Тема Алгебра

10 Отрицательные числа → 10.03 Модуль числа

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Отрицательные числа

Арифметические действия

Координатная прямая. Числовые промежутки

Модуль числа

Сравнение чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#133256

Верно ли утверждение:

(a) если $a= b,$ то $|a|= |b|;$

(b) если $|a|= |b|,$ то $a= b;$

(d) если $a =b,$ то $|a|= b;$

(e) если $|a|= |b|,$ то $a= b$ или $a =− b;$

(f) если $a$ — целое число, то $|a|$ — натуральное число?

Источники: "Математика. 6 класс", Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Верно, по определению модуля;

(b) Неверно, можно привести контрпример: $|− 1|= |1|,$ но $− 1⁄= 1.$

(d) Неверно, можно привести контрпример: $− 1= −1,$ но $|− 1|⁄= −1.$

(e) Верно, так как это свойство модуля.

(f) Неверно, можно привести контрпример: $0$ — целое число, но $|0|=0$ — не натуральное.

Ответ:

(a) Да; (b) нет; (c) да; (d) нет; (e) да; (f) нет.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#133257

Чему равно расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчёта до точки:

1 9 M(5,4), N(−3,9), P(−300), L (241,9), E(0), Q(− 3), Z(711)?

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

|5,4|= 5,4;

|− 3,9|= 3,9;

|− 300|= 300;

|241,9|= 241,9;

|0|= 0;

|− 13|= 13;

|7-9|= 7 9-. 11 11

Ответ:

$OM =5,4,$ $ON =3,9,$ $OP =300,$ $OL =241,9,$ $OE = 0,$ $OQ = 1, 3$ $OZ =7-9. 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#133258

Запишите в виде равенства модуль числа:

11 4 111 42; 5,6; −3,1; 15; −9; − 7400; −37; 0.

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

|42|= 42;

|5,6|= 5,6;

|− 3,1|= 3,1;

|11|= 11; 15 15

|− 4|= 4; 9 9

|− 7 111|= 7111; 400 400

|− 37|= 37;

|0|= 0.

Ответ:

$42,$ $5,6,$ $3,1,$ $11, 15$ $4, 9$ $7111, 400$ $37$ и $0$ соответственно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#133259

Чему равно значение $|n|,$ если:

(a) $n =− 21,5;$

(b) $n = 21,5;$

(d) $n = − 13;$

(e) $n =479;$

(f) $19- n =− 520?$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $|n|= |− 21,5|= 21,5;$

(b) $|n|=|21,5|=21,5;$

(d) $|n|=|− 13|= 13;$

(e) $|n|=|479|=479;$

(f) $19- 19 |n|= |− 520|= 520.$

Ответ:

(a) $|n|= 21,5;$ (b) $|n|= 21,5;$ (c) $|n|= 33;$ (d) $1 |n|= 3;$ (e) $7 |n|= 49;$ (f) $19 |n|= 520.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#133260

Вычислите:

(a) $|− 7|− |− 6|;$

(b) $|− 710|+ |− 290|;$

(d) $|− 3,6|− |− 2,7|;$

(e) $|− 8|− |− 3|; 9 4$

(f) $|419|− |− 2178|.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $|− 7|− |− 6|= 7− 6 =1;$

(b) $|− 710|+ |− 290|= 710+ 290= 1000;$

(d) $|− 3,6|− |− 2,7|=3,6− 2,7= 0,9;$

(e) $8 3 8∖⋅4 3∖⋅9 32 27 32−27 5 |− 9|− |− 4|=-9--− -4--= 36 − 36 =-36-= 36;$

(f) $∖⋅2 |419|− |− 2178|= 419 − 2 718-=2-19 − 718-=2128 − 178 = 12108 − 718 = 11318.$

Ответ:

(a) $1;$ (b) $1000;$ (c) $10,1;$ (d) $0,9;$ (e) $-5 36;$ (f) $13 118.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#133261

Вычислите значение выражения:

(a) $|− 10|⋅|− 35|;$

(b) $|360|÷ |− 90|;$

(d) $|0,01|⋅|− 100|;$

(e) $|− 21|⋅|15|; 5 22$

(f) $|− 717|÷ | 514|.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $|− 10|⋅|− 35|=10⋅35= 350;$

