Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .06 Физтех 2014

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31983

Решите систему уравнений

{ x2− 4xy+ 4y2 = 2x− 4y+3; √3x-− 6y = 2− xy.

Источники: Физтех-2014, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 2

Сделайте замену t = x - 2y.

Показать ответ и решение

С учётом замены $t=x − 2y$ первое уравнение равносильно $t2 = 2t+3 ⇐⇒ t= −1$ или $t=3$ , однако для неотрицательности подкоренного во втором уравнении $t≥ 0$ , откуда подходит только $t= x− 2y = 3$ . С учётом первого уравнения системы второе уравнение превращается в $2− xy = 3⇐ ⇒ xy = −1$ . Мы преобразовали систему из условия к:

{ x= 2y+3; (2y+ 3)y +1= 0.

Тогда $y = −3±√9−-8,x = −3±1-+3 = 3±1- 4 2 2$ .

Ответ:

$(1;− 1),(2;−1∕2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32950

При каком значении параметра а значение выражения $x2+ x2 1 2$ будет наименьшим, если $x 1$ и $x − 2$ корни уравнения $2 x − 2ax+2a − 5= 0?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, а может ли это уравнение иметь только один корень? Или вообще не иметь корней?

Подсказка 2

Нет, это уравнение имеет два корня, потому что его дискриминант точно больше нуля! А с помощью чего мы можем оценить сумму квадратов корней?

Подсказка 3

Точно, можно воспользоваться теоремой Виета! Но через неё мы сможем найти только сумму и произведение корней... Как найти сумму квадратов?

Подсказка 4

Да, сумму квадратов легко выразить через квадрат суммы! Остается только оценить наше выражение снизу.

Показать ответ и решение

Заметим, что у такого уравнения корни всегда есть, потому что дискриминант квадратного трёхчлена из левой части положителен при любом значении $a$ :

D 2 2 -4 = a − (2a− 5)=(a− 1) +4> 0

Тогда по теореме Виета $x1+ x2 =2a$ и $x1⋅x2 = 2a− 5$ . Заметим, что значение выражения

x21+ x22 =(x1+ x2)2− 2⋅x1⋅x2 =

=4a2− 4a+10= (2a− 1)2+ 9≥ 9

принимает наименьшее значение при $2a− 1 =0$ .

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34168

Есть семь карточек с цифрами $0;1;2;3;3;4;5$ . Сколько существует различных шестизначных чисел, делящихся на $15$ , которые можно сложить из этих карточек?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чему равносильна делимость на 15?

Подсказка 2

Делимости на 3 и на 5. Вспомните признаки для этих 2 чисел.

Подсказка 3

У нас всего 7 карточек, а нужны шестизначные числа. Какой будет незадействованная карточка?

Показать ответ и решение

Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 5 или 0. А по признаку делимости на 3 его сумма цифр должна делиться на 3. Так как карточек 7 и их сумма равна $0+1+ 2+ 3+ 3+4 +5= 18$ , то единственная незадействованная карточка делится на 3 (так как 18 кратно 3 и сумма цифр кратна 3).

Если это карточка с цифрой 0, то на последнем месте стоит обязательно 5, на двух других местах стоят две тройки, а остальные 3 цифры различны и стоят как угодно. Тогда таких чисел ровно $2 C5 ⋅3!= 60$ .

Если это карточка с цифрой 3, то на последнем месте может стоять 5 или 0. Если это 0, то оставшиеся 5 цифр различны и стоят как угодно. Всего вариантов $5!=120$ . Если же это 5, то 0 может стоять на любом из 4 мест, а остальные цифры как угодно. Всего вариантов $4⋅4!= 96$ .

Всего: $60 +120+ 96 =276$ чисел.

Ответ: 276

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38130

Решите уравнение

( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) (3 ) log7x−6 7x +x − 6 ⋅logx+1 x +1 = log7x−6 7x +x− 6 + logx+1 x + 1

Источники: Физтех-2014, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на то как выглядит наше уравнение. Хмм… Мы видим, что , по сути, здесь есть две конструкции. Собственно два этих логарифма. Слева их произведение, справа их сумма. А что можно сделать, если мы знаем что сумма двух чисел равна их произведению?

Подсказка 2

Конечно, можно заменить и разложить. ab=a+b => (a-1)(b-1)=1. А как можно сократить единицу, если мы знаем чему равно а и b(логарифмам)? А что это даст?

Подсказка 3

Видим, что log_(7x-6)(7x^2+x-6)=1+log_(7x-6)(x+1). Аналогично со вторым. На выходе получаем уравнение (log_(7x-6)(x+1))*(log_(x+1)(x^2-x+1))=1. Хмм… х+1 много где встречается… Ах, есть же свойство!

Подсказка 4

Свойство о смене оснований в произведении логарифмов. Тогда наше уравнение преобразуется в вид log_(7x-6)(x^2-x+1)=1. А такое мы точно умеем решать. Остается проверить корни на соответствие ОДЗ и записать ответ.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $7x− 6 >0,x+ 1> 0,7x− 6⁄= 1,x+1 ⁄=1$ . Поскольку

( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) log7x−6 7x + x− 6 =1+ log7x−6(x +1) и logx+1 x + 1 = 1+logx+1 x − x+ 1

то для замены $a= log (x +1),b=log (x2− x+ 1) 7x− 6 x+1$ уравнение примет вид

(a+ 1)(b+ 1)=a +b+ 2 ⇐⇒ ab= 1

То есть

log (x+1)log (x2− x+1)= log (x2− x +1)= 1 7x−6 x+1 7x−6

или $7x− 6 =x2 − x+ 1 ⇐⇒ x2− 8x +7 =0 ⇐ ⇒ x ∈{1;7}.$ После проверки ОДЗ получаем ответ.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#39086

Решите уравнение

√3 cosx sinx sinx+-cosx-= tg2x+ sin-x− cosx.

