01 Круговое движение

По условию, через минут( часа) после старта первый автомобиль опережал второй на круг, то есть первый за это время проехал больше на км. Пусть скорость второго км/ч, тогда составим уравнение:

км/ч.

По условию, через минут( часа) после старта первый автомобиль опережал второй на круг, то есть первый за это время проехал больше на км. Пусть скорость второго км/ч, тогда составим уравнение:

км/ч.

По условию, через минут( часа) после старта первый автомобиль опережал второй на круг, то есть первый за это время проехал больше на км. Пусть скорость второго км/ч, тогда составим уравнение:

км/ч.

Пусть скорость первого бегуна равна км/ч, тогда скорость второго бегуна равна км/ч.

Через час после старта первый бегун пробежал км, а по условию до конца круга ему осталось км. Значит, длина круга равна км.

По условию второй бегун пробежал первый круг минут назад, следовательно, круг он пробегает за минут. Заметим, что минут — это часа. Тогда можем составить уравнение:

Умножим обе части уравнения на

Значит, скорость первого бегуна равна км/ч.

Пусть скорость первого бегуна равна км/ч, тогда скорость второго бегуна равна км/ч.

Через 1 час после старта первый бегун пробежал км, а по условию до конца круга ему осталось км. Значит, длина круга равна км.

По условию второй бегун пробежал первый круг минут назад, следовательно, круг он пробегает за минуту. Заметим, что минута — это часа. Тогда можем составить уравнение:

Умножим обе части уравнения на

Значит, скорость первого бегуна равна км/ч.

За минут Усейн пробежит метров, в то время как Степан пробежит метров, то есть Степан отстанет от Усейна на метров. Пр этом мы знаем, что он проиграл Усейну круг, то есть длина круга составляет метров.

Обозначим искомое время за секунд. Тогда первый велосипедист проедет за это время кругов, а второй – кругов. Так как они встретятся в месте старта, то каждый из них проедет целое число кругов, следовательно, искомое время должно нацело делиться на и на . Получим, что . Разложим наши числа на простые множители:

Тогда секунд минуты. Это значит, что первый велосипедист проедет круга, а второй круга.

Обозначим искомое время за минут. Занесём данные в таблицу:

По условию, второй должен обогнать первого на 1 круг. Запишем уравнение:

Получим минут

Обозначим скорость велосипедиста за м/мин. Занесём данные в таблицу:

Известно, что спортсмены проходят свой круг за одно и то же время, поэтому запишем и решим уравнение:

Получим, что искомая скорость м/мин км/ч

Обозначим искомое время за с, тогда за это время гонщики проедут, соответственно и метров, то есть и кругов. При этом тренер стоит на одном месте, тогда значения и Тогда получим, что наше числа и должны нацело делиться на Получим, что должно быть кратно При этом не делится нацело на поэтому подберём минимальное подходящее через разложение на простые множители, а потом проверим его делимость на

Как можно заметить, из множителей совпадают только поэтому предполагаем с, при этом это число кратно поэтому оно там подходит.

Получаем, что гонщики встретятся через с мин, то есть часы тренера покажут

Обозначим искомую скорость за км/ч и предположим, что соревнования длились часов. Тогда занесём данные в таблицу:

Теперь, зная, что длина одного круга одинакова, запишем пропорцию:

Найдём скорости мальчиков в кругах/с. Мы знаем, что Коротков пробегает круг за время то есть его скорость кругов/с. За время они суммарно пробежали один круг, то есть тогда скорость Долгова:

Теперь найдём время , за которое Долгов обгонит Короткова на круг, то есть:

Найдём расстояния, которые проехал каждый из автомобилей. Общее время заезда мин часа, при рассчёте расстояний делим время в минутах на , чтобы получить его в часах, так как скорости даны в км/ч.

Теперь найдём, сколько проехал синий гонщик. Один нечётный круг он проезжает за часа, а нечётный за часа. Найдём, сколько целых пар четных и нечётных кругов он успеет проехать.

