Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .07 Физтех 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31181

Решите систему

(| 1 + 1--= − 2-; |{ x1 y+1z- 125 ||( y1 +-x+1z = −31; z +x+y = −4.

Источники: Физтех-2015, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Домножив каждое уравнение на произведение знаменателей, получим систему

( −7,5(x+ y+ z)= xy+ xz |{ |( −1,5(x+ y+ z)= xy+ yz −4(x +y+ z)= xz+yz

Сложив почленно все три уравнения и разделив полученное равенство пополам, получаем равенство

xy+ xz+ yz =− 6,5(x+ y+z)

Вычитая из него каждое из уравнений последней системы, находим, что

(|{ − 2,5(x+ y+z)= xy (x+ y+ z)=yz |( − 5(x+ y+ z)=xz

Разделив первое уравнение на второе (это возможно, так как из ОДЗ исходной системы следует, что $xyz ⁄=0$ ), получаем, что $x =− 2,5z$ , а разделив первое на третье - что $y = 0,5z$ . Тогда второе уравнение принимает вид $− z = 0,5z2$ , откуда $z =−2,x= 5,y = −1$ .

Ответ:

$(5;− 1;−2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31511

Дан правильный $22$ -угольник $M$ . Найдите количество четвёрок вершин этого $22$ -угольника, являющихся вершинами выпуклых четырёхугольников, у которых есть хотя бы одна пара параллельных сторон.

Источники: Физтех-2015, 10.2 (см.olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим все диагонали (или стороны) и разобьем их на группы параллельных. Такие группы бывают 2 видов: те, которые содержат диаметр и те, которые не содержат. Первых групп всего 11 (количество различных диагоналей, проходящих через центр) и в каждой из них по 10 диагоналей. Вторых групп тоже 11, но в каждой из них по 9 диагоналей.

Вторых групп тоже 11, но в каждой из них по 9 диагоналей (см. рис).

$PIC$

Для того, чтобы выбрать выпуклый четырёхугольник, у которого есть хотя бы одна пара параллельных сторон, нужно выбрать две параллельные диагонали (или стороны) и составить из них трапецию. Так мы получим $11⋅10 10⋅9 11⋅ 2 +11⋅ 2$ четырехугольников. Осталось проверить, что они различны. На самом деле если наш четырехугольник имеет две пары параллельных прямых (вписанный параллелограмм — это прямоугольник), то он был посчитан два раза. Значит, из этого числа нужно вычесть количество прямоугольников. Выбрать прямоугольник можно таким способом. Сначала выберем 2 его соседние вершины. Это можно сделать $22⋅20$ способами, так как соседние вершины не могут быть противоположными, а затем однозначно определим оставшиеся 2 вершины, так как диагональ прямоугольника должна проходить через центр окружности. Так, каждый прямоугольник мы посчитаем $4⋅2$ раз и поэтому всего прямоугольников $22⋅20 --8-$ .

Получаем ответ $11⋅10 10⋅9 22⋅20 11⋅-2--+11⋅-2-− --8-= 1045$ .

Ответ:

$1045$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46081

Решите уравнение

|cosx|−-cos3x- 2-- cosxsin2x = √3.

Источники: Физтех-2015, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $cosx> 0$ , поделим числитель и знаменатель на $cos3x$

-12-− 4+ -32- 2 2 1 π cos-x2tgx-cos-x= √3- ⇐⇒ 2tgx= √3- ⇐ ⇒ tgx =√3- ⇐⇒ x= 6 +πn

Из этих корней остаются только $x = π6 + 2πn$ , при $cosx< 0$ действуем аналогично

−-co1s2x-− 4-+co3s2x-= √2 ⇐ ⇒ tg2x− 1= √2-tgx ⇐ ⇒ tgx =√3,− 1√-- ⇐⇒ x = π + πn 2tgx 3 3 3 3 2

Из этих корней остаются $2π 5π x= − 3 +2πn,6 + 2πn$ . Остаётся заметить, что все полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$π + 2πn,5π+ 2πn,− 2π+ 2πn, n∈ ℤ 6 6 3$

Критерии оценки

Разобран только один из двух случаев раскрытия модуля — 3 балла.

