Тема Углы

01 Биссектриса

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела углы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#134535

Дан треугольник $IGH.$ $HJ$ - биссектриса угла $IHG.$ Вычисли угол $IHG,$ если $∠GHJ =70∘$

Источники: Якласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Если угол $∠GHJ,$ образуемый биссектрисой и одной из сторон искомого угла равен $70∘,$ то весь искомый угол равен $∘ 70⋅2= 140$

Ответ:

$140∘$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#134537

Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равного $30∘?$

Источники: Геометрия 7 класс. А.В. Погорелов (см. gdz.tutoronline.ru)

Показать ответ и решение

Биссектриса делит угол пополам, значит угол меду биссектрисой и стороной угла равен половине данного угла.

Ответ:

$15∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#134538

Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный $75∘.$

Источники: Геометрия 7 класс. А.В. Погорелов (см. gdz.tutoronline.ru)

Показать ответ и решение

Биссектриса делит угол пополам, значит искомый угол равен удвоенному углу между биссектрисой и стороной искомого угла.

Ответ:

$150∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#134540

Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами углы не больше $90∘.$

Источники: Геометрия 7 класс. А.В. Погорелов (см. gdz.tutoronline.ru)

Показать доказательство

Градусная мера любого угла не больше $180∘.$ Поэтому половина ее не больше $90∘.$ Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#134541

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB = 2$ см, $BC = 3$ см и $AC =3$ см проведена биссектриса $BM.$ Найдите длины отрезков $AM$ и $MC.$

Источники: Свойства биссектрисы угла треугольника. Колпаков Александр Николаевич (см.ankolpakov.ru)

Показать ответ и решение

По первому свойству биссектрисы: $AM-= AB- = 2. AC BC 3$ Вся сторона - $3$ см. Пусть $AM =2x,$ тогда $MC = 3x.$ Так как $AC = AM + AC,$ получаем:

3 2x+ 3x= 3см ⇒ 5x= 3см ⇒ x= 5см= 0,6см.

Осталось найти длины отрезков:

AM = 2x= 2⋅0,6= 1,2см

MC = 3x= 3⋅0,6= 1,8см

Ответ:

$AM =1,2см;$ $MC = 1,8см$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#134542

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD =4$ см и $DC = 6$ см. Найдите стороны $AB$ и $AC,$ если $AB + AC =20$ см.

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

По свойству биссектрисы:

AB BD 4 2 AC-= DC- = 6 = 3

Пусть $AB = 2x,AC =3x.$ Тогда:

2x +3x =20⇒ x =4

Значит, $AB =8;AC = 12$

Ответ:

$AB = 8$ см, $AC = 12$ см

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#134585

В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ проведена биссектриса $BD.$ Докажите, что биссектриса является также медианой и высотой.

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать доказательство

Так как $AB =BC,$ биссектриса $BD$ делит основание $AC$ пополам, значит она медиана.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#134586

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы углов $A$ и $B,$ которые пересекаются в точке $O.$ Угол $AOB = 120∘.$ Найдите угол $C.$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника $AOB :$

∘ ∘ ∘ ∠OAB + ∠OBA = 180− 120 = 60

Так как $AO$ и $BO$ - биссектрисы: $∠A +∠B = 2⋅60∘ = 120∘$

Тогда $∠C = 180∘ − 120∘ = 60∘$

Ответ:

$∠C = 60∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#134587

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BK.$ Известно, что $∠ABC = 70∘.$ Чему равен угол $ABK?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Биссектриса делит угол пополам, поэтому $∠ABK = 70= 35∘ 2$

Ответ:

$ABK =35∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#134588

В треугольнике $ABC$ биссектриса $AL$ делит сторону $BC$ на отрезки $BL =3$ см и $LC = 5$ см. Найдите сторону $AB,$ если $AC =10$ см.

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

По свойству биссектрисы:

AB BL AB 3 AC- =-LC ⇒ 10-= 5 ⇒ AB =6см

Ответ:

$AB = 6$ см

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#134590

В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC )$ биссектриса $BD$ равна $8$ см. Найдите длину основания $AC,$ если периметр треугольника $ABC$ равен $28$ см.

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Пусть $AB = BC = x,AC = y.$

Биссектриса $BD$ является также медианой и высотой, поэтому $y AD = DC = 2.$

По теореме Пифагора для треугольника $ABD :$

2 2 2 2 (y)2 2 AB = AD + BD ⇒ x = 2 + 8.

Периметр:

2x+ y = 28 ⇒ y = 28− 2x

Подставим $y$ в первое уравнение:

( )2 x2 = 28-−2 2x + 64⇒ x =10,y = 8⇒ AC = 8см.