Получается, за минут соревнований он успеет проехать круга, то есть целых пар кругов, а это км. Теперь посмотрим, сколько у него после этого останется времени: часа. Это значит, что он успеет проехать целый нечётный круг в км за часа, а за оставшееся время проедет часть чётного круга со скоростью км/ч. Получим:

А) Пусть длина круга равна км, тогда времена, за которые пробежали команды:

Сравним эти значения: (так как ), то есть , и выиграла команда

В) Теперь найдём, с какой скоростью должен пробежать всю дистанцию в Рекс, чтобы сравнятся по времени с первой командой:

С) Теперь найдём скорость, при которой Рекс сравняется по времени со второй командой:

Спортсмены встречаются чтобы спортсмены встретились, пройденное ими за одно и то же время расстояние должно отличаться на целое число кругов, то есть на метров, где Найдём число встреч первого и второго, пусть с начала прошло время часов, тогда:

Подставляем скорости, переведённые в м/ч и получаем:

Полное время забега часов, за которые они успеют встретиться раз.

Похожим образом считаем число встреч первого и третьего и второго и третьего спортсмена

Тогда общее число двойных встреч:

Найдём число тройных встреч, время встречи часов, тогда за это время первый пробежит метров, второй – третий – Надо, чтобы все они отличались на целое число кругов, то есть: где – то, на сколько кругов второй отстал от третьего, а – первый от второго. Если поделить, получим, что Тогда число тройных встреч – максимальное число кругов, на которое первый отстанет от второго за время соревнований:

Теперь найдём, число встреч каждого из спортсменов. Так число встреч третьего: раз (вычитаем число тройных встреч, так как они уже учтены в каждом двойных и поэтому посчитаны дважды)

Второго: раз; Первого: раз.

Таким образом, больше всего встреч было у третьего спортсмена.

Целый круг спортсмен проедет за время . Дугу он проедет за время

Пусть искомое время равно часов минут секунд ( ). Часовая стрелка составляет с направлением на часов угол (мы переводим время в секнды и делим на число секунд в часах, так как часовая стрелка двигается постоянно). При этом минутная стрелка составляет с направлением на часов угол (минутная стрелка тоже постоянно двигается, поэтому тоже переводим время в секунды и делим на число секунд в минутах ). Так как нам нужно, чтобы стрелки совпали, приравняет эти углы:

Попробуем найти такие наименьшие подходящие условиям.

Пусть тогда уравнение принимает вид:

Получим, Решение нам не подходит, так как соответствует часам, а мы ищем первое совпадение после него. При выборе либо либо становятся меньше а нам такие решения не подходят, поэтому ищем дальше.

Пусть тогда уравнение принимает вид:

Попробуем найти минимальный Из уравнения мы знаем, что а из условий, что Подставим выражение в неравенство:

Так как – целое, то наименьший подходящий тогда Получим, что первый раз стрелки совпадут в ч мин сек.

Часовая стрелка составляет с направлением на часов угол (мы переводим время в минуты и делим на число минут в часах, так как часовая стрелка двигается постоянно). При этом минутная стрелка составляет с направлением на часов угол Тогда угол между стрелками

Пусть Алиса пробегает круг за минут, Василиса за минут. , так как Алиса обгоняет Василису, а не наоборот. Так как каждые минут одна обгоняет другую, то за это время Алиса пробегает на круг больше Василисы. Скорость Алисы равна кругов/мин, а скорость Василисы кругов/мин. Тогда:

(1)

Пусть Рекс пробегает круг за минут, тогда его скорость равна кругов/мин. Они встречаются каждые минуты, то есть за это время они суммарно пробегают один круг:

(2)

Мы хотим понять, как часто будут встречаться Алиса и Рекс, пусть мин – искомое время:

Выразим через : из ??

Подставим в ?? :

Подставим в наше главное выражение:

Скорость вращения Земли по орбите вокруг Солнца оборотов/день, Марса – оборотов в день. После противостояния следующее настанет через время дней, такое что за него Земля пройдёт ровно на 1 оборот больше Марса, то есть: