не будем отчаиваться и попробуем доказать, что промежуток не подходит. У нас слева произведение скобок, а справа 1. Может быть получиться противоречие со знаком справа и слева у равенства? Исходя от а, попробуйте оценить х и посмотреть, что выйдет.

Подсказка 4

Верно, получилось, что тогда х больше или равен 80. Но отсюда оценкой выходит, что две скобки положительны, а последняя отрицательна. А справа 1. Победа! Осталось только найти х при единственном а и сделать проверку.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x+ 1> 0,2x− 1> 0 ⇐⇒ x> 1 2$ . Из ОДЗ $x +1 >1$ , то есть $log (x+ 1)> 0 3$ . Пусть $log(x+ 1) =a >0,log (2x− 1)= b 3 3$ , тогда получим

2 2 ab(3 − a− b)=1 ⇐ ⇒ ab + (a − 3a)b+ 1= 0

Это квадратное уравнение относительно $b$ , напишем дискриминант, который должен быть неотрицателен

4 3 2 2 2 Db = a − 6a + 9a − 4a= a(a − 1)(a − 5a+ 4) =a(a− 1) (a − 4)≥ 0

Поскольку $a> 0$ , то имеем $a∈ {1}∪[4,+∞ )$ . Если $a≥ 4$ , то $x+ 1≥ 34 ⇐ ⇒ x ≥80$ . При этом $log3(2x − 1)> 0$ , но $3− log3(2x2+ x− 1)≤3 − log3(802 − 1)< 0$ , поэтому произведение не может быть положительным. То есть может подойти только $a =1 ⇐⇒ x =2$ , остаётся его подставить и проверить, что равенство выполнено.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38689

Найдите множество значений выражения $x− y+ 1$ при условии

2 (x− y) = 2|2y− x|+ x+ 15.

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Выполним замену переменных: $x− y+ 1= a,2y− x= t$ . Тогда условие задачи переформулируется следующим образом:

Найдите множество значений $a$ при условии $2 2|t|+ t=a − 4a− 12$ .

На плоскости переменных $(a,t)$ это условие задает множество, состоящее из частей парабол

1( 2 ) t= 3 a − 4a− 12

( ) t= − a2− 4a− 12

для значений $a∈ (−∞;−2]∪[6;+ ∞).$

Ответ:

$(−∞,− 2]∪ [6,+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#39771

Несколько чисел образуют арифметическую прогрессию, причём их сумма равна $63$ , а первый член в полтора раза больше разности прогрессии. Если все члены прогрессии уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы первый член прогрессии был равен разности прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится не более, чем на $8$ , но не менее, чем на $7$ . Определите, какой может быть разность этой прогрессии.

Источники: ПВГ-2013, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии присутствуют утверждения о сумме членов прогрессии, поэтому имеет смысл ввести буквенные обозначения. Пусть d - разность прогрессии. Тогда изначально первый член был равен 1.5d, а после стал равен d. Запишем сумму членов этой прогрессии и подумаем, что же можно сделать с ней дальше?

Подсказка 2

Изначально сумма была равна nd(n+2)/2, после стала равна dn(n+1)/2. Первое значение в точности равно 63, второе лежит на отрезке [55, 56]. Как можно преобразовать получившиеся выражения для дальнейшей работы? Видим в обеих дробях dn, видим деление на 2, на что это намекает?)

Подсказка 3

Поделим двойное неравенство (про принадлежность отрезку) на равенство, чтобы избавиться от d! Получаем новую цепочку неравенств, по ней находим n! Подставляем и находим d :)

Показать ответ и решение

Пусть $a (i∈{1,2,...,n}) i$ — прогрессия из условия, у которой $a = 3d, 1 2$ тогда её сумма

3dn nd(n+-2) a1+a2+ ...+ an = 2 + d+ 2d +...+(n− 1)d= 2 = 63

После уменьшения получится новая прогрессия $′ ai,$ у которой $′ a1 = d,$ тогда сумма станет равна

dn(n+ 1) a′1 +...+ a′n = dn+ d+ 2d+...+(n− 1)d =--2--- ∈[55;56]

Поделим второе двойное неравенство на первое равенство:

dn(n-+1)⋅---2--- ∈[55;56] 2 nd(n+ 2) 63 63

55 ≤ n+-1≤ 56 63 n+ 2 63

55n+ 110 ≤63n+ 63≤ 56n +112

{ 8n ≥47 7n ≤49

47 8-≤ n≤ 7

Так как $n ∈ℕ,$ то $n = 6$ или $n =7.$ Подставляя в любое из равенств, получаем, что $21 d = 8-$ или $d= 2.$

Ответ:

${21;2} 8$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#48740

Выясните, какое из чисел больше

log20122013 или log20132014.

Источники: ПВГ-2013, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд вообще не понятно, какое из чисел больше… Давайте поставим какой-то знак неравенства и будем его доказывать. Или потом поменяем, если получим неравенство в другую сторону

Подсказка 2

Всё равно не понятно, как доказывать такое неравенство... Так, а если перекинуть один из логарифмов в другую сторону? Нужно доказать, что произведение логарифмов с основанием 2013 меньше 1!

Подсказка 3

Воспользуемся для этого неравенством о средних! А именно, что среднее геометрическое не больше среднего арифметического. Дальше сумма логарифмов легко преобразуется по свойствам

Показать ответ и решение

По сути нам достаточно доказать такое неравенство

logk−1 k> logk(k+ 1)

при $k= 2013$ . Из-за того, что $k> 2$ , обе части неравенства положительны, так что по свойствам логарифмов оно эквивалентно:

logk(k+ 1)⋅logk(k− 1)< 1

Для положительных чисел можем воспользоваться неравенством о средних:

∘ ----------------- logk(k+1)+-logk(k-− 1) logk(k2−-1) logkk2 logk(k +1)⋅logk(k − 1)≤ 2 = 2 < 2 = 1

Итак, мы показали, что неравенство верно, первое число из условия больше.

Ответ:

$log 2013 2012$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#49150

Учитель написал на доске многочлены с целыми коэффициентами:

n n−1 P(x)= anx +an−1x + ...+ a1x +a0

m m −1 Q(x)=bmx + bm −1x +...+b1x+ b0

и дал задание найти целое значение $x$ , такое, что $P(x)$ делится (нацело) на $Q(x).$

Петя Васечкин взялся за дело и, взяв для начала $x= 0$ , получил $P(0)= 4,Q(0)= 3$ . «Не делится», подумал Петя, и решил подставить $x =1$ . Получилось $P(1)= −137,Q (1)= 0$ . «А ноль делить нельзя», — подумал Петя. Он попробовал взять $x= 2$ , но там получались большие числа и Петя запутался в вычислениях.

Напоследок он решил попробовать взять $x = −1$ и получил $P(−1)= 137,Q(−1)= −6$ . «Да таких значений $x$ просто не существует!» — воскликнул Петя. Прав ли он?

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, какие числа подставил мальчик в многочлен: -1, 0 и 1 (двойка нам не дает никаких значений). Если посмотреть отдельно на все значения Р(х) и Q(x), то что вы можете сказать о их делимости на 3?

Подсказка 2

Именно, значения Р не делятся на 3, а значения Q делятся на 3. Доказав, пользуясь теоремой Безу, что ни одно значение Р не кратно 3, мы решим задачу (почему?)

Показать ответ и решение

Заметим, что Петя подставил в многочлены все остатки по модулю $3$ . При этом многочлен $P$ никогда не бывает кратен $3$ , какой бы остаток мы не подставили. В это же время многочлен $Q$ при любом остатке равен числу, кратному трём. Отсюда следует, что не найдётся такое целое значение $x$ , что $P(x)Q≡(x)0$ , поскольку это значило бы делимость $P(x)≡3 0$ , которая не выполняется. Значит, Петя прав.

Ответ:

да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#49596

Решите уравнение

|| 2 || 1 |log12(x)− 2|− |log2(x)+ 2|=2 log√12 x.

Источники: ПВГ-2013 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно приглядитесь к логарифмам. Может быть, у них больше общего, чем кажется на первый взгляд?

Подсказка 2

Давайте каждый логарифм приведем к log₂x и сделаем замену t = log₂x. Какого вида мы получили уравнение и как его можно решить?

Подсказка 3

Подобные уравнения можно решить, рассмотрев все возможные интервалы знакопостоянства модулей. Также не забудьте сделать обратную замену и проверить ОДЗ для ответа.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$

После замены $t= log2x$ получаем

|2t+ 2|− |t+ 2|=− t

Рассмотрим случаи

$t< −2$ . Все модули раскроются с минусами
$−2t− 2+ t+ 2= −t ⇐⇒ 0= 0$
Подходят все такие $t$ .
$− 2 ≤t< −1$ . Здесь
$−2t− 2− t− 2= −t ⇐⇒ t= −2$
$t≥ −1$ . В этом случае
$2t+ 2− t− 2= −t ⇐⇒ t= 0$

В итоге $t∈(−∞, −2]∪ {0} ⇐ ⇒ x ∈(0,14]∪ {1}.$

Ответ:

$(0,1]∪ {1} 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#58563

Найдите все пары натуральных чисел $x,y ∈ [1;8]$ , удовлетворяющих равенству

√-------- xx,xxx...= y,yyy...

(десятичная запись каждого из чисел $xx,xxx...$ и $y,yyy...$ состоит из бесконечного количества одинаковых цифр).

Источники: ПВГ-2013, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем наше равенство к какому-то более красивому виду. Нам поможет, что xx,xxx...= 100⋅x⋅0,11..., а y,yy...= 10⋅y⋅0,11...!

Подсказка 2

Подставим и заметим, что это делает наше выражение только лучше. Тогда если обозначить 0,111 за р, то р можно найти так - это сумма 0,1 + 0,01, + 0,001, ...... ТОгда это сумма геометрической прогрессии!

Показать ответ и решение

Нетрудно видеть, что $xx,xxx...= 100⋅x⋅0,11...,$ а $y,yy...= 10⋅y⋅0,11...,$ откуда сразу же

√- ∘ ------ x =y⋅ 0,11...

Посчитаем $0,11...$ через десятичную запись: $1-+ 1-+ ... { по ф ормуле суммы геометрической прогрессии } =-110 = 1. 10 100 1−110 9$

Получаем $√ - 3 x= y$ . Так как правая часть является натуральным числом, то $x$ должен быть квадратом какого-то натурального числа. На заданном промежутке из квадратов есть только $1$ и $4$ .

При $x= 1$ получаем $√- y = 3 1 =3.$

При $x= 4$ получаем $√- y = 3 4 =6.$

Ответ:

$(1,3),(4,6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#64564

Пять рёбер тетраэдра имеют длины $2,4,5,9$ и $13.$ Определите, может ли при этом длина шестого ребра:

a) равняться $11;$

б) равняться $11,1.$

Источники: ПВГ-2013, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Первое на что хочется в такой задаче обратить внимание — это неравенства треугольника. С них и начнём: две грани имеют общее ребро длиной 2, но можем ли мы составить из имеющихся длин два треугольника, у которых будет сторона 2?

Пункт б), подсказка 1

Много ли у нас вариантов составить треугольники-грани со стороной 2? Выходит что существует всего два треугольника. Будем пробовать построить наш тетраэдр!

Пункт б), подсказка 2

Назовём тетраэдр SABC. Пусть ребро АС = 2. Мы однозначно можем определить и противоположное ему ребро SB. Также, пусть AB = 5, BC = 4. Поработайте с неравенством треугольника для каждой грани, чтобы определить однозначно длины оставшейся пары рёбер.

Пункт б), подсказка 3

На первый взгляд всё сходится, все треугольники-грани существуют, но удастся ли совместить их так, чтобы получился тетраэдр?

Пункт б), подсказка 4

Попробуем оценить длину SC! Для этого построим сначала высоты из вершин S и C в треугольниках △SAB и △CAB соответственно. Затем проведём плоскость перпендикулярную АВ — ребру противоположному SC. Теорема Пифагора поможет нам посчитать длины этих высоты SH и CK, а также определить положение точек Н и К на АВ

Пункт б), подсказка 5

Попробуйте оценить теперь, какую длину может иметь S'C' — проекция ребра SC на проведённую плоскость?) Используйте для этого то, что т.к. проведённые ранее высоты также перпендикулярны AB, их проекции на эту плоскость будут равны самим высотам.

Пункт б), подсказка 6

Итак, получается, что S'C' лежит между |SH - CK| и |SH + CK|. Теорема Пифагора и значение НК помогут нам окончательно, числами, ограничить SC. Вписывается ли известное значение 11.1 в эти ограничения?

Показать ответ и решение

(a) У нас есть 2 грани со стороной 2, но вместе с 2 треугольник может образовать только 4 и 5?!

(b) У нас есть 2 грани со стороной 2. Вместе с 2 треугольник может образовать только 4 и 5 или 11,1 и 13. Значит, противоположная сторона равна 9. Пусть нам дан тетраэдр $SABC$ и $AC = 2$ , $AB =5$ , $BC = 4$ . Тогда $SB =9$ и по неравенству треугольника для $CBS$ сторона $SC = 11.1$ . Значит, последняя сторона $SA= 13$ .

$PIC$

По формуле Герона площадь $ABC$ равна

∘ 11-7--1-3- 1√--- 2-⋅2 ⋅2 ⋅2 = 4 231.

Тогда если $CK$ — высота в этом треугольнике, то $√--- CK = -21310-$ . По теореме Пифагора $√ --------- AK = AC2− CK2 = 1.3$ и $√ --------- BK = BC2− CK2 = 3.7$ . Отсюда следует, что $K$ лежит на отрезке $AB$

Аналогично, $√-- SABS = 94 51$ , высота $SH$ в этом треугольнике длиной $√-- 190 51$ , $BH = 6,3$ , $AH = 11,3.$ Значит, $H$ лежит на луче $AB$ за точкой $B$ . Отсюда $HK = HB + BK =10.$

Вспомним, что у нас есть такое неравенство на $SC$

∘--------------- ∘--------------- (SH − CK )2+ HK2 ≤SC ≤ (SH +CK )2+ HK2

∘(SH-− CK-)2+-HK2 ≤SC ≤ ∘(SH-+CK-)2+-HK2

Подставим числа и получится, что так как $SH = -9√51> 6.42 10$ , а $CK = -1√231< 1.6 10$ , то

∘ --------- ∘ --------------- √123.2324-= 4.822+ 100< (SH − CK )2+ HK2 ≤ SC =11.1 =√123.21-

Ответ:

а) нет

б) нет

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64565

Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны по $∘ 90$ . Найдите угол между двумя образующими, по которым пересекаются эти конусы.

Источники: ПВГ-2013 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Отметьте на рисунке оси (назовём их SA₁ и SA₂) и образующие, по которым пересекаются конусы (SB и SC), пусть SO – прямая пересечения плоскости, по которой пересекаются конусы, и плоскости, содержащей оси конусов. Подумайте, как связаны между собой имеющиеся на рисунке уголки.

Подсказка 2

Хочется свести задачку к более простой, давайте для этого расположим точки А₁, А₂, В, С таким образом, чтобы они лежали в плоскости, перпендикулярной SO. Теперь, зная связь между углами на рисунке, мы сможем выразить через них и длину SO длины некоторых отрезков.

Подсказка 3

Теперь можно двумя способами записать выражение для одного и того же отрезка (например, А₁С), приравнять результаты, и получить таким образом связь между искомым углом и углом при вершине конуса.

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — общая вершина рассматриваемых конусов, $SA 1$ и $SA 2$ — их оси. Обозначим через $SB$ и $SC$ их общие образующие и через $α$ искомый угол $BSC$ . Описанная в задаче конфигурация имеет две плоскости симметрии: одна — $SA1A2$ — содержит оси конусов, другая — $SBC$ — содержит их образующие. Тогда эти плоскости перпендикулярны. Пусть $SO$ — прямая их пересечения.

$PIC$

Обозначим через $ϕ$ угол при вершине в осевом сечении каждого из конусов. Так как $SA2$ является образующей для конуса с осью $SA1$ и наоборот, то $∠A2SO = ∠OSA1 = ϕ4$ . Кроме того,

∠A2SB = ∠A2SC =∠A1SC = ϕ, ∠OSB =∠OSC = α- 2 2

Точки $A1, A2, B, C, O$ можно выбирать произвольно на прямых $SA1, SA2, SB, SC, SO.$ Будем считать, что точки $A1, A2, B, C, O$ лежат в некоторой плоскости, перпендикулярной прямой $SO$ и расположенной на расстояние $h$ от вершины $S$ . Тогда из пирамиды $SOA1C$ , в которой все плоские углы при вершине $O$ прямые, имеем

---h-- ( ϕ) --h--- (α) SA1 = cos(ϕ),OA1 =h tg 4 ,SC = cos(α2),OC = htg 2 4

Тогда по теореме косинусов для треугольников $OA1C$ и $SA1C$

( ) A C2 =h2tg2 ϕ + h2tg2(α-) 1 4 2

2 2 2 ( ) A1C2 =--h(-)-+ --h2(α)-−---(-2)h--(-)cos ϕ cos2 ϕ4 cos 2 cos ϕ4 cos α2 2

Приравняем эти выражения, сократим на $h2$ и применим основное тригонометрическое тождество в виде $1 tg2α+ 1= cos2α-:$

( ) ( ) h2tg2 ϕ4 + h2tg2 α2-=

( ) = --h2(-)-+ --h2(-) −---(-2h)2--(-)cos ϕ cos2 ϕ4 cos2 α2 cos ϕ4 cos α2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tg2 ϕ + tg2 α- = tg2 ϕ + 1+ tg2 α- + 1− --(-)2--(-)cos ϕ 4 2 4 2 cos ϕ4 cos α2 2

( ) ( ) ( ) cos ϕ =cos ϕ cos α- 2 4 2

Мы знаем, что $ϕ= 90∘$ , поэтому $cos(α)= ∘--2√--. 2 2+ 2$

Ответ:

$2arccos∘-2√-- 2+ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67140

Найдите все пары натуральных чисел $x,y,$ удовлетворяющие уравнению

2 2 6x y+ 2x +3xy+ x− 9y =2016

Источники: ПВГ-2013, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слагаемых с 3у больше, тогда попробуем вынести его за скобку. Будет чего-то не хватать, как будто нужно еще одно слагаемое, чтобы разложить левую часть на множители.

Подсказка 2

Естественно, нам нужно вычесть тройку из левой и правой частей. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа - число, разложение которого на множители нам и стоит рассмотреть. (Кстати, 2 + 0 + 1 + 3 = 6 делится на 3) :)

Подсказка 3

Проще будет работать со скобкой 3у+1, так как мы четко понимаем, что она не меньше 4, а также имеет остаток 1 при делении на 3. Тогда отсекается очень много вариантов для 3у+1, так как возможные случаи либо просто делятся на 3, либо делятся с остатком 2. Почти все, кроме одного.

