Тема Задачи №15 из ЕГЭ прошлых лет

№15 из ЕГЭ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#113005

Решите неравенство

( 2 ) (x− 7)7 7log12 x − 13x+ 42 ≤ 8+ log12-x-− 6-.

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(x2− 13x+ 42> 0 ||{ |x − 6 ⁄=70 ⇒ x ∈(−∞; 6)∪ (7;+∞ ) |((x−-7)-> 0 x − 6

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство:

( 2 )7 8 (x − 7)7 log12 x − 13x+ 42 − log12 12 − log12-x−-6-≤ 0 ( 2 )7 log -x-−-13x+-42--≤ 0 12 128⋅ (xx−−7)67 7 7 log12 (x−-6)((xx−−7) 77) ≤0 128⋅-x−6-

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

log (x-− 6)8≤ 0 12 128 |x−-6| 8⋅log12 12 ≤ 0 log |x−-6|≤ 0 12 12

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

( ) (12− 1)⋅ |x−-6|− 1 ≤ 0 12 |x−-6|− 12 12 ≤ 0 |x− 6|− 12 ≤0

Раскроем модуль на промежутках знакопостоянства подмодульного выражения.

1) $x− 6 <0 ⇒ −x− 6≤ 0.$ Отсюда $x ∈[−6;6).$

2) $x− 6 ≥0 ⇒ x− 18≤ 0.$ Отсюда $x∈ [6;18].$

Общее решение неравенства с модулем $x ∈[−6;18]$ и после пересечения с ОДЗ получаем

x∈ [− 6;6)∪ (7;18].

Ответ:

$[−6;6)∪(7;18]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#120322

Решите неравенство

---105----- ---22--- (24−x2 − 1)2 − 24−x2 − 1 +1 ≥0.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

Пусть $t= 24− x2.$ Тогда получаем неравенство

--105-- -22- (t− 1)2 − t− 1 +1 ≥ 0 2 105−-22(t−-1)+2-(t−-1)-≥ 0 (t− 1) 105−-22t+-22+-t2−-2t+1- (t− 1)2 ≥ 0 2 t-−-24t+1228 ≥ 0 (t− 1) (t−-8)(t−-16) (t− 1)2 ≥ 0

По методу интервалов получаем:

$t181++−+6$

Таким образом,

⌊ |t≥ 16 ⌈t≤ 8 t⁄= 1

Сделаем обратную замену:

⌊24−x2 ≥ 16 ⌊4 − x2 ≥4 ⌊x2 ≤0 |⌈24−x2 ≤ 8 ⇔ |⌈4 − x2 ≤3 ⇔ |⌈x2 ≥1 24−x2 ⁄= 1 4 − x2 ⁄=0 x2 ⁄=4

Значит,

2 x ∈ {0} ∪[1;4)∪ (4;+ ∞).

Следовательно,

x ∈(−∞; −2)∪ (− 2;− 1]∪{0}∪ [1;2)∪(2;+∞ ).

Ответ:

$(− ∞;− 2)∪ (−2;−1]∪{0}∪ [1;2)∪ (2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#120323

Решите неравенство

----52----- ---28--- (33−x2 − 1)2 − 33−x2 − 1 +1 ≥0.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

Пусть $t= 33− x2.$ Тогда получаем неравенство

--52-- -28- (t− 1)2 − t− 1 +1 ≥ 0 2 52−-28(t− 1)+2(t−-1) ≥0 (t− 1) 52−-28t+-28+-t2-− 2t+-1 (t− 1)2 ≥0 2 t−-30t+281≥ 0 (t− 1) (t−-3)(t−-27) (t− 1)2 ≥ 0

По методу интервалов получаем:

$t132++−+7$

Таким образом,

⌊ |t≥ 27 ⌈t≤ 3 t⁄= 1

Сделаем обратную замену:

⌊33−x2 ≥ 27 ⌊3 − x2 ≥3 ⌊x2 ≤0 |⌈33−x2 ≤ 3 ⇔ |⌈3 − x2 ≤1 ⇔ |⌈x2 ≥2 33−x2 ⁄= 1 3 − x2 ⁄=0 x2 ⁄=3

Значит,

2 x ∈ {0} ∪[2;3)∪ (3;+ ∞).

Следовательно,

( √-) ( √ - √-] [√- √-) (√ - ) x ∈ − ∞;− 3 ∪ − 3;− 2 ∪{0}∪ 2; 3 ∪ 3;+ ∞ .

Ответ:

$( √-) ( √- √ -] [√- √-) (√- ) − ∞;− 3 ∪ − 3;− 2 ∪{0} ∪ 2; 3 ∪ 3;+∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2