Источники: Физтех-2014, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, напишем ОДЗ. Во вторых, видно, что по структуре, наиболее схожи эти две дроби. Значит, стоит попытаться привести их к общему знаменателю :)

Подсказка 2

Хмм, в знаменателе косинус двойного угол, а слева тангенс двойного угла. Стоит сократить и посмотреть что получается. Хмм… Мы видим произведение синуса и косинуса и их квадраты с некими коэффициентами. На что это похоже? Что мы привыкли делать в подобных ситуациях?

Подсказка 3

Да, это очень похоже на однородное уравнение. Обычно, мы решали его делением на квадрат одного из аргументов. Ничего не может остановить нас и сейчас сделать также. Главное - не забыть об ОДЗ:)

Показать ответ и решение

ОДЗ $sinx⁄= ±cosx$ , $cos2x =cos2x− sin2x⁄= 0$

Приведём дроби к общему знаменателю

√3cosx sinx − √3cos2x +√3-sincosx − sin2x − sinx cosx sin-x+cosx − sin-x− cosx =----------sin2x−-cos2x----------- =

= tg 2x = sin2x-=--2− sin-2x-2 cos2x sin x− cos x

−√3cos2x +√3-sincosx − sin2x − sin xcosx =− 2sinxcosx

Если $cosx =0$ , то $sinx= 0$ , что невозможно. Значит, $cos2x⁄= 0$ и на него можно разделить.

−√3-+(√3 +1)tgx− tg2x= 0

Это квадратное уравнение от $tgx$ . Его корни $1$ и $√- 3$ . По ОДЗ $sin x⁄= cosx$ , поэтому $tgx⁄= 1$ . Значит $√- tgx = 3$ и $x = π3 + πn, n∈ ℤ$ , что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#39644

Сколько существует способов составить комиссию из семи человек, выбирая её членов из восьми супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам нужно, чтобы люди из одной семьи не входили в комиссию, то что нужно выбрать сначала? Если вы еще не поняли, что нужно выбрать сначала, то подумайте как бы изменилась задача, если бы семей было 7?

Подсказка 2

Если бы семей было 7, то нам просто нужно было бы выбрать по одному человеку из каждой семьи. Но у нас 8 семей. Значит сначала нужно выбрать семьи, «представители» которых будут в комиссии. А это, по формуле сочетаний можно сделать C^7_8 способами. Выбрали семьи. Теперь по представителю из каждой надо выбрать. Сколькими способами это можно сделать?

Подсказка 3

У каждой семьи есть два претендента на роль «представителя», поэтому для каждой семьи будет два способа. Семей 7. Осталось посчитать ответ.

Показать ответ и решение

В комиссии будут участвовать ровно $7$ семей, которых можно выбрать $C7= 8 8$ способами. Далее из каждой надо выбрать одного члена $7 2$ способами, перемножая, получаем ответ.

Ответ:

$1024$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#46083

Решите уравнение

√- (---sinx--- ) --cosx--- 3 sinx− cosx + tg2x = sinx+ cosx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите tg(2x) через sin(x) и cos(x). tg(a) = sin(a)/cos(a), начните с этого.

Подсказка 2

Учтите ОДЗ и домножьте левую и правую часть на sin(x)+cos(x). Все получится!

Показать ответ и решение

На ОДЗ (!) данное уравнение равносильно каждому из следующих:

√-( sin x 2 sinxcosx ) cosx 3 sinx−-cosx-− (sin-x− cosx)(sinx-+cosx) = sinx+-cosx, √3-(sinx(sin x+cosx)− 2sinxcosx)= cosx(sinx − cosx), √- 3sin x(sinx − cosx)=cosx(sinx− cosx).

На ОД3 $sin x− cosx⁄= 0$ , так что получаем уравнение

√- 3sin x= cosx

√3- 1 2 sinx− 2cosx= 0

π sin(x− 6)= 0

x= π +πk,k∈ ℤ 6

При этом заметим, что эти корни удовлетворяют условиям из ОДЗ, так что их можно писать в ответ.

Ответ:

$π + πk,k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#70306

Сколько существует 23-значных чисел, сумма цифр которых равна восьми?

Источники: Физтех - 2014, 10 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Частая ошибка в такой задаче — забыть, что первая цифра не может равняться нулю! Давайте это не забудем и сразу поставим на первое место цифру, которая не равна нулю. Тогда на оставшихся 22 местах надо расположить 7 единичек, как это можно сделать?

Подсказка 2

Да, простым числом сочетаний из 22 по 7 сделать не получится, так как мы используем не только единички. Вспомните метод, который часто помогает в таких задачах!

Подсказка 3

Верно, это метод шаров и перегородок! То есть, расположим в ряд 22 места и 7 единичек, то есть, всего есть 29 мест, куда можно поставить единичку! А нам нужно выбрать 7 мест.

Показать ответ и решение

Распределим между $23$ разрядами $7$ “единичек”, так как на первом разряде точно стоит хотя бы одна “единичка”. Ставим $22$ перегородки между $7$ шарами. Так как порядок выбора мест не важен, число способов: $29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23- 7!$

Ответ:

$29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23 7!$

Предыдущая подтема

Следующая подтема