Показать ответ и решение

Сразу левая часть на скобки не раскладывается, поэтому вычтем из обеих частей по тройке и сгруппируем

2 2 2 2x + x− 3 +3y(2x + x− 3)=2013 ⇐⇒ (2x + x− 3)(3y+ 1)= 2013= 3⋅11⋅61

Поскольку $x,y$ натуральны, то $3y+ 1≥ 4.$ При этом для $x ≥1$ скобка $2x2+ x− 3$ принимает неотрицательные значения, поэтому достаточно рассмотреть случаи

⌊ 3y+ 1= 11 и 2x2 +x− 3= 3⋅61 || 3y+ 1= 61 и 2x2 +x− 3= 3⋅11 || 3y+ 1= 3⋅11 и 2x2 +x− 3= 61 ||| 3y+ 1= 3⋅61 и 2x2 +x− 3= 11 || 3y+ 1= 11⋅61 и 2x2+ x− 3= 3 ⌈ 3y+ 1= 3⋅11⋅61 и 2x2+ x− 3= 1

В каждом случае посмотрим сначала на первое уравнение. Натуральное решение есть только в случае $2,$ поскольку только там остаток правой части при делении на $3$ равен единице. Оттуда $y = 20,2x2+x − 36= 0 =⇒ y = 20,x= 4.$

Ответ:

$(4,20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#68636

Найдите наименьшее значение выражения

( 1 1)2 (x y) x + y − 3⋅ y + x + (x+ y)2

при условии, что

1+ 1 =3. x y

Источники: ПВГ-2013 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Согласитесь, с дробями такого вида работать не очень удобно, да и вообще не особо понятно, что тут делать. Самый первый и очевидный шаг это привести всё к общему знаменателю.

Подсказка 2

Если всё правильно привести к общему знаменателю, то из условия мы можем найти, что x+y = 3xy. Что теперь хочется сделать с этим равенством?

Подсказка 3

Подставим в наше исследуемое выражение 3xy вместо x+y. Теперь мы получили многочлен, который зависит от переменной xy. Исследуйте его на минимальное значение и получите возможный ответ. Осталось проверить, что такие неизвестные-минимизаторы удовлетворяют заданному условию

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение: $(x+y)2− 3⋅ (x+y)2−2xy+ (x+y)2 xy xy$ .

Из условия следует, что $x+ y = 3xy$ , подставляя, получим

(3xy)2 (3xy)2− 2xy -xy- − 3⋅----xy----+ (3xy)2 =9− 3⋅(9xy − 2)+ 9(xy)2 =9 ⋅(xy)2 − 27xy+ 15

Это квадратный трехчлен относительно $xy$ , принимает минимальное значение $− 5,25$ при $xy = 32$ . Можно показать, что такие $x,y$ существуют, решив соответствующую систему уравнений:

{ { 1x + 1y = 3 x+yx−y3xy = 0 xy = 32 ⇐⇒ xy = 32 ⇐⇒

⌊ { √-- { | x= 9+4√57 ⇐⇒ x+ y = 92 ⇐ ⇒ || { y = 9−4√57 xy = 32 |⌈ x= 9−4√57 y = 9+457

Ответ: -5,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#71665

Найдите все значения $x$ , при каждом из которых выражения

(∘-----2- ) (∘ ----2-- ) log2013 1+ tg x+ tgx и log2012 1+tg x− tg x

равны друг другу.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на аргументы логарифмов! Что про них можно сказать?

Подсказка 2

Верно, можно заметить, что их произведение образует разность квадратов! Причем, разность этих квадратов равна 1. Тогда выразим один аргумент через другой, что можно сказать про них?

Подсказка 3

Да, в таком случае, если каждый из них не равен единице, то равенство логарифмов невозможно! Ведь, тогда один из аргументов меньше единицы, а второй больше единицы. Поэтому каждый из аргументов равен единице! Остаётся решить несложное тригонометрическое уравнение.

Показать ответ и решение

Заметим, что

(∘ ----2-- ) (∘----2-- ) 1+tg x+ tg x ⋅ 1+ tgx − tgx = 1

∘------- 1 1+ tg2x+ tgx = ∘1+-tg2x-− tgx

Тогда надо найти $x$ , при которых

( ) ------1------ (∘ ----2-- ) log2012 ∘1-+tg2x− tg x = log2013 1+ tg x − tgx

Это равенство возможно только при $∘ ------- 1+ tg2x − tgx= 1$ , так как если
$∘ ------- 1+ tg2x− tgx⁄= 1$ , то один логарифм будет неположительный, а другой — неотрицательный.

{ ∘1-+tg2x= 1+ tgx ⇐ ⇒ 1+ tgx ≥0 ⇐ ⇒ tgx= 0 1+ tg2x= 1+ tg2x +2tgx

Ответ:

$πn, n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#77989

Выясните, какое из чисел больше:

√- √ - 7√3 arctg( 3+ 2)+arcctg( 3− 2) или -4-

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что в аргументах у нас сопряженные числа с разными знаками. Может, как то связать их через тангенс и котангенс?

Подсказка 2

Давайте докажем, что в левой части у нас число π.

Подсказка 3

Теперь нужно аккуратно оценить двойным неравенством корень из 3, получить оценку на правую часть и сравнить с числом π.

Показать ответ и решение

Обозначим $φ= arctg(√3-+ 2).$ Тогда

1 √3 − 2 √ - ctgφ = √3+-2 =-3−-4 =2 − 3

Поэтому

arcctg(√3-− 2)= π− arcctg(2− √3)= π− φ

первое число из условия равно $π.$ Так как $√- 3< 1,76,$ то второе число из условия $√- 743< 3,08$ и меньше $π.$

Ответ:

$arctg(√3+ 2)+arcctg(√3 − 2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#80515

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством

∘ ------ √ ------ arcsiny ≤ arccosx.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Избавьтесь от корней. Попробуйте рассмотреть некоторые значения x.

Подсказка 2

Например, что, если x ≤ 0?

Подсказка 3

Тогда получится, что arcsin(y) ≤ π/2 ≤ arccos(x). Найдите соответствующие x и y.

Подсказка 4

Рассмотрите другой случай, примените синус к обеим сторонам неравенства.

Показать ответ и решение

По ОДЗ $y ≥ 0$ .

arcsiny ≤arccosx

Заметим, что если $x≤ 0$ , то $arcsiny ≤ π≤ arccosx ⇐ ⇒ y ∈[0;1],x ∈[−1;0] 2$ .

Значит, $x,y ≥0$ и $arcsiny, arccosx ∈[0,π] 2$ . Применим синус к обеими сторонам. Так как обе части в интервале $[0,π] 2$ и синус на нем возрастает, то получится равносильное неравенство

∘ ---2- y ≤ 1− x

y2+ x2 ≤ 1

Площадь такой фигуры при условии $x,y ≥0$ равна $π4.$ Значит, общая площадь $1+ π4.$

Ответ:

$1+ π 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#80606

Кратчайшее расстояние от вершины $B$ треугольника $ABC$ до точек противолежащей стороны равно $12$ . Найдите стороны $AB$ и $BC$ этого треугольника, если $√ - sin∠C = 3∕2$ и $AC = 5.$

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие есть вариации картинки из задачи, что в ней надо зафиксировать?

Подсказка 2

Например, надо рассмотреть случай, когда углы A и C — острые. Может ли в этом случае H лежать на AC?

Показать ответ и решение

Рассмотрим три возможных случая.

1) Углы $A$ и $C$ острые.

$PIC$

Тогда $∘ ∠C = 60$ и высота $BH$ равна 12. Но в этом случае $√- CH = 4 3$ и основание $H$ высоты не может лежать на стороне $AC.$

2) Угол $A$ тупой, а угол $C$ острый.

$PIC$

Тогда $∠C = 60∘,AB = 12$ и по теореме косинусов $√--- 144= 25 +BC2 − 5⋅BC ⇒ BC =(5+ 501)∕2.$

3) Угол $A$ острый, а угол $C$ тупой.

$PIC$

Тогда $∠C = 120∘,BC = 12$ и по теореме косинусов $AB2 =229.$

Ответ:

одна сторона равна $12,$ а другая равна либо $(5+ √501)∕2,$ либо $√229.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#91387

Найдите все пары вещественных чисел $(x;y)$ , удовлетворяющих системе

{ (2− √3)x = 3y+4y, ∘−-x2− 3xy−-y2 = 2y+ x. 2

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Возведи второе уравнение в квадрат.

Подсказка 2

Подставьте решение второго уравнения в первое.

Подсказка 3

Попробуйте привести (2 - √3)ˣ к иному виду, воспользовавшись формулой разности квадратов.

Подсказка 4

Можно домножить (2 - √3)ˣ на (2 + √3)ˣ.

Подсказка 5

Попробуйте оценить количество корней уравнения, исследовав некоторую функцию на возрастание/убывание.

Показать ответ и решение

Из второго уравнения системы получаем неравенство $y ≥ −x∕4$ . Возводим второе уравнение в квадрат.

2 2 2 x2 − x − 3xy− y = 4y + 2xy+ 4

5x2 5y2+5xy+ -4-= 0

y = − x 2

Подставляем результат в первое уравнение системы:

(2− √3)x = 3−x∕2+ 4−x∕2

(2 − √3)x = (√3)− x+2−x

Заметим, что

√- x √- x (2− √3)x = (2−-3)-⋅√(2+x-3)-=----1√--x = (2 +√3)−x (2+ 3) (2+ 3)

поэтому

√-− x √ -−x −x (2+ 3) = ( 3) + 2

Поделим обе части на $(2+ √3)−x ⁄= 0$

( √3 )−x ( 2 )−x 1= 2+√3- + 2-+√3-

Функция слева представляет собой сумму монотонно убывающих функций, значит, корней у данного уравнения не более одного. Этот корень достаточно легко угадывается, $x =− 1$ , откуда $y =1∕2$ , что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$(−1;1∕2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#91388

Гора имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды с основанием $ABCD$ и вершиной $S$ , причем длина ребра основания равна 13 км, а боковые грани наклонены к основанию под углом $β,cosβ =0,6.$ Скорость туриста на ровной поверхности составляет 4 км/ч, а при подъёме или спуске под углом $α$ к горизонту его скорость равна $2 4cosα$ км/ч. Может ли турист, находящийся в точке $A$ , успеть на автобус, отходящий ровно через 6 часов 15 минут из точки $C$ , если в середине пути он обязательно делает 9-минутную остановку?

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии нам дан угол наклона, как им можно воспользоваться?

Подсказка 2

Надо перейти к прямоугольному треугольнику, для этого стоит рассмотреть центр основания пирамиды.

Подсказка 3

Пусть М — середина пути. Проведите из нее перпендикуляр к стороне основания.

Подсказка 4

Выразите стороны в прямоугольных треугольниках.

Подсказка 5

Запишите вопрос задачи в виде неравенства и выясните, выполняется ли оно.

Показать ответ и решение

Пусть точка $O$ — центр основания горы $SABCD$ , точка $H$ — основание перпендикуляра к стороне $AB$ из вершины $S$ . Тогда

OH 13∕2 65 SH = cosβ-= -3∕5-= 6-

Ребро пирамиды

√ -- SA = ∘AH2-+-SH2-= 13--34- 6

$PIC$

Пусть точка $M$ — середина пути туриста, точка $N$ — основание перпендикуляра из $M$ к $AB,∠MAB = α,∠SBA =φ,AM =x.$ Тогда из прямоугольных треугольников $AMN$ и $BMN$ :