Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.05 Пирамида

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1879

В основании пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник с прямым углом $∠A$ . Точка $H$ – центр описанной вокруг треугольника $△ABC$ окружности, $SH$ – высота пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что $AB = 6$ , $AC = 8$ , $√- SA = 5 5$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе и делит ее пополам $⇒$ $BH = AH = CH$ – радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике $△BAC$ по теореме Пифагора: $BC2 = AB2 + AC2 = 62+ 82 = 100$ $⇒$ $BC = 10$ $⇒$ $AH = BC-= 10= 5 2 2$ . Треугольник $△AHS$ – прямоугольный, т.к. $SH ⊥ ABC$ ( $SH$ – высота), тогда по теореме Пифагора можно найти $SH$ : $SH2 = AS2 − AH2 = (5√5-)2 − 52 =100$ $⇒$ $SH =10$ . Теперь найдем объем пирамиды:

Vпир. = 1 ⋅SH ⋅S △BAC = 1⋅SH ⋅ 1 ⋅AB ⋅AC = 1 ⋅10 ⋅ 1⋅6⋅8 =80. 3 3 2 3 2

Ответ: 80

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17750

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть площадь основания пирамиды равна $S,$ а ее высота равна $h.$ Тогда объём пирамиды равен

1 V1 = 3Sh

Если высоту пирамиды увеличили в 4 раза, то и ее объем увеличился в 4 раза:

V2 = 1S ⋅(4h)= 4Sh = 4V1 3 3

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#970

Дана пирамида $SABCD$ , вершиной которой является точка $S$ , в основании лежит ромб, а высота $SO$ пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол $ASO$ равен углу $SBO$ , а диагонали основания равны $6$ и $24$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то $AO = 12$ , $BO = 3$ .
Заметим, что так как $SO$ – высота пирамиды, то $△ASO$ и $△BSO$ – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть $SO = h$ , тогда из подобия имеем:

BO-- -h-- h = AO ⇒ h = 6.

Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем пирамиды равен

1 1 V = --⋅ h ⋅-⋅ 24 ⋅ 6 = 144. 3 2

Ответ: 144

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#971

В пирамиде $SABC$ высота $SO$ падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник $ABC$ равнобедренный, боковые стороны равны $10$ , а основание $AC = 18$ . Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром $SB$ и плоскостью основания равен $45∘$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $BK$ – высота в $△ABC$ , а значит и медиана. Тогда из прямоугольного $△BKC$ :

√ ------------- √ -------- √ --- BK = BC2 − KC2 = 102 − 92 = 19.

Тогда площадь основания равна

S = 1-⋅ AC ⋅ BK = 9√19.- ABC 2

Так как $O$ – точка пересечения медиан, то $O$ лежит на $BK$ . Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то

2 2√ --- BO = -BK = -- 19. 3 3

Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, $∠SBO = 45∘$ и есть угол между $SB$ и основанием (так как $BO$ – проекция $SB$ на плоскость $ABC$ ). Так как к тому же $△SBO$ прямоугольный, то он равнобедренный, следовательно,

2√ --- SO = BO = -- 19. 3

Тогда объем пирамиды равен

V = 1-⋅ SO ⋅ S = 38. 3 ABC

Ответ: 38

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#972

Высота $SH$ треугольной пирамиды $SABC$ падает на середину стороны $AB$ , $ABC$ – правильный треугольник со стороной $6$ . Найдите объем пирамиды, если $√ --- SC = 30$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $H$ – середина $AB$ и треугольник правильный, то $CH$ – высота. Следовательно,

√ -- √ -- CH = --3-AB = 3 3. 2

Так как $SH$ – высота пирамиды, то $△SHC$ – прямоугольный, следовательно,

√ ------------ √ -------- √ -- SH = SC2 − CH2 = 30 − 27 = 3.

Следовательно, объем равен

1 1 1 V = -⋅ SH ⋅ SABC = --⋅ SH ⋅ --⋅ CH ⋅ AB = 9. 3 3 2

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1878

В основании пирамиды $SABCD$ лежит равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ . $H$ – точка пересечения диагоналей трапеции, а $SH$ – высота пирамиды. Диагонали трапеции перпендикулярны, $tg∠SAC = 3$ , $BH = 3$ , $AH = 2$ . Найдите объем пирамиды.

$PIC$

Показать ответ и решение

$△AHD$ и $△BHC$ – равнобедренные треугольники, т.к. трапеция $ABCD$ равнобедренная $⇒$ $AH = HD$ , $BH = HC$ $⇒$ $AC = BD = 2 + 3 = 5$ $⇒$

1 1 1 1 SABCD = SABC + SADC = 2-⋅ AC ⋅ BH + 2-⋅ AC ⋅ HD = 2-⋅ AC ⋅ (BH + HD ) = 2-⋅ AC ⋅ BD.

В $△SAH$ : $SH = AH ⋅ tg∠SAC = 6$ , т.к. $△SAH$ – прямоугольный. Тогда объем пирамиды можно найти следующим образом:

V = 1-⋅ S ⋅ SH = 1-⋅ 1-⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 6 = 25 пир. 3 ABCD 3 2

Ответ: 25

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2292

$EABCD$ – пирамида, $ABCD$ – параллелограмм со сторонами $1$ и $√ -- 3$ , $∠BAD = 60∘$ . Из точки $E$ опущен перпендикуляр $EN$ на плоскость $(ABCD )$ , причём точка $N$ – точка пересечения диагоналей $ABCD$ , $∘ ---------√-- AE = 5 + 0,25 3$ . Найдите объем пирамиды.

Показать ответ и решение

$PIC$

Объем пирамиды может быть найден по формуле $1 V = --S ⋅ h 3$ , где $S$ – площадь основания пирамиды, $h$ – высота пирамиды.

Площадь параллелограмма может быть найдена по формуле $S пар. = ab ⋅ sin α$ , где $a$ , $b$ – не параллельные стороны параллелограмма, $α$ – угол между ними.

√ -- √-- ∘ √ -- --3- 3- SABCD = 1 ⋅ 3 ⋅ sin60 = 3 ⋅ 2 = 2.

Найдем $EN$ :
по теореме Пифагора для треугольника $AEN$ :

2 2 2 EN = AE − AN .

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то $1- AN = 2 AC$ .
Найдем $AC$ по теореме косинусов для треугольника $ACD$ :

AC2 = AD2 + DC2 − 2 ⋅ AD ⋅ DC ⋅ cos ∠ADC,

но $∘ ∘ ∠ADC = 180 − ∠BAD = 120$ , тогда

-- ( ) -- AC2 = 1 + 3 − 2 ⋅ 1 ⋅ √ 3 ⋅ − 1 = 4 + √ 3, 2

откуда

∘ ------- 1- 1- √ -- AN = 2AC = 2 4 + 3.

Теперь $√ -- √ -- 2 --3- --3- EN = 5 + 4 − 1 − 4 = 4$ , тогда $EN = 2$ , следовательно,

1 3 Vпирамиды = --⋅--⋅ 2 = 1. 3 2

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2293

$EABCD$ – пирамида, $ABCD$ – прямоугольник со сторонами $√ -- 3 + 3 5$ и $√---- √---- 114 + 570$ . Из точки $E$ опущен перпендикуляр $√ --- EM = 55$ на плоскость $(ABCD )$ , причём точка $M$ попала на $AC$ так, что $-- AM : M C = 1 : √ 5$ . Пусть $S$ – площадь поверхности пирамиды $ABCDE$ . Найдите $S √ ---- √ -- ----√---− 114 (12 + 3 5) 1 + 5$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $√ -- AD = 3 + 3 5$ . Рассмотрим прямоугольник $ABCD$

$PIC$

Достроим отрезки $N T$ и $P K$ , проходящие через точку $M$ , как показано на рисунке ( $N T ∥ BC$ , $P K ∥ AB$ ).

Тогда $M N = 3$ , $√ -- M T = 3 5$ , $√ ---- M P = 114$ , $√---- M K = 570$ . $M N$ – проекция $N E$ на $(ABCD )$ , $M N$ перпендикулярен $AB$ , тогда по теореме о трех перпендикулярах $N E$ перпендикулярен $AB$ . По теореме Пифагора $N E = 8$ . Площадь треугольника $ABE$ равна

1 √ ---- √-- --⋅ AB ⋅ N E = 4 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5 ). 2

Аналогично площадь треугольника $BEC$ равна $√ -- 37,5(1 + 5)$ ,
площадь треугольника $CDE$ равна $√---- √ -- 5 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5)$ ,
площадь треугольника $AED$ равна $√ -- 19,5(1 + 5)$ ,
площадь прямоугольника $ABCD$ равна $√---- √-- 3 114 (1 + 5 )2$ .
Площадь поверхности пирамиды:

√ ---- √ -- √ -- √ ---- √ -- S = 9 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5) + 57(1 + 5) + 3 114 (1 + 5)2.

Тогда $---S√---− √114-(12 + 3√5--) = 57 1 + 5$ .

Ответ: 57

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2294

$EABCD$ – пирамида, $∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = 90∘$ , $AD = DC = a$ , проекция точки $E$ на плоскость $ABC$ – середина $AC$ . Длина отрезка, соединяющего точку $E$ и середину $BD$ , равна $√- 0,5a 3$ , площадь полной поверхности пирамиды равна $2,4$ . Найдите $DE$ .

Показать ответ и решение

Так как $∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = 90∘$ , то $∠DAB = 360∘ − 3 ⋅90∘ = 90∘$ , тогда $ABCD$ – прямоугольник, но $AD = DC$ , следовательно, $ABCD$ – квадрат.

Обозначим отрезок, соединяющий точку $E$ и середину $BD$ через $h$ .

$PIC$

Так как $ABCD$ – квадрат, то $h$ соединяет точку $E$ с серединой $AC$ , то есть проекцией точки $E$ на $(ABC )$ , откуда заключаем, что $h$ перпендикулярен $(ABC )$ . Через $hгр$ обозначим перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на $DC$ .

Пирамида $ABCDE$ является правильной по определению. Тогда её грани равные равнобедренные треугольники и площадь её полной поверхности равна $2 2 a + 4⋅SEDC = a + 2⋅a ⋅hгр$ .

По теореме Пифагора

∘ ------- ∘ -------- 2 a2 3a2 a2 hгр = h + 4 = 4 + 4 = a,

тогда $2 2 2 SABCDE = a + 2a = 3a = 2,4$ , откуда $2 a =0,8$ .

По теореме Пифагора

2 2 ED2 = hгр2+ a-= a2+ a- = 5⋅a2 = 5⋅0,8 = 1, 4 4 4 4

откуда $ED = 1$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2670

В основании пирамиды $SABCD$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ , $AD$ – большее основание. Высота пирамиды падает на отрезок $BC$ . Апофема грани $ASD$ равна $10$ и образует угол $45∘$ с плоскостью трапеции. Найдите объем пирамиды, если средняя линия трапеции равна $9$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $SH$ – высота пирамиды. Проведем $HK ⊥ AD$ . Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах $SK$ (наклонная) также перпендикулярна $AD$ (так как $HK$ – ее проекция на плоскость $ABC$ ). Следовательно, $SK$ и есть апофема грани $ASD$ . Также отсюда следует, что $∠SKH = 45∘$ (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость). Следовательно, $△SHK$ прямоугольный и равнобедренный, значит,

√ -- 10 SH = HK = SK ÷ 2 = √--- 2

По определению получается, что $HK$ также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней линии, то

10 SABCD = 9 ⋅ √-- 2

А значит объем пирамиды равен

V = 1-⋅ 1√0-⋅ 9 ⋅ 1√0-= 150. 3 2 2

Ответ: 150

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#57724

Объем треугольной пирамиды равен 78. Через вершину пирамиды и среднюю линию ее основания проведена плоскость. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

$PIC$

Показать ответ и решение

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия $1 2.$ Тогда площадь отсекаемого треугольника в 4 раза меньше площади исходного треугольника.

Высоты исходной пирамиды и отсеченной, проведенные к плоскости этого треугольника, одинаковы. Следовательно, объем отсеченной пирамиды в 4 раза меньше объема исходной пирамиды:

V = 1 ⋅78 = 19,5 4

Ответ: 19,5