Тема Алгебра

10 Отрицательные числа → 10.03 Модуль числа

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Отрицательные числа

Арифметические действия

Координатная прямая. Числовые промежутки

Модуль числа

Сравнение чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#133269

Расположите числа в порядке возрастания их модулей:

−4,81; − 9,53; −4,21; 0; −900,2; 0,423; 5710.

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Найдём модуль каждого из чисел:

|− 4,81|= 4,81;

|− 9,53|= 9,53;

|− 4,21|= 4,21;

|0|= 0;

|− 900,2|= 900,2;

|0,423|= 0,423;

|5710|= 5710.

Расположим модули чисел в порядке возрастания:

0; 0,423; 4,21; 4,81; 9,53; 900,2; 5 710.

Запишем соответствующие этим модулям числа:

0; 0,423; −4,21; −4,81; − 9,53; −900,2; 5710.

Ответ:

$0,$ $0,423,$ $− 4,21,$ $− 4,81,$ $− 9,53,$ $− 900,2,$ $5 710.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116329

Что такое модуль числа?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Модуль числа показывает, насколько далеко число отстоит от нуля, независимо от направления.

Ответ: Расстояние от нуля до числа на числовой прямой

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#116330

Какое из утверждений верно для любого действительного числа $a?$

А) $|a|= −a;$
Б) $|a|≥0;$
В) $|a|<0;$
Г) $2 |a|=a ;$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Модуль числа всегда неотрицателен по определению. То есть верный ответ под буквой Б).

Ответ: Б)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#116333

Какое свойство модуля записано верно?

А) $|a +b|= |a|+|b|;$
Б) $|a− b|= |a|− |b|;$
В) $||a|| |a| b = b ;$
Г) $|a⋅b|=|a|⋅|b|;$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Модуль произведения равен произведению модулей сомножителей. Свойство справедливо для любого количества множителей. Верный ответ под буквой Г).

Ответ: Г)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#116335

Найдите корень уравнения: $|x|=5.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Уравнение $|x|= a$ имеет два решения при $a> 0$ : $x= a$ и $x= −a.$

Ответ: x = 5 или x = -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#116338

При каких $x$ верно неравенство $|x|<3?$

А) $x∈ (− ∞;3);$
Б) $x∈[0;3);$
В) $x∈(−3;3);$
Г) $x ∈(−3;0];$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Неравенство $|x|< a$ равносильно $− a <x <a$ при $a> 0.$ Неравенство строгое, поэтому скобки круглые. То есть верный ответ под буквой В).

Ответ: В)

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#116339

Вычислите $|7 − 10|.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Вычислим выражение внутри модуля: $7 − 10= −3,$ а $|− 3|=3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#116340

Найдите значение выражения $|− 5|+ |3|− |− 2|.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Вычислим значение каждого слагаемого: $|− 5|=5,$ $|3|= 3,$ $|− 2|= 2;$
То есть: $5+ 3− 2 =6;$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#116341

При каких $x$ выражение $|x− 4|$ равно $4− x?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Модуль $|x− 4|=4− x$ только когда $x− 4≤ 0,$ то есть $x ≤4.$

Ответ: x меньше или равен 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#116342

Чему равно выражение $||− 3|− |5||?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Вычислим значение выражения: $|− 3|= 3,$ $|5|= 5,$ $|3− 5|= |− 2|= 2;$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#116343

Найдите значение выражения $|2− 5|⋅|− 3|+|4|.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Вычислим значение выражения: $|2 − 5|⋅|− 3|+|4|=|− 3|⋅3+ 4.$
Раскроем модуль: $3⋅3+ 4= 9+ 4= 13.$

Ответ: 13

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#133242

Найдите модуль каждого из чисел:

1 11 2; − 3; 4,3; 12,6; −177; − 36; 0; 516; − 129.

Источники: "Математика. 6 класс", Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

|2|= 2;

|− 3|= 3;

|4,3|= 4,3;

|12,6|= 12,6;

|− 171|= 171; 7 7

|− 36|= 36;

|0|= 0;

|511|= 511; 16 16

|− 129|= 129.

