Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .07 Физтех 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31181

Решите систему

(| 1 + 1--= − 2-; |{ x1 y+1z- 125 ||( y1 +-x+1z = −31; z +x+y = −4.

Источники: Физтех-2015, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Домножим на знаменатели, учитывая все ограничения, и сложим три уравнения, упростив итоговое.

Подсказка 2

Мы смогли выразить три попарных произведения через x+y+z и какой-то коэффициент. Учитывая ограничения, мы на сумму переменных запросто можем поделить, а значит выразить две каких-то буковки через третью и найти её :)

Показать ответ и решение

Домножив каждое уравнение на произведение знаменателей, получим систему

( −7,5(x+ y+ z)= xy+ xz |{ |( −1,5(x+ y+ z)= xy+ yz −4(x +y+ z)= xz+yz

Сложив почленно все три уравнения и разделив полученное равенство пополам, получаем равенство

xy+ xz+ yz =− 6,5(x+ y+z)

Вычитая из него каждое из уравнений последней системы, находим, что

(|{ − 2,5(x+ y+z)= xy (x+ y+ z)=yz |( − 5(x+ y+ z)=xz

Разделив первое уравнение на второе (это возможно, так как из ОДЗ исходной системы следует, что $xyz ⁄=0$ ), получаем, что $x =− 2,5z$ , а разделив первое на третье - что $y = 0,5z$ . Тогда второе уравнение принимает вид $− z = 0,5z2$ , откуда $z =−2,x= 5,y = −1$ .

Ответ:

$(5;− 1;−2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31511

Дан правильный $22$ -угольник $M$ . Найдите количество четвёрок вершин этого $22$ -угольника, являющихся вершинами выпуклых четырёхугольников, у которых есть хотя бы одна пара параллельных сторон.

Источники: Физтех-2015, 10.2 (см.olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Разбейте все диагонали (или стороны) на группы параллельных. Какими могут быть эти группы?

Подсказка 2

Такие группы бывают 2 видов: те, которые содержат диаметр, и те, которые не содержат. Посчитайте количества групп.

Подсказка 3

Как выбрать выпуклый четырёхугольник с 2 параллельными сторонами?

Подсказка 4

Надо выбрать 2 параллельных диагонали (или стороны) и построить трапецию. Главное, чтобы четырёхугольники получились различными.

Подсказка 5

Может ли нам помешать параллелограмм?

Показать ответ и решение

Рассмотрим все диагонали (или стороны) и разобьем их на группы параллельных. Такие группы бывают 2 видов: те, которые содержат диаметр и те, которые не содержат. Первых групп всего 11 (количество различных диагоналей, проходящих через центр) и в каждой из них по 10 диагоналей. Вторых групп тоже 11, но в каждой из них по 9 диагоналей (см. рис).

$PIC$

Для того, чтобы выбрать выпуклый четырёхугольник, у которого есть хотя бы одна пара параллельных сторон, нужно выбрать две параллельные диагонали (или стороны) и составить из них трапецию. Так мы получим $11⋅10 10⋅9 11⋅ 2 +11⋅ 2$ четырехугольников. Осталось проверить, что они различны. На самом деле если наш четырехугольник имеет две пары параллельных прямых (вписанный параллелограмм — это прямоугольник), то он был посчитан два раза. Значит, из этого числа нужно вычесть количество прямоугольников. Выбрать прямоугольник можно таким способом. Сначала выберем 2 его соседние вершины. Это можно сделать $22⋅20$ способами, так как соседние вершины не могут быть противоположными, а затем однозначно определим оставшиеся 2 вершины, так как диагональ прямоугольника должна проходить через центр окружности. Так, каждый прямоугольник мы посчитаем $4⋅2$ раз и поэтому всего прямоугольников $22⋅20 --8-$ .

Получаем ответ $11⋅10 10⋅9 22⋅20 11⋅-2--+11⋅-2-− --8-= 1045$ .

Ответ:

$1045$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46081

Решите уравнение

|cosx|−-cos3x- 2-- cosxsin2x = √3.

Источники: Физтех-2015, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Много косинусов возникло - давайте разделим на cos(x)^3, предварительно раскрыв модуль, и числитель, и знаменатель.