Ответ: AC=8 см

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#134591

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$ угла $B.$ Известно, что $AB = 6,$ $BC = 9.$ Найдите отношение $AD :DC.$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

AD AB 6 2 DC-= BC- = 9 = 3

Ответ: 2:3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#134593

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит сторону $BC$ на отрезки $4$ см и $5$ см. Найдите периметр треугольника, если $AB =8$ см.

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

$1)$ Пусть биссектриса $AL$ делит $BC$ на $BL =4$ см и $LC = 5$ см.

$2)$ По свойству биссектрисы:

AB BL 8 4 8⋅5 AC-= LC-⇒ AC-= 5 ⇒ AC =-4- =10см.

$3)$ Периметр:

P = AB +BC + AC =8 +(4+ 5)+ 10= 27см.

Ответ: 27 см

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#134594

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $80∘.$ Биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O.$ Найдите угол $AOC.$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

$1)$ Сумма углов треугольника $ABC :$

∘ ∘ ∠A+ ∠B +∠C = 180 ⇒ ∠A+ ∠C = 100 .

$2)$ Биссектрисы делят углы пополам в треугольнике $AOC :$

∠A- ∠C- 100∘ ∘ ∠OAC +∠OCA = 2 + 2 = 2 = 50.

$3)$ Тогда угол $AOC :$

∘ ∘ ∘ ∠AOC =180 − 50 =130

Ответ:

$130∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#134595

В треугольнике $ABC$ проведена внешняя биссектриса угла $A,$ которая пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $D.$ Известно, что $AB = 7,AC = 5,BC =8.$ Найдите длину отрезка $CD.$

$ABCD758внешняя биссектриса$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

$1)$ Внешняя биссектриса делит противоположную сторону внешним образом в отношении прилежащих сторон:

BD AB 7 CD-= AC-= 5

$2)$ Пусть $CD =x,$ тогда $BD = BC +CD = 8+ x.$

$3)$ Подставляем в пропорцию

8+x-x= 75 ⇒

⇒ 5(8+x)= 7x⇒ 40+ 5x= 7x⇒ 2x= 40⇒ x= 20

Ответ: CD=20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#134596

В треугольнике $ABC (AB =AC )$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $L.$ Докажите, что:

$1.$ $L$ - середина $BC.$

$2.$ Вписанная окружность касается $BC$ в той же точке $L.$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать доказательство

$1.$ Так как $AB =AC,$ то биссектриса $AL$ является также медианой, следовательно, $BL = LC.$

$2.$ В равнобедренном треугольнике точка касания вписанной окружности с основанием совпадает с серединой основания.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#134597

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD.$ Известно, что $AB =12$ см, $BC = 8$ см, а $AD =6$ см. Найдите длину отрезка $DC.$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

По свойству биссектрисы угла треугольника:

AD AB DC-= BC-

Подставляем известные значения:

6 12 6 3 DC-= 8-⇒ DC- = 2

Находим $DC :$

DC = 6⋅2= 4 3

Ответ: DC=4 см

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#134599

В треугольнике $ABC$ биссектриса $AM$ делит сторону $BC.$ Дано: $AB = 9$ см, $AC = 12$ см. Найдите отношение площадей $SABM- SACM .$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

По свойству биссектрисы:

BM AB 9 3 MC-= AC-= 12 = 4

Площади треугольников с общей высотой относятся как их основания:

S BM 3 SABM-= MC--= 4 ACM

Ответ:

$3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#134600

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $C$ делит $AB$ в отношении $AD-= 2. DB 3$ $AB = 15$ см, $P = 40 ABC$ см. Найдите $AC$ и $BC.$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

$1)$ Пусть $AD = 2x,DB =3x,$ тогда:

2x +3x= 15⇒ x =3⇒ AD =6см,DB =9см.

$2)$ По свойству биссектрисы:

AC- AD- 6 2 BC = DB = 9 = 3

$3)$ Пусть $AC =2k,BC =3k,$ тогда периметр:

2k+ 3k +15= 40⇒ 5k= 25⇒ k =5

$4)$ Стороны:

AC = 2k =10,BC = 3k =15

Ответ:

$AC = 10$ см, $BC = 15$ см

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#134601

В прямоугольном треугольнике $ABC (∠C =90∘)$ биссектриса $CK$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AK = 5$ см, $KB = 10$ см. Найдите катеты $AC$ и $BC.$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

$1)$ По свойству биссектрисы:

AC AK 5 1 BC-= KB-= 10 =2

$2)$ Пусть $AC =x,BC = 2x.$ По теореме Пифагора:

∘ --------- ∘-------- √--- √- AB = AC2 +BC2 = x2 +(2x)2 = 5x2 = x 5

$3)AB = AK +KB =15$ см, поэтому:

√ - √ - x 5= 15 ⇒ x= 1√5-= 3 5 5

$4)$ Катеты:

AC = x= 3√5см,BC = 2x= 6√5см

Ответ:

$AC = 3√5,BC =6√5$