Ответ:

$2,$ $3,$ $4,3,$ $12,6,$ $171, 7$ $36,$ $0,$ $511, 16$ и $129$ соответственно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#133243

Найдите значение выражения:

(a) $|− 3,5|− |2,6|;$

(b) $20 5 |21|+|− 7|;$

(d) $|− 1-|:|− 11|. 16 4$

Источники: "Математика. 6 класс", Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $|− 3,5|− |2,6|= 3,5− 2,6 =0,9;$

(b) $|2201|+|− 57|= 2021-+ 57 = 2021-+ 1521-= 3521-= 53;$

(d) $1- 1 1- 1 1- 5 1- 4 1 1 1- |− 16|:|− 14|= 16 :14 = 16 :4 = 16 ⋅5 = 5 ⋅4 = 20 =0,05.$

Ответ:

(a) $0,9;$ (b) $5 3;$ (c) $7,77;$ (d) $0,05.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#133244

Найдите значение выражения $|a|− |b|,$ если:

(a) $a =− 0,14,$ $b=0,1;$

(b) $11 a =− 212,$ $17 b=− 118.$

Источники: "Математика. 6 класс", Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $|a|− |b|=|− 0,14|− |0,1|=0,14 − 0,1 =0,04;$

(b) $11 17 11- 17 35 35 105 70 35 |a|− |b|= |− 212|− |− 118|= 212 − 118 = 12 − 18 = 36 − 36 = 36.$

Ответ:

(a) $0,04;$ (b) $35 36.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#133245

Решите уравнение:

(a) $|x|=12;$

(b) $|x|=− 8;$

(d) $|− x|=2,4.$

Источники: "Математика. 6 класс", Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Воспользуемся свойством модуля: $|a|= a,$ если $a$ — неотрицательное число; $|a|= −a,$ если $a$ — отрицательное число.

Получим: $x =12,$ если $x$ - неотрицательный, $− x =12;$ $x= −12,$ если $x$ — отрицательный. Получаем $2$ решения: $x= 12$ и $x =− 12.$

(b) Воспользуемся свойством модуля: $x =− 8,$ если $x$ — положительный и $− x =− 8;$ $x =8,$ если $x$ — отрицательный.

Заметим, что условия на положительность и отрицательность не верны, значит решений нет.

Также задачу можно было решить, зная, что модуль всегда неотрицательный.

(d) Воспользуемся другим свойством модуля: $|− x|=|x|.$ Решим задачу аналогично другим пунктам. Получим $x =±2,4.$

Ответ:

(a) $x = ±12;$ (b) корней нет; (c) $x= 0;$ (d) $x =±2,4.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#133246

Расположите числа $− 2,2;$ $8,6;$ $0,9;$ $− 6,8;$ $− 17,6;$ $0;$ $15$ в порядке убывания их модулей.

Источники: "Математика. 6 класс", Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Найдём модуль каждого из чисел:

|− 2,2|= 2,2;

|8,6|= 8,6;

|0,9|= 0,9;

|− 6,8|= 6,8

|− 17,6|= 17,6;

|0|= 0;

|15|= 15.

Расположим модули чисел в порядке убывания:

17,6; 15; 8,6; 6,8; 2,2; 0,9; 0.

Запишем соответствующие этим модулям числа:

−17,6; 15; 8,6; − 6,8; −2,2; 0,9; 0.

Ответ:

$− 17,6;$ $15;$ $8,6;$ $− 6,8;$ $− 2,2;$ $0,9;$ $0.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#133247

Запишите все целые числа, модули которых меньше $3,6.$ Какие из этих чисел принадлежат множеству $ℕ?$

Источники: "Математика. 6 класс", Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Если модуль числа меньше $3,6,$ значит, расстояние от числа до нуля на координатной прямой строго меньше $3,6.$ То есть нам подходят все целые числа, лежащие в интервале $(− 3,6;3,6):$

−3; −2; −1; 0; 1; 2 и 3.

Множество $ℕ$ — множество натуральных чисел, или же множество всех положительных целых чисел от $1$ до бесконечности, которые используют для счёта предметов. Из перечисленных выше чисел натуральными являются числа $1;$ $2$ и $3.$

Ответ:

$− 3,$ $2,$ $1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3;$ $1,$ $2,$ $3∈ ℕ.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#133253

Отметьте на координатной прямой целые значения $x,$ при которых верно неравенство:

(a) $|x|<6,1;$

(b) $3,4< |x|< 5,2.$

Источники: "Математика. 6 класс", Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Если модуль числа меньше $6,1,$ значит, расстояние от числа до нуля на координатной прямой строго меньше $6,1.$ То есть нам подходят все целые числа, лежащие в интервале $(−6,1;6,1):$

$x-------01234567AA765432112((−66,1,)1)$

Теперь видно, что неравенство верно при следующих целых значениях $x:$

x =±6; x= ±5; x= ±4; x =±3; x= ±2; x= ±1; x =0.

(b) Рассмотрим условия $|x|>3,4$ и $|x|<5,2$ по-отдельности.

Если модуль числа больше $3,4,$ значит, расстояние от числа до нуля на координатной прямой строго больше $3,4.$ То есть нам подходят все целые числа, лежащие в промежутке $(−∞; −3,4)∪(3,4;+∞ ).$

Если модуль числа меньше $5,2,$ значит, расстояние от числа до нуля на координатной прямой строго меньше $5,2.$ То есть нам подходят все целые числа, лежащие на интервале $(− 5,2;5,2).$