Подсказка 2

При делении на cos(x)^3 в знаменателе получаем 2tg(x) -> все нужно свести к одной переменной, тангенсу. Получив решения для cos(x)>0 или <0, не забываем отобрать нужные!

Показать ответ и решение

Пусть $cosx> 0$ , поделим числитель и знаменатель на $cos3x$

-12-− 4+ -32- 2 2 1 π cos-x2tgx-cos-x= √3- ⇐⇒ 2tgx= √3- ⇐ ⇒ tgx =√3- ⇐⇒ x= 6 +πn

Из этих корней остаются только $x = π6 + 2πn$ , при $cosx< 0$ действуем аналогично

−-co1s2x-− 4-+co3s2x-= √2 ⇐ ⇒ tg2x− 1= √2-tgx ⇐ ⇒ tgx =√3,− 1√-- ⇐⇒ x = π + πn 2tgx 3 3 3 3 2

Из этих корней остаются $2π 5π x= − 3 +2πn,6 + 2πn$ . Остаётся заметить, что все полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$π + 2πn,5π+ 2πn,− 2π+ 2πn, n∈ ℤ 6 6 3$

Критерии оценки

Разобран только один из двух случаев раскрытия модуля — 3 балла.

Разобраны оба случая раскрытия модуля — 7 баллов.

Не сделан (неверно сделан) отбор корней — (−1) балл за каждый случай.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#51854

В углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O 1$ и $O 2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Данные окружности касаются стороны $AB$ в точках $K1,K2$ и $K$ соответственно, при этом $AK1 = 4,BK2 = 6,$ и $AB = 16.$

(a) Найдите длину отрезка $AK$ .

(b) Пусть окружность с центром $O1$ касается стороны $AC$ в точке $K3.$ Найдите угол $CAB,$ если известно, что точка $O1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK1K3.$

Источники: Физтех-2015, 11.7 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Чем нам могут помочь вписанные окружности?

Пункт а, подсказка 2

Посмотрите на прямые AO₁ и BO₂.

Пункт а, подсказка 3

Они являются биссектрисами, следовательно, пересекаются в центре вписанной окружности треугольника ABC.

Пункт а, подсказка 4

Проведите радиусы к стороне AB.

Пункт б, подсказка 1

Рассмотрите треугольник OK₁K₃.

Пункт б, подсказка 2

Заметим, что O₁O = O₁K₁. Мы ведь знаем, что AO - биссектриса, попробуйте найти сначала угол OAB.

Пункт б, подсказка 3

Может, удобнее будет искать равный угол в другом треугольнике?

Пункт б, подсказка 4

Постройте O₁H перпендикулярно OK.

Показать ответ и решение

$PIC$

(a) Прямые $AO1$ и $BO2$ являются биссектрисами углов $A$ и $B$ треугольника, поэтому они пересекаются в точке $O$ - центре вписанной окружности. Обозначим радиусы окружностей с центрами $O1$ и $O2$ через $r,$ а радиус вписанной окружности через $R.$ Треугольники $OKB$ и $O2K2B$ подобны, коэффициент подобия равен $R, r$ поэтому $BK = 6R. r$ Аналогично $AK = 4R, r$ откуда $10R =16,AK = 32. r 5$

(b) Из условия следует, что $O1O =O1K1 = r.$ Опустим из точки $O1$ перпендикуляр $O1H$ на отрезок $OK.$ Тогда $3 OH- 3 OH = R − r = 5r,∠OAB = ∠OO1H = arcsin OO1 = arcsin5.$ Значит, $3 -7 ∠CAB = 2arcsin5 =arccos25$

Ответ:

(a) $32 AK = 5-,$

(b) $∠CAB =2 arcsin35 =arccos 725$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#51858

Решите систему

{ x2 +y2 ≤ 2; 81x4− 18x2y2+ y4− 360x2− 40y2+ 400 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Второе равенство очень похоже на квадрат суммы трёх слагемых...быть может, попробуем собрать его? А если не получится, то, может, преобразуем в два квадрата?