Разобраны оба случая раскрытия модуля — 7 баллов.

Не сделан (неверно сделан) отбор корней — (−1) балл за каждый случай.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#51854

В углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O 1$ и $O 2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Данные окружности касаются стороны $AB$ в точках $K1,K2$ и $K$ соответственно, при этом $AK1 = 4,BK2 = 6,$ и $AB = 16.$

(a) Найдите длину отрезка $AK$ .

(b) Пусть окружность с центром $O1$ касается стороны $AC$ в точке $K3.$ Найдите угол $CAB,$ если известно, что точка $O1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK1K3.$

Источники: Физтех-2015, 11.7 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

(a) Прямые $AO1$ и $BO2$ являются биссектрисами углов $A$ и $B$ треугольника, поэтому они пересекаются в точке $O$ - центре вписанной окружности. Обозначим радиусы окружностей с центрами $O1$ и $O2$ через $r,$ а радиус вписанной окружности через $R.$ Треугольники $OKB$ и $O2K2B$ подобны, коэффициент подобия равен $R, r$ поэтому $BK = 6R. r$ Аналогично $AK = 4R, r$ откуда $10R =16,AK = 32. r 5$

(b) Из условия следует, что $O1O =O1K1 = r.$ Опустим из точки $O1$ перпендикуляр $O1H$ на отрезок $OK.$ Тогда $3 OH- 3 OH = R − r = 5r,∠OAB = ∠OO1H = arcsin OO1 = arcsin5.$ Значит, $3 -7 ∠CAB = 2arcsin5 =arccos25$

Ответ:

(a) $32 AK = 5-,$

(b) $∠CAB =2 arcsin35 =arccos 725$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#51858

Решите систему

{ x2 +y2 ≤ 2; 81x4− 18x2y2+ y4− 360x2− 40y2+ 400 =0.

Показать ответ и решение

Второе уравнение очень напоминает квадрат тройной суммы, но, к сожалению, им не является, однако можно написать его в таком виде

2 2 2 2 (9x +y − 20)= (6xy)

Что эквивалентно

[ 9x2+ y2 − 20= 6xy [ (3x − y)2 = 20 [ 3x − y =±2√5 9x2+ y2 − 20= −6xy ⇐⇒ (3x +y)2 = 20 ⇐⇒ 3x +y =±2√5-

Остаётся разобрать 4 полученных случая. Например, если $3x− y =2√5$ , то из первого неравенства

x2+ (3x − 2√5)2 ≤ 2 ⇐⇒ 10x2− 12√5x+ 20 ≤2 ⇐ ⇒ (√10x− 3√2-)2 ≤0 ⇐⇒ x= √3- 5

И $1√- y = 5$ . Остальные случаи точно также дают ровно одно решение, откуда получаем ответ.

Ответ:

$(−√3,√1),(− 3√-,−√1),(√ 3-,− 1√-),(√3,√1) 5 5 5 5 5 5 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#62510

Найдите количество натуральных чисел $k$ , не превосходящих $242400$ и таких, что $k2+ 2k$ делится нацело на $303.$

Источники: Физтех-2015, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку $k2+2k =k(k+ 2)$ и $303= 3⋅101$ , то одно из чисел $k$ , $k+ 2$ делится на $101$ . Рассмотрим случаи

$k$ кратно $101$ . Тогда $k= 101p =⇒ 101p(101p+ 2)$ делится на $3$ . Отсюда $p= 3n,p= 3n +2$ . В итоге получаем случаи $k =303n,k = 303n+ 202$ .
$k +2$ кратно $101$ , откуда $k= 101p+ 99$ , откуда $101(p+ 1)(101p+ 99)$ кратно 3. Снова получаем два случая $p =3n,p= 3n+ 2$ , откуда $k= 303n +99,k= 303n +301$ .

Итак, нам подходят остатки $0,99,202,301$ при делении $k$ на $303,$ откуда среди любых $303$ подряд идущих чисел нам подойдут ровно $4$ . Поскольку $242400= 303⋅800$ , то получаем $4 ⋅800= 3200$ подходящих чисел.

Ответ:

3200

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#70299

Решите уравнение

|sinx|−-sin3x- √ - cosx cos2x =2 3

Источники: Физтех - 2015, 10 класс

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cosx cos2x⁄= 0$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля и преобразуем на ОДЗ:

− sinx− sin3x √- 2sin2xcosx √- sin2xcosx √ - sin x< 0:--cosxcos2x--= 2 3 ⇔ −-cosxcos2x-= 2 3 ⇔ cosx-cos2x = − 3⇔ ⇔ sin2xcosx-= −√3 ⇔ sin2x-= −√3⇔ tg2x= −√3 cosxcos2x cos2x

sinx−-sin3x- √ - 2sin-xcos2x √ - sinx-cos2x √- sinx ≥0 : cosxcos2x =2 3⇔ − cosxcos2x =2 3⇔ cosxcos2x =− 3⇔ ⇔ sinx-=− √3⇔ tgx= −√3- cosx

$( ⌊||| sinx< 0 ||{ tg2x= −√3 ||||||( ||(cosxcos2x ⁄=0 |||||| sinx≥ 0 ||{ tgx =− √3 ⌈|||( cosxcos2x ⁄=0$ $⇔$ $⌊ π |x =− 6 + 2πk,k ∈ℤ |||x = 4π+ 2πk,k∈ ℤ |⌈ 3 x = 2π+ 2πk,k∈ ℤ 3$

Ответ:

${− π+ 2πk,4π-+2πk,2π+ 2πk,k ∈ℤ} 6 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80049

Найдите количество натуральных чисел $k,$ не превосходящих $445000$ и таких, что $k2− 1$ делится нацело на $445$ .

Показать ответ и решение

Первое решение.

Разложив делимое и делитель на множители, получаем условие $.. (k− 1)(k +1).(5⋅89)$ . Значит, одно из чисел $(k +1)$ или $(k− 1)$ делится на 89 . Рассмотрим два случая.

a) $.. (k+ 1).89$ , т.е. $k= 89p+ 88,p∈ ℤ$ . Тогда получаем $.. .. (89p +87)(89p+ 89).(5⋅89) ⇐⇒ (89p+ 87)(p+ 1).5$ . Первый множитель делится на 5 при $p =5q+ 2,q ∈ℤ$ , а второй — при $p =5q+ 4,q ∈ℤ$ , откуда получаем, что $k= 445q +266,k =445q+ 444,q ∈ℤ$ .

б) $.. (k− 1).89$ , т.е. $k= 89p+ 1,p∈ ℤ$ . Тогда получаем $.. .. 89p(89p+ 2).(5⋅89) ⇐ ⇒ (89p+ 2)p.5$ . Первый множитель делится на 5 при $p =5q+ 2,q ∈ℤ$ , а второй — при $p= 5q,q ∈ℤ$ , откуда получаем, что $k= 445q +179$ , $k= 445q+ 1,q ∈ℤ$ .

Итак, условию задачи удовлетворяют числа, дающие остатки $266,444,179,1$ при делении на 445, то есть подходят каждые 4 из 445 подряд идущих чисел. Так как $445000= 445⋅1000$ , получаем $4 ⋅1000= 4000$ чисел.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

$445= 5⋅89$ . $. k2− 1 =(k− 1)(k+ 1)..(5⋅89)$ . Числа 5 и 89 простые, поэтому существует 4 случая:

$. ∙ k− 1 ..(5⋅89)$

$. ∙ k+1 ..(5⋅89)$

$. . ∙ k− 1 ..5 k+ 1..89$

$. . ∙ k+1 ..5 k− 1..89$

Для каждого такого случая существует ровно одно решение по модулю $5⋅89 =445$ (по КТО), так как если бы существовала $k1$ и $k2$ для, например, третьего случая, то $. k1− k2..(5⋅89),$ и значит, $− 444≤k1− k2 ≤ 444$ и делится на 445, то есть $k1− k2 = 0$ .