(b) $|360|÷ |− 90|=360÷ 90= 4;$

(d) $|0,01|⋅|− 100|= 0,01⋅100 =0,010 ⋅100= 001,0= 1;$

(e) $1 3 |− 21|⋅|15|=2 1⋅ 15= 11⋅ 15 = //11⋅//15-= 3 = 11= 1,5; 5 22 5 22 5 22 1/5⋅//222 2 2$

(f) $10 2 |− 71|÷ | 5-|= 71 ÷-5 = 50⋅ 14=-//50-⋅//14-= 20. 7 14 7 14 7 5 1/7⋅/51$

Ответ:

(a) $350;$ (b) $4;$ (c) $12,4;$ (d) $1;$ (e) $1,5;$ (f) $20.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#133262

Точка $K$ лежит правее начала отсчёта на $9,7$ единицы, а точка $B$ — левее на $1,6$ единицы. Найдите координату каждой точки и модуль каждой координаты.

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Если точка $K$ лежит правее начала отсчёта, значит, она имеет положительную координату. При этом расстояние между точкой $K$ и началом отсчёта равно $9,7,$ значит, точка $K$ имеет координату $(9,7).$ $|9,7|= 9,7.$

Если точка $B$ лежит левее начала отсчёта, значит, она имеет отрицательную координату. При этом расстояние между точкой $B$ и началом отсчёта равно $1,6,$ значит, точка $B$ имеет координату $(−1,6).$ $|− 1,6|=1,6.$

$x--01234567891KB91210,,76$

Ответ:

$K (9,7)$ и $B(−1,6);$ $9,7$ и $1,6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#133263

(a) положительные числа, модули которых равны $19,$ $1,$ $21 55$ и $4,9;$

(b) отрицательные числа, модули которых равны $43,$ $193,$ $5,6$ и $1.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Положительные числа, модули которых равны $19,$ $1,$ $21 55$ и $4,9:$

21 19, 1, 55 и 4,9.

(b) Отрицательные числа, модули которых равны $43,$ $9 13,$ $5,6$ и $1:$

9 −43, − 13, −5,6и − 1.

Ответ:

(a) $19,$ $1,$ $21 55$ и $4,9;$ (b) $− 43,$ $9- − 13,$ $− 5,6$ и $− 1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#133264

Найдите все числа, модуль которых равен:

(a) $38;$

(b) $0;$

(d) $17- 19;$

(e) $9,3.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Если число положительное, то его модуль будет равен этому же числу. Если отрицательное, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком “ $− ”).$ Тогда, чтобы найти числа по их модулю, нужно раскрыть знак модуля с положительным и отрицательным знаками. Исключение составляет модуль, равный $0:$ если модуль числа равен $0,$ то расстояние от него до начала координат равно $0,$ то есть оно совпадает с началом координат и равно $0.$

Ответ:

(a) $− 38$ и $38,$ или же $± 38;$ (b) $0;$ (c) $1 − 53$ и $1 53,$ или же $1 ±5 3;$ (d) $17 − 19$ и $17 19,$ или же $17 ± 19;$ (e) $− 9,3$ и $9,3,$ или же $±9,3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#133265

Отметьте на координатной прямой числа, модули которых равны $4,$ $52, 3$ $31, 4$ $2,5.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Если модуль числа равен $4,$ значит, оно находится в $4$ единичных отрезках от начала координат. Таких чисел $2$ — это $− 4$ и $4:$

$x-----012345AA445432112((−44))$

Если модуль числа равен $52, 3$ значит, оно находится в $52 3$ единичных отрезках от начала координат. Таких чисел $2$ — это $− 52 3$ и $2 53:$

$x------0123456BB556543211222((−5522)) 33 33$

Если модуль числа равен $31, 4$ значит, оно находится в $31 4$ единичных отрезках от начала координат. Таких чисел $2$ — это $− 31 4$ и $1 34,$ или же $− 3,25$ и $3,25:$