Подсказка 2

Второе выражение можно преобразовать в равенство двух квадратов (один из которых — квадрат суммы трёх слагаемых). Отсюда несложно разобрать случаи знаков выражений ;)

Подсказка 3

После того как мы разберём два случая для знаков, то у нас получится два равенства, в которых мы можем выразить y через x. Почему бы не применить явно первое условие? :)

Показать ответ и решение

Второе уравнение очень напоминает квадрат тройной суммы, но, к сожалению, им не является, однако можно написать его в таком виде

2 2 2 2 (9x +y − 20)= (6xy)

Что эквивалентно

[ 9x2+ y2 − 20= 6xy [ (3x − y)2 = 20 [ 3x − y =±2√5 9x2+ y2 − 20= −6xy ⇐⇒ (3x +y)2 = 20 ⇐⇒ 3x +y =±2√5-

Остаётся разобрать 4 полученных случая. Например, если $3x− y =2√5$ , то из первого неравенства

x2+ (3x − 2√5)2 ≤ 2 ⇐⇒ 10x2− 12√5x+ 20 ≤2 ⇐ ⇒ (√10x− 3√2-)2 ≤0 ⇐⇒ x= √3- 5

И $1√- y = 5$ . Остальные случаи точно также дают ровно одно решение, откуда получаем ответ.

Ответ:

$(−√3,√1),(− 3√-,−√1),(√ 3-,− 1√-),(√3,√1) 5 5 5 5 5 5 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#62510

Найдите количество натуральных чисел $k$ , не превосходящих $242400$ и таких, что $k2+ 2k$ делится нацело на $303.$

Источники: Физтех-2015, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Давайте внимательно посмотрим на число 303. Действительно оно представимо как 3 * 101. Получается либо k делится на 101, либо k + 2 делится на 101. Для решения задачи надо рассмотреть оба случая!!!

Подсказка 2.

Пусть k делится на 101, пусть тогда k = 101*p, p ∈ ℕ. C учётом кратности 3 получаем, что k = 303 * n или k = 303 * n + 202. Случай когда на 101 делится k + 2 разбирается аналогично.

Подсказка 3.

Несложными путями получаем, что из каждых 303 подряд идущих чисел подходят ровно 4. А теперь посмотрим внимательно на ограничение из условия задачи. Действительно, 242400 = 303 * 800, а значит мы легко посчитаем сколько чисел нам подходят!!!

Показать ответ и решение

Поскольку $k2+2k =k(k+ 2)$ и $303= 3⋅101$ , то одно из чисел $k$ , $k+ 2$ делится на $101$ . Рассмотрим случаи

$k$ кратно $101$ . Тогда $k= 101p =⇒ 101p(101p+ 2)$ делится на $3$ . Отсюда $p= 3n,p= 3n +2$ . В итоге получаем случаи $k =303n,k = 303n+ 202$ .
$k +2$ кратно $101$ , откуда $k= 101p+ 99$ , откуда $101(p+ 1)(101p+ 99)$ кратно 3. Снова получаем два случая $p =3n,p= 3n+ 2$ , откуда $k= 303n +99,k= 303n +301$ .

Итак, нам подходят остатки $0,99,202,301$ при делении $k$ на $303,$ откуда среди любых $303$ подряд идущих чисел нам подойдут ровно $4$ . Поскольку $242400= 303⋅800$ , то получаем $4 ⋅800= 3200$ подходящих чисел.

Ответ:

3200

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#70299

Решите уравнение

|sinx|−-sin3x- √ - cosx cos2x =2 3

Источники: Физтех - 2015, 10 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала стоит раскрыть модуль.

Подсказка 2

Было бы удобно преобразовывать получившиеся выражения на ОДЗ.

Подсказка 3

Воспользуйтесь формулой произведения синусов.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cosx cos2x⁄= 0$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля и преобразуем на ОДЗ:

− sinx− sin3x √- 2sin2xcosx √- sin2xcosx √ - sin x< 0:--cosxcos2x--= 2 3 ⇔ −-cosxcos2x-= 2 3 ⇔ cosx-cos2x = − 3⇔ ⇔ sin2xcosx-= −√3 ⇔ sin2x-= −√3⇔ tg2x= −√3 cosxcos2x cos2x

sinx−-sin3x- √ - 2sin-xcos2x √ - sinx-cos2x √- sinx ≥0 : cosxcos2x =2 3⇔ − cosxcos2x =2 3⇔ cosxcos2x =− 3⇔ ⇔ sinx-=− √3⇔ tgx= −√3- cosx

