Тема Алгебра

09 Одночлены и многочлены → 09.03 Квадратный трёхчлен

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Одночлены и многочлены

Деление на многочлен

Деление на одночлен

Квадратный трёхчлен

Разложение многочленов на множители

Сложение и вычитание

Умножение многочлена на многочлен

Умножение одночлена на многочлен

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130429

Постройте график функции $y = x2− 4x+ 3.$ Определите:

1.: Направление ветвей
2.: Координаты вершины
3.: Точки пересечения с осями
4.: Ось симметрии

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

1.

Направление ветвей:

Коэффициент при $x2$ равен $1>0,$ значит ветви направлены вверх.

2.

Вершина параболы:

Формула для нахождения вершины:

xv = −-b =− −-4= 2 2a 2⋅1

yv =22− 4⋅2+ 3= 4− 8+3 =− 1

Вершина находится в точке $(2;−1)$ .

3.

Пересечение с осями:

С осью $Oy$ $(x= 0):$

$2 y = 0 − 4⋅0 +3 =3$
Точка $(0;3)$
С осью $Ox$ $(y = 0):$

$2 x − 4x +3 =0$

$D= 16− 12= 4$

$4+ 2 x1 =--2-= 3$

$4−-2 x2 = 2 = 1$
Точки $(1;0)$ и $(3;0)$

4.

Ось симметрии:

Вертикальная прямая, проходящая через вершину:

x= 2

$PIC$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#130430

На рисунке изображена парабола. Определите по графику:

Уравнение оси симметрии
Координаты вершины
Уравнение функции
Значение функции при $x= 2$

$PIC$

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Ось симметрии:

По графику видно, что парабола симметрична относительно прямой $x =1.$

$2.$ Вершина:

Наименьшее значение функции достигается в точке $(1;−4).$

$3.$ Уравнение функции:

Используем вид $2 y = a(x − xv) + yv :$

y =a(x− 1)2− 4

Найдём $a$ по точке пересечения с осью $OY$ $(0;− 2):$

2 −2= a(0 − 1) − 4

−2= a− 4

a= 2

Итоговое уравнение:

2 y =2(x− 1) − 4

или в стандартной форме:

2 y =2x − 4x− 2

$4.$ Значение при $x= 1:$

По графику видно, что $y(2)=− 2.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#130431

Для функции $y = −2x2+ 8x− 5$ определите:

Куда направлены ветви
Максимальное значение функции
Промежутки возрастания и убывания

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Направление ветвей:

Коэффициент при $2 x$ отрицательный $(−2< 0),$ значит ветви направлены вниз.

$2.$ Максимальное значение:

Находим вершину:

8 xv =− 2⋅(−2) = 2

yv =− 2⋅22 +8⋅2− 5= −8+ 16− 5= 3

Максимальное значение функции равно $3.$

$3.$ Промежутки возрастания/убывания:

Функция возрастает при $x< 2$ (левее вершины) Функция убывает при $x> 2$ (правее вершины)

Ответ:

Ветви направлены вниз.

Максимальное значение функции равно $3.$

Функция возрастает при $x< 2$ (левее вершины)

Функция убывает при $x >2$ (правее вершины)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#130432

Мяч бросили вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Высота $h$ (в метрах) в зависимости от времени $t$ (в секундах) описывается формулой:

2 h(t)= −5t +20t+ 1,5

Определите:

Максимальную высоту подъёма мяча
Время, через которое мяч упадёт на землю
Высоту через 1 секунду после броска

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$PIC$

$1.$ Максимальная высота:

Находим вершину параболы:

tv = −-20--= 2 сек 2⋅(−5)

2 hmax = −5 ⋅2 + 20⋅2+ 1,5= −20+ 40+ 1,5= 21,5 м

$2.$ Время падения:

Решаем уравнение $h(t)= 0$ :

−5t2+20t+ 1,5= 0

D = 400+30= 430

√ --- t= −20±--430- − 10

Берём положительный корень:

20+ 20,74 t≈ ---10---≈ 4,07 сек

$3.$ Высота через 1 секунду:

h(1) =−5 ⋅12+ 20⋅1+ 1,5= 16,5 м

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#130433

На координатной плоскости изображены две параболы:

$PIC$

1.: Первая парабола проходит через точки $(−1,0)$ , $(3,0)$ и $(1,−4)$
2.: Вторая парабола имеет вершину в точке $(2,5)$ и пересекает ось $Oy$ в $(0,− 3)$

Для каждой параболы определите:

Уравнение в стандартном виде $y = ax2+bx+ c$
Координаты всех точек пересечения с осями
Промежутки возрастания и убывания
Для второй параболы - уравнение оси симметрии

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

0.1 Первая парабола

$1.$ Находим уравнение:

Используем точки пересечения с $Ox :$

y = a(x+ 1)(x− 3)

Подставляем точку $(1,−4):$

−4 =a(1+ 1)(1− 3)

−4= a⋅2⋅(−2)

−4= −4a⇒ a =1

Уравнение в факторизованной форме:

y = (x+ 1)(x− 3)

Преобразуем к стандартному виду:

y = x2− 2x − 3

$2.$ Точки пересечения с осями:

С $Ox :$ $(− 1,0)$ и $(3,0)$ (даны по условию)
С $Oy$ ( $x =0$ ): $y = −3⇒ (0,−3)$

$3.$ Монотонность:

Находим вершину:

x = −-b= 2 = 1 v 2a 2

Функция убывает при $x <1$
Функция возрастает при $x >1$

0.2 Вторая парабола

$1.$ Находим уравнение:

Используем вершину $(2,5):$

y =a(x− 2)2+ 5

Подставляем точку $(0,−3):$

2 −3= a(0 − 2) +5

−3 =4a+ 5

4a= −8⇒ a= −2

Уравнение в стандартном виде:

y =− 2(x− 2)2 +5 =−2x2+ 8x− 3

$2.$ Точки пересечения с осями:

С $Oy :$ $(0,−3)$ (дано)
С $Ox$ ( $y =0$ ):

$2 −2x + 8x − 3 =0$

$D = 64− 24= 40$

$− 8±√40- √10 x= ---−4---= 2∓ -2-$
Точки: $√-- (2− -102 ,0)$ и $√-- (2+ -120,0)$

$3.$ Монотонность:

Функция возрастает при $x <2$
Функция убывает при $x >2$

$4.$ Ось симметрии:

x= 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#130481

Парабола проходит через точки $A(−2,− 3)$ , $B(1,6)$ и $C(0,1).$

1.: Найдите уравнение параболы
2.: Постройте её график
3.: Найдите координаты вершины

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Подставляем точки в уравнение $y = ax2 +bx+ c:$

(| 2 (| ||{− 3= a(−2) + b(−2)+ c ||{4a− 2b+c= −3 ||6 =a(1)2+ b(1)+ c ⇒ ||a+ b+ c=6 |(1 =a(0)2+ b(0)+ c |(c= 1

$2.$ Решаем систему:

( ( |||{ 4a− 2b= −4 |||{a= 1 a+ b=5 ⇒ b= 4 |||( |||( c= 1 c= 1

$3.$ Уравнение: $y =x2+ 4x+ 1$

$PIC$

$4.$ Вершина:

xv =− 4= −2, yv =(−2)2+4(−2)+1 =− 3 2

Вершина в точке $(− 2,−3)$

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#130482

Дана парабола $y = x2− 4x +3.$ Постройте график и определите:

Координаты вершины
Точки пересечения с осями
Промежутки возрастания и убывания

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

1. Находим вершину:

Формула для $x$ -координаты вершины:

b − 4 xv = −2a =− 2⋅1 = 2

Теперь найдём $y$ -координату:

yv =22− 4⋅2+ 3= 4− 8+3 =− 1

Итак, вершина находится в точке $(2;− 1)$ .

2. Точки пересечения с осями:

С осью $Ox$ $(y = 0):$

$x2− 4x +3 =0$

$D= 16− 12= 4$

$x1 = 4+22= 3$

$4− 2 x2 =--2-= 1$
Точки: $(1;0)$ и $(3;0)$
С осью $Oy$ $(x = 0):$

$y =0− 0+ 3= 3$
Точка: $(0;3)$

3. Промежутки монотонности: Так как коэффициент при $x2$ положительный $(a =1 >0),$ парабола направлена ветвями вверх. Следовательно:

Функция убывает на $(−∞; 2]$
Функция возрастает на $[2;+∞ )$

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#130483

Парабола $y = ax2+bx+ c$ проходит через точки $(0;3),$ $(1;2)$ и $(−1;6).$ Найдите её уравнение.

Источники: А.Г. Мордкович, Алгебра 8 класс (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1.$ Составляем систему уравнений, подставляя точки:

(| ||{ c= 3 || a+ b+c= 2 |( a− b+c= 6

$2.$ Решаем систему: Из первого уравнения сразу получаем $c =3$ .

Подставляем во второе:

a+ b+3= 2⇒ a+b= −1

Из третьего:

a − b+ 3= 6⇒ a− b= 3

$3.$ Складываем последние два уравнения:

2a= 2⇒ a= 1

$4.$ Находим $b$ :

1+ b= −1⇒ b= −2

$5.$ Итоговое уравнение:

y = x2− 2x +3

Ответ:

2 y = x − 2x +3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#130484

При каких значениях $k$ прямая $y =kx$ пересекает параболу $y = x2 − 2x− 3:$

В двух точках
В одной точке
Не пересекает

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Составляем уравнение:

2 x − 2x− 3= kx

x2− (2+ k)x − 3 =0

$2.$ Находим дискриминант:

D = (2+k)2+ 12= k2 +4k+ 16

$3.$ Анализируем:

Всегда $D >0$ , так как $k2 +4k+ 16$ всегда положителен (дискриминант этого выражения $D′ = 16− 64= −48< 0$ ).
Значит, прямая всегда пересекает параболу в двух точках при любых $k.$

Ответ:

Прямая всегда пересекает параболу в двух точках при любых $k.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#130485

Постройте график функции $y = |x2− 4x+3|$ и определите количество корней уравнения $|x2− 4x+ 3|=a$ в зависимости от параметра $a.$

Источники: Алгебра. 9 класс. Базовый уровень. Учебник - Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1.$ Сначала строим параболу $y = x2− 4x+3 :$

Вершина: $(2;−1)$
Точки пересечения с $Ox :$ $(1;0)$ и $(3;0)$
С $Oy :$ $(0;3)$

$PIC$

$2.$ Части параболы, находящиеся ниже оси $Ox,$ отражаем симметрично вверх.

$PIC$

$3.$ Анализируем количество корней:

При $a< 0:$ нет решений (модуль всегда $≥ 0$ )
При $a= 0:$ два решения ( $x= 1$ и $x= 3$ )

$PIC$
При $0< a< 1:$ четыре решения

$PIC$
При $a= 1:$ три решения

$PIC$
При $a> 1$ : два решения

$PIC$

Ответ:

При $a< 0:$ нет решений
При $a= 0:$ два решения
При $0< a< 1:$ четыре решения
При $a= 1:$ три решения
При $a> 1:$ два решения

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#130486

Найдите все значения параметра $p,$ при которых вершина параболы $y = x2− 2px+ p2− 1$ лежит на прямой $y = 2x − 3.$

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Находим вершину параболы:

−2p xv = − 2 =p

yv =p2− 2p⋅p+ p2 − 1 =−1

$2.$ Подставляем координаты вершины $(p;− 1)$ в уравнение прямой:

−1 =2p− 3

2p= 2

p= 1

Ответ: p=1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#130487

Исходный график $y =x2$

Как изменится график, если:

1.: $y =(x− 2)2+ 1$
2.: $2 y =− 2x$

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Сдвиг и преобразование:

$(x− 2)2$ — сдвиг вправо на $2$ единицы

$PIC$
$+1$ — сдвиг вверх на 1 единицу

$PIC$
Вершина перемещается из $(0,0)$ в $(2,1)$

$2.$ Растяжение и отражение:

Коэффициент $− 2$ :
а) Отражает параболу (ветви вниз)
б) "Сужает"в 2 раза

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#130488

Дана квадратичная функция $y = x2 +px+ 4$

При каких $p$ парабола:

1.: Касается оси $Ox?$
2.: Не имеет общих точек с $Ox?$

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Условие касания:

2 D =p − 16= 0⇒ p= ±4

$2.$ Нет пересечений:

2 D <0 ⇒ p − 16< 0⇒ p ∈(−4,4)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#130489

Даны два трехчлена $y = x2− 2x − 3 1$ и $y = −x2+ 2x+5 2$

1.: Найдите точки пересечения
2.: Определите промежутки, где $y1 >y2$

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Точки пересечения:

2 2 x − 2x− 3= −x + 2x+ 5

2x2− 4x− 8= 0

x1 = 1− √5,x2 = 1+√5

$2.$ Неравенство:

x2 − 2x− 3> −x2+ 2x+ 5

2x2− 4x− 8> 0

Решение: $√- x< 1− 5$ или $√- x> 1+ 5$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#130490

Постройте график функции $y = −x2+ 4x − 3.$ Определите:

1.: Промежутки возрастания и убывания
2.: Наибольшее значение функции
3.: При каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Находим вершину параболы:

b 4 xv =− 2a = −−-2 = 2

yv = −22+ 4⋅2− 3 =− 4+8 − 3= 1

Вершина: $(2,1)$

$2.$ Точки пересечения с осями:

С осью $Oy$ ( $x = 0$ ): $y = −3$ → $(0,−3)$
С осью $Ox$ ( $y = 0$ ): $2 − x + 4x− 3 =0$ $⇒$ $2 x − 4x+ 3= 0$
$x1 =1,x2 = 3$
$⇒$ $(1,0)$ и $(3,0)$

$PIC$

$3.$ Анализ графика:

Ветви направлены вниз (т.к. $a= −1 <0$ )
Возрастает на $(−∞, 2]$ , убывает на $[2,+∞ )$
Наибольшее значение: $ymax =1$ (в вершине)
Отрицательные значения: при $x <1$ или $x> 3$ (см. график)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#130491

Найдите значения коэффициента $c$ , при которых график функции $y = x2+6x +c:$

1.: Касается оси абсцисс
2.: Не пересекает ось абсцисс
3.: Имеет две точки пересечения с прямой $y = 1$

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Касание оси $Ox:$

D= 36− 4c=0 ⇒ c= 9

$2.$ Нет пересечений:

D <0 ⇒ 36− 4c< 0⇒ c >9

$3.$ Пересечение с $y =1 :$

x2+ 6x+ c=1 ⇒ x2+6x+ (c− 1)= 0

D′ = 36 − 4(c− 1)> 0⇒ 40− 4c> 0⇒ c< 10

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#130493

Найдите наименьшее значение функции $y = x2− 6|x|+ 13.$

Источники: РешуЕГЭ (см. math-ege.sdamgia.ru))

Показать ответ и решение

$1.$ Рассмотрим два случая:

Случай $1$ : $x ≥0$

2 y =x − 6x+ 13

Вершина: $xv = 3$ , $yv = 9− 18 +13= 4$

Случай $2$ : $x < 0$

2 y =x +6x+ 13

Вершина: $xv = −3$ , $yv = 9− 18+13 =4$

$2.$ Вывод:

Наименьшее значение функции равно $4,$ достигается при $x= ±3.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#130494

Постройте график $y = 2x2− 8x+ 5$ с помощью преобразований.

Источники: InternetUrok (см. interneturok.ru))

Показать ответ и решение

$1.$ Выделяем полный квадрат:

2 2 2 y =2(x − 4x)+ 5= 2[(x− 2)− 4]+5= 2(x− 2) − 3

$2.$ Последовательность преобразований:

Исходный график $y =x2$

$PIC$
Сдвиг вправо на 2: $y = (x− 2)2$

$PIC$
Растяжение в 2 раза: $y = 2(x− 2)2$

$PIC$
Сдвиг вниз на 3: $y =2(x− 2)2− 3$

$PIC$

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#130496

Найдите значения параметра $k$ , при которых уравнение $x2+kx+ 9= 0:$

1.: Имеет один корень
2.: Не имеет действительных корней
3.: Имеет два различных корня

Источники: Алгебра. 9 класс. Базовый уровень. Учебник - Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1.$ Вычисляем дискриминант:

2 D = k − 36

$2.$ Анализируем:

Один корень: $D = 0$ $⇒$ $k2 = 36$ $⇒$ $k= ±6$
Нет корней: $D < 0$ $⇒$ $− 6< k< 6$
Два корня: $D > 0$ $⇒$ $k< −6$ или $k> 6$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#130497

При каких значениях параметра $p$ парабола $y =x2+ px+ p$ касается оси абсцисс?

Источники: Авторская, Бурбах С.Е.

Показать ответ и решение

$1.$ Условие касания: дискриминант равен нулю:

2 D = p − 4⋅1⋅p= 0

p(p− 4)= 0

$2.$ Решения:

p= 0 или p =4

Ответ:

Предыдущая подтема

Следующая подтема