$x-4-3-2-101234CC331(2(11−3311)) 44 44$

Если модуль числа равен $2,5,$ значит, оно находится в $2,5$ единичных отрезках от начала координат. Таких чисел $2$ — это $− 2,5$ и $2,5:$

$x---0123DD2232112,5,5((−22,5,5))$

Ответ:

$x------0123456AABBCCDD65432112121212$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#133266

Запишите множество точек с координатой $x,$ если:

(a) $|x|=3;$

(b) $|x|=7,2;$

(d) $|x|=0.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Ответ:

(a) $x = −3$ и $x= 3,$ или же $x = ±3;$ (b) $x= −7,2$ и $x = 7,2,$ или же $x = ±7,2;$ (c) $2 x= −15$ и $2 x= 15,$ или же $2 x= ±15;$ (d) $x= 0.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#133267

Решите уравнение:

(a) $|x|=8,1;$

(b) $|x|=7;$

(d) $|x|= 5; 12$

(e) $|x|= −1.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Ответ:

(a) $x = −8,1$ и $x= 8,1,$ или же $x= ±8,1;$ (b) $x= −7$ и $x =7,$ или же $x= ±7;$ (c) $x =0;$ (d) $-5 x= −12$ и $-5 x =12;$ (e) $x ∈∅.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#133268

Чему равен $|− n|,$ если $|n|= 9?$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

|− n|= |n|= 9

Ответ:

$|− n|=9.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#133270

Из чисел выберите то, модуль которого меньше:

(a) $− 239$ и $− 329;$

(b) $− 3,1$ и $1,7;$

(d) $23$ и $− 34;$

(e) $− 1,2,$ $115,$ $76$ и $1;$

(f) $1 − 27,$ $-1 210,$ $1- − 211$ и $1 28.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Найдём модуль каждого из чисел:

|− 239|= 239

|− 329|= 329

Наименьшее из этих чисел — $239,$ значит, искомый ответ — $− 239.$

(b) Найдём модуль каждого из чисел:

|− 3,1|= 3,1

|1,7|= 1,7

Наименьшее из этих чисел — $1,7,$ значит, искомый ответ — $1,7.$

|0|= 0

|− 4,6|= 4,6

Наименьшее из этих чисел — $0,$ значит, искомый ответ — $0.$

(d) Найдём модуль каждого из чисел и приведём получившиеся числа к общему знаменателю $12:$

2 2∖⋅4 8 |3|= -3--= 12

∖⋅3 3 3--- -9 |− 4|= 4 = 12

Наименьшее из этих чисел — $2 3,$ значит, искомый ответ — $2 3.$

(e) Найдём модуль каждого из чисел, представим их в виде смешанных чисел и приведём их дробные части к общему знаменателю $30:$

/21 1∖⋅6 6 |− 1,2|=1,2= 1//10--=1--5- = 130 5

∖⋅6 |11|= 1-1-- =1-6 5 5 30

7 7 1∖⋅5 5 |6|= 6 =1--6- = 130-

|1|= 1

Наименьшее из этих чисел — $1,$ значит, искомый ответ — $1.$

(f) Найдём модуль каждого из чисел:

|− 21|= 21 7 7

|2 1|= 2 1 10 10

1- 1- |− 211|= 211

1 1 |28|= 28

Целые части этих чисел равны, а дробная меньше всего у числа $1 211,$ так как при равных числителях меньше будет дробь с большим знаменателем. Значит, искомый ответ — $− 2 1. 11$

Ответ:

(a) $− 239;$ (b) $1,7;$ (c) $0;$ (d) $2 3;$ (e) $1;$ (f) $-1 − 211.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#133271

Найдите значение выражения:

(a) $|2x− 6|− 2x$ при $x =2;$

(b) $|3x− 8|− 3x$ при $x =2;$

(d) $|7+ 5x|− 4x$ при $x =− 2.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) При $x= 2:$

|2x− 6|− 2x =|2⋅2− 6|− 2⋅2= |4− 6|− 4= |− 2|− 4= 2− 4=− 2;

(b) При $x= 2:$

|3x− 8|− 3x =|3⋅2− 8|− 3⋅2= |6− 8|− 6= |− 2|− 6= 2− 6=− 4;

|6+4x|− 5x =|6+ 4⋅(−3)|− 5⋅(−3)= |6− 12|+ 15= |− 6|+15 =6+ 15= 21;

(d) При $x= −2:$

|7+ 5x|− 4x = |7+ 5⋅(− 2)|− 4⋅(−2)= |7 − 10|+8 =|− 3|+ 8= 3+ 8= 11.

Ответ:

(a) $− 2;$ (b) $− 4;$ (c) $21;$ (d) $11.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#133272

Отметьте на координатной прямой числа, у которых модули равны $7,$ $5,$ $0,$ $41, 4$ $31, 2$ $7,$ $4,9.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Если модуль числа равен $7,$ значит, оно находится в $7$ единичных отрезках от начала координат. Таких чисел $2$ — это $− 7$ и $7:$

$x-------01234567AB777654321(−(7)7)$

Если модуль числа равен $5,$ значит, оно находится в $5$ единичных отрезках от начала координат. Таких чисел $2$ — это $− 5$ и $5:$

$x-----012345AB5554321(−(5)5)$

Если модуль числа равен $0,$ значит, оно совпадает с началом координат. Такое число одно — это $0:$

$x-------01234567O7654321(0)$

Если модуль числа равен $1 44,$ значит, оно находится в $1 44$ единичных отрезках от начала координат. Таких чисел $2$ — это $1 − 44$ и $41: 4$

$11 1 1 x-----012345AB445432144(−(444)4)$

Если модуль числа равен $1 32,$ значит, оно находится в $1 32$ единичных отрезках от начала координат. Таких чисел $2$ — это $1 − 32$ и $31: 2$

$x-4-3-2-101234AB33(−(311131)) 222 2$

$x-------01234567AB777654321(−(7)7)$

Если модуль числа равен $4,9,$ значит, оно находится в $4,9$ единичных отрезках от начала координат. Таких чисел $2$ — это $− 4,9$ и $4,9:$

$x-----012345AB4454321,,(−(499,4,9)9)$

Ответ:

$x-------01234567AB777654321(−(7)7)$

$x-----012345AB5554321(−(5)5)$

$x-------01234567O7654321(0)$

$11 1 1 x-----012345AB445432144(−(444)4)$

$x-4-3-2-101234AB33(−(311131)) 222 2$

$x-------01234567AB777654321(−(7)7)$

$x-----012345AB4454321,,(−(499,4,9)9)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#133273

Сравните модули чисел:

(a) $− 39,8$ и $9,98;$

(b) $− 49,8$ и $31,9;$

(d) $− 21,4$ и $− 21,3;$

(e) $− 43 7$ и $5-3; 11$

(f) $347$ и $− 617;$

(g) $− 37$ и $15;$

(h) $7 9$ и $3 − 4.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Сравним модули чисел:

|− 39,8|∨|9,98|

39,8> 9,98

(b) Сравним модули чисел:

|− 49,8|∨|31,9|

49,8> 31,9

|93,1|∨|− 41,5|

93,1> 41,5

(d) Сравним модули чисел:

|− 21,4|∨|− 21,3|

21,4> 21,3

(e) Сравним модули чисел:

3 -3 |− 47|∨|511|

3 3 47 < 511

(f) Сравним модули чисел:

|34|∨|− 61| 7 7

34 < 61 7 7

(g) Сравним модули чисел:

3 1 |− 7|∨|5|

∖⋅5 ∖⋅7 -3-- ∨ 1--- 7 5

15- 7- 35 > 35

(h) Сравним модули чисел:

|7|∨|− 3| 9 4

∖⋅4 ∖⋅9 -7-- ∨ 3--- 9 4

28-> 27 36 36

Ответ:

(a) $|− 39,8|>|9,98|;$ (b) $|− 49,8|>|31,9|;$ (c) $|93,1> |− 41,5|;$ (d) $|− 21,4|> |− 21,3|;$ (e) $3 3- |− 47|< |511|;$ (f) $4 1 |37 |< |− 67|;$ (g) $|− 3|> |1 |; 7 5$ (h) $|7|> |− 3|. 9 4$