$( ⌊||| sinx< 0 ||{ tg2x= −√3 ||||||( ||(cosxcos2x ⁄=0 |||||| sinx≥ 0 ||{ tgx =− √3 ⌈|||( cosxcos2x ⁄=0$ $⇔$ $⌊ π |x =− 6 + 2πk,k ∈ℤ |||x = 4π+ 2πk,k∈ ℤ |⌈ 3 x = 2π+ 2πk,k∈ ℤ 3$

Ответ:

${− π+ 2πk,4π-+2πk,2π+ 2πk,k ∈ℤ} 6 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80049

Найдите количество натуральных чисел $k,$ не превосходящих $445000$ и таких, что $k2− 1$ делится нацело на $445$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Разность квадратов делится на составное число. Какие делимости на меньшие числа тогда можно рассмотреть?

Подсказка 2

Рассмотрим делимость на 89. (k-1)(k+1) делится на 89, что это может значить? Разберем случаи!

Подсказка 3

Ровно одна из скобок делится на 89. Пусть, например, k+1. Как тогда можно записаться k?

Подсказка 4

k = 89p + 88, p — целое. Отлично, с делимостью на 89 разобрались, но ведь нам нужна делимость на 445...

Подсказка 5

Получаем, что (89p + 87)(p+1) делится на 5. Тогда можно найти вид p ;) Аналогично нужно разобраться со случаем, когда на 89 делится другая скобка!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Разложив делимое и делитель на множители, получаем условие $.. (k− 1)(k +1).(5⋅89)$ . Значит, одно из чисел $(k +1)$ или $(k− 1)$ делится на 89 . Рассмотрим два случая.

a) $.. (k+ 1).89$ , т.е. $k= 89p+ 88,p∈ ℤ$ . Тогда получаем $.. .. (89p +87)(89p+ 89).(5⋅89) ⇐⇒ (89p+ 87)(p+ 1).5$ . Первый множитель делится на 5 при $p =5q+ 2,q ∈ℤ$ , а второй — при $p =5q+ 4,q ∈ℤ$ , откуда получаем, что $k= 445q +266,k =445q+ 444,q ∈ℤ$ .

б) $.. (k− 1).89$ , т.е. $k= 89p+ 1,p∈ ℤ$ . Тогда получаем $.. .. 89p(89p+ 2).(5⋅89) ⇐ ⇒ (89p+ 2)p.5$ . Первый множитель делится на 5 при $p =5q+ 2,q ∈ℤ$ , а второй — при $p= 5q,q ∈ℤ$ , откуда получаем, что $k= 445q +179$ , $k= 445q+ 1,q ∈ℤ$ .

Итак, условию задачи удовлетворяют числа, дающие остатки $266,444,179,1$ при делении на 445, то есть подходят каждые 4 из 445 подряд идущих чисел. Так как $445000= 445⋅1000$ , получаем $4 ⋅1000= 4000$ чисел.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

$445= 5⋅89$ . $. k2− 1 =(k− 1)(k+ 1)..(5⋅89)$ . Числа 5 и 89 простые, поэтому существует 4 случая:

$. ∙ k− 1 ..(5⋅89)$

$. ∙ k+1 ..(5⋅89)$

$. . ∙ k− 1 ..5 k+ 1..89$

$. . ∙ k+1 ..5 k− 1..89$

Для каждого такого случая существует ровно одно решение по модулю $5⋅89 =445$ (по КТО), так как если бы существовала $k1$ и $k2$ для, например, третьего случая, то $. k1− k2..(5⋅89),$ и значит, $− 444≤k1− k2 ≤ 444$ и делится на 445, то есть $k1− k2 = 0$ .

Отсюда все числа от 1 до 445000 разбиваются на группы по 445 в каждой, из которых есть ровно 4 решения.

Ответ: 4000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80579

Найдите все значения параметра $b$ , для каждого из которых найдется число $a$ такое, что система

{ x= |y − b|+ 3 x2+ y2 +32=ba(2y − a)+ 12x

имеет хотя бы одно решение $(x;y)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выделите квадраты во втором уравнении.

Подсказка 2

Получим (x - 6)² + (y - a)² = 4. Что это за график?

Подсказка 3

Это окружность с центром в точке (6;a) и радиусом 2. А что за график в первом уравнении?

Подсказка 4

Это повернутый на 90° по часовой стрелке график модуля, смещенный вправо на 3/b. А когда он не будет иметь пересечений с окружностью?

Подсказка 5

Когда 3/b > 8, так как окружность по x не достигает точек, больших 8. Рассмотрите обратный случай.

Подсказка 6

Можно ли подобрать какой-нибудь конкретный y (возможно, выраженный через параметр), при котором точно найдется хотя бы одно решение?

Подсказка 7

Возьмите y = b + 8 - 3/b. Какие еще b осталось рассмотреть?

Подсказка 8

В случае с 3/b мы пока рассматривали только смещения направо, то есть, положительные b.

Показать ответ и решение

Перепишем второе уравнение системы следующим образом:

2 2 2 x − 12x+36+ y − 2ay +a = 4

2 2 2 (x − 6) + (y− a) =2

$PIC$

Это окружность с центром $(6;a)$ и радиусом 2. Первое уравнение системы представляет собой повернутый на $∘ 90$ по часовой стрелке график $y = |x|$ с вершиной по $y$ в точке $b,$ который cдвигается по оси $x$ на $3 b.$ Так как центр окружности находится в точке $(6,a),$ и ее радиус — 2, она не достигает по $x$ значений, больших 8, следовательно, если сдвинуть график модуля за прямую $x= 8,$ мы получим 0 решений. Учтите, что при смещении вправо $3 b > 0,$ следовательно, $b> 0.$

( 3 |{ b >8 |( b> 0

3 0< b< 8

Рассмотрим остальные случаи. Пусть $3 b ≤ 8$ и $b> 0,$ тогда $3 b≥ 8,$ график находится правее $x =0,$ а также имеет хотя бы одну точку на прямой $x =8.$ Следовательно, можно подобрать $a,$ при котором окружность также будет через нее проходить. Заметим, что для данной точки будет верно $3 y = b+ 8− b,$ поскольку, подставив это выражение в первое уравнение, мы получим

|| 3 || 3 x= ||b+8 −b − b||+ b

А так как $3b ≤ 8,$ то

x= 8

Пусть $3 b ≤ 8$ и $b< 0.$ Верно, что $3 b <0,$ тогда график модуля смещен левее $x =0$ и имеет 2 точки пересечения с $x= 8,$ следовательно, можем подобрать $a,$ при которых окружность пройдет по крайней мере через одну из этих точек. В последнем случае имеем $3b > 8$ и $b <0,$ неравенства не пересекаются.

[ ) b∈ (− ∞;0)∪ 38;+∞

Ответ:

$(−∞;0)∪ [3;+∞) 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#88254

Решите неравенство

∘-2---- √----- 2 x − 16⋅ 2x− 1≤ x − 16

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, у нас есть x² - 16 и корень этого выражения... Можно ли упростить неравенство?

Подсказка 2

На ОДЗ корень всегда не меньше 0, значит, можно сначала рассмотреть равенство, а потом поделить!

Показать ответ и решение

ОДЗ данного неравенства - это множество $x∈ [4;+ ∞)$ .

Рассмотрим два случая.

a) При $x= 4$ неравенство выполнено (получаем $0= 0$ ).

б) При $x> 4$ делим обе части неравенства на положительное число $√-2---- x − 16$ и получаем

√----- ∘ ------ 2x− 1≤ x2− 16

2 2 2x− 1≤ x − 16,x − 2x − 15≥ 0

x∈ (−∞;−3]∪[5;+ ∞)

С учётом условия, получаем $x ∈[5;+∞ )$ .

Объединяя результаты, находим $x∈{4}∪ [5;+∞ )$ .

Ответ:

${4}∪[5;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90687

Решите уравнение

log (27x2) x9 x 3 = 81.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как всегда начнём с ОДЗ! После этого попробуйте подобрать удобное основание для логарифмирования и воспользуйтесь свойствами логарифмов, чтобы максимально упростить уравнение.

Подсказка 2

Воспользуйтесь свойствами логарифмов: log₃(x) = 1/logₓ3 и сделайте замену

Подсказка 3

Решите рациональное уравнение и сделайте обратную замену!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: