№15 из ЕГЭ 2025 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125978

Решите неравенство

23x− 2⋅4x+1+ 5⋅2x+2− 16 ---------x-− 1---------≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

23x− 2⋅4x+1+ 5⋅2x+2− 16 = x3 x 2 x = (2 ) − 8 ⋅(2 ) + 20⋅2 − 16.

Пусть $t= 2x.$ Тогда получим

x 3 x2 x (2 ) − 8⋅(2) + 20⋅2 − 16= =t3− 8⋅t2+ 20⋅t− 16.

Убедимся в том, что $t= 2$ является корнем этого кубического многочлена:

23− 8 ⋅22+ 20⋅2 − 16 = = 8− 32+ 40− 16= 0.

Поделим многочлен $t3− 8t2+ 20t− 16$ столбиком на $t− 2:$

3 2 | t3− 8t2 + 20t − 16 t−2-2---- t-−-2t2------ t − 6t+8 −− 66tt2 ++ 210t2t --------8t-− 16 8t − 16 --------0-

Таким образом,

t3− 8t2+ 20t− 16= (2 ) = (t− 2) t2− 6t+ 8 = =(t− 2)(t− 4).

Сделаем обратную замену, тогда неравенство примет следующий вид:

x 2 x (2-− 2)-(2-−-4)≥ 0 x− 1 (2x − 21)2(2x− 22) ------x−-1------≥ 0

По методу рационализации:

2 ((2-− 1)(x−-1))-((2-−-1)(x−-2))-≥ 0 x− 1 1⋅(x−-1)2⋅1⋅(x-−-2)- x− 1 ≥ 0 2 (x-− 1)-(x−-2)≥ 0 x− 1

По методу интервалов:

$x12−++$

Получаем ответ:

x ∈(−∞; 1)∪[2;+∞ ).

Ответ:

$(−∞; 1)∪[2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125981

Решите неравенство

27x− 3⋅9x+1 +3x+5− 729 ----50x2+-10x-+-0,5---- ≤0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, используя формулу куба разности:

27x− 3⋅9x+1 +3x+5− 729= x3 x 1 x 5 3 = (3 ) − 3 ⋅9 ⋅9 +3 ⋅3 − 9 = = (3x)3− 3⋅(3x)2⋅9+ 3⋅3x⋅92− 93 = = (3x− 9)3 =(3x− 32)3.

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе, используя формулу квадрата суммы:

50x2+ 10x +0,5= ( 1) = 2 ⋅ 25x2 +5x + 4 = ( ( )2) = 2⋅ (5x)2+ 5x+ 1 = 2 ( 1)2 = 2 ⋅ 5x+ 2 .

Перепишем неравенство:

( ) --3x−-32-3- ( 1)2 ≤0. 2⋅ 5x + 2

Используем метод рационализации:

(3-−-1)3⋅(x−-2)3 ( 1)2 ≤ 0 2⋅ 5x + 2 3 4(-⋅(x-− 2))2 ≤0 5x + 1 2 (x − 2)3 (-----1)2 ≤0 5x + 2

По методу интервалов:

$x−2−−+ 0,1$

Получаем ответ:

x∈ (− ∞;− 0,1)∪ (− 0,1;2].

Ответ:

$(− ∞;− 0,1)∪(−0,1;2]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125983

Решите неравенство

27x+1 − 3 ⋅9x+1+ 3x+2− 1 ---50x2+-50x+-12,5---- ≥0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, используя формулу куба разности:

27x+1 − 3 ⋅9x+1+ 3x+2− 1= (x+1)3 ( x+1)2 x+1 2 3 = 3 − 3⋅ 3 ⋅1+ 3⋅3 ⋅1 − 1 = = (3x+1− 1)3 =(3x+1− 30)3 .

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе, используя формулу квадрата суммы:

50x2+ 50x+ 12,5 = = 12,5⋅(4x2 +4x +1) = 2 = 12,5 ⋅(2x+ 1) .

Перепишем неравенство:

( x+1 0)3 -3---−-3----≥ 0. 12,5⋅(2x+ 1)2

Используем метод рационализации:

(3−-1)3⋅(x-+1-−-0)3 12,5⋅(2x+ 1)2 ≥0 3 -8-⋅(x-+1)--2 ≥ 0 12,5⋅(2x+ 1) (x-+1)3-≥ 0 (2x+ 1)2

По методу интервалов:

$1 x−−+−+ 12$

Получаем ответ:

[ ) ( ) x∈ −1;− 1 ∪ − 1;+ ∞ . 2 2

Ответ:

$[ ) ( ) − 1;− 1 ∪ − 1;+ ∞ 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125984

Решите неравенство

27x+1 − 3 ⋅9x+1+ 3x+2− 1 ---50x2−-50x+-12,5---- ≥0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, используя формулу куба разности:

27x+1 − 3 ⋅9x+1+ 3x+2− 1= (x+1)3 ( x+1)2 x+1 2 3 = 3 − 3⋅ 3 ⋅1+ 3⋅3 ⋅1 − 1 = = (3x+1− 1)3 = (3x+1 − 30)3

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе, используя формулу квадрата разности:

50x2− 50x+ 12,5 = = 12,5⋅(4x2 − 4x +1) = 2 = 12,5⋅(2x − 1)

Перепишем неравенство:

( x+1 0)3 -3---−-3----≥ 0. 12,5⋅(2x− 1)2

Используем метод рационализации:

(3−-1)3⋅(x-+1-−-0)3 12,5⋅(2x− 1)2 ≥0 -8-⋅(x-+1)3-- 12,5⋅(2x− 1)2 ≥ 0 (x +1)3 (2x−-1)2-≥ 0

По методу интервалов:

$x−1+−+ 1 2$

Получаем ответ:

[ 1) (1 ) x∈ −1;2 ∪ 2;+∞ .

Ответ:

$[ ) ( ) − 1; 1 ∪ 1;+∞ 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125986

Решите неравенство

27x− 9x+1+ 3x+3− 27 --50x2−-110x-+-60,5- ≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, используя формулу куба разности:

27x− 9x+1+ 3x+3 − 27 = x 3 x 2 x 2 3 = (3 ) − 3⋅(3) ⋅3+( 3⋅3 ⋅3) − 3 = = (3x− 3)3 = 3x− 31 3.

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе, используя формулу квадрата разности:

50x2− 110x +60,5= ( ( )2) = 50⋅ x2− 22⋅x+ 11 = 10 10 ( )2 = 50⋅ x − 11- . 10

Перепишем неравенство:

( x 1)3 ---3(-−-3--)2 ≥ 0. 50 ⋅ x− 11 10

Используем метод рационализации:

(3-−-1)3⋅(x−-1)3 ( 11)2 ≥ 0 50⋅ x− 10 3 -8-⋅((x-− 1))2-≥ 0 50⋅ x− 11 10 (x − 1)3 (------)2 ≥0 x − 11 10

По методу интервалов:

$x11+−+1 10$

Получаем ответ:

[ ) ( ) x∈ 1; 11 ∪ 11-;+ ∞ . 10 10

Ответ:

$[ ) ( ) 1; 11 ∪ 11;+∞ 10 10$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125988

Решите неравенство

27x3 +9x2− 3x− 1 -64x2 −-4-⋅8x2 +-4-≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

27x3+ 9x2− 3x− 1= 2 =9x (3x+ 1)(− (3x +1))= = (3x +1)⋅ 9x2− 1 = = (3x+ 1)2⋅(3x − 1).

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

64x2 − 4⋅8x2 + 4= ( )2 2 = 82 x − 2 ⋅8x ⋅2 +22 = ( x2)2 x2 2 ( x2 )2 = 8 − 2⋅8 ⋅2+ 2 = 8 − 2 .

Перепишем неравенство:

2 (3x+(-1)⋅(3x)−-1)≥ 0. 8x2 − 2 2

Так как $( x2 )2 8 − 2 ≥ 0,$ то неравенство равносильно системе:

( { (3x+ 1)2 ⋅(3x− 1)≥ 0 ( ( x2 )2 8 − 2 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

$1 1 x−3−−+ 3$

Получим, что

{ } [ ) x∈ − 1 ∪ 1 ;+ ∞ . 3 3

Решим второе неравенство системы:

( ) 8x2 − 2 2 ⁄= 0 2 8x − 2 ⁄= 0 8x2 ⁄= 2 3x2 1 2 ⁄= 2 3x2 ⁄= 1 1 x2 ⁄= 3 x ⁄= ±√1- 3

Тогда система примет вид:

( { 1} [ 1 ) ||{ x∈ − 3 ∪ 3;+ ∞ | 1 |( x⁄= ± √-- 3

Получаем ответ:

{ 1 } [1 √3-) (√3 ) x ∈ −3 ∪ 3;-3- ∪ -3-;+∞ .

Ответ:

${ } [ √ -) (√ - ) − 1 ∪ 1;--3 ∪ --3;+∞ 3 3 3 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#125989

Решите неравенство

8x3+ 4x2− 2x− 1 -81x2 −-6-⋅9x2 +-9-≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

8x3+ 4x2− 2x − 1= 2 =4x (2x+ 1)(− (2x +1))= = (2x +1)⋅ 4x2− 1 = = (2x+ 1)2⋅(2x − 1).

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

81x2 − 6⋅9x2 + 9= ( ) 2 2 = 92 x − 6⋅9x + 9= ( x2)2 x2 2 ( x2 )2 = 9 − 2⋅9 ⋅3+ 3 = 9 − 3 .

Перепишем неравенство:

2 (2x+(-1)⋅(2x)−-1)≥ 0. 9x2 − 3 2

Так как $( x2 )2 9 − 3 ≥ 0,$ то неравенство равносильно системе:

( { (2x+ 1)2 ⋅(2x− 1)≥ 0 ( x2 )2 ( 9 − 3 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

$x−1−−+ 1 2 2$

Получим, что

{ } [ ) x∈ − 1 ∪ 1 ;+ ∞ . 2 2

Решим второе неравенство системы:

( ) 9x2 − 3 2 ⁄= 0 2 9x − 3 ⁄= 0 9x2 ⁄= 3 2x2 1 3 ⁄= 3 2x2 ⁄= 1 1 x2 ⁄= 2 x ⁄= ±√1- 2

Тогда система примет вид:

( { 1} [ 1 ) |{ x∈ − 2 ∪ 2;+ ∞ | -1- ( x⁄= ± √2

Получаем ответ:

√ - √ - { 1 } [1 --2) (--2 ) x ∈ −2 ∪ 2; 2 ∪ 2 ;+∞ .

Ответ:

$[ ) ( ) { } 1;√1- ∪ √1-;+∞ ∪ − 1 2 2 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125990

Решите неравенство

x3 − x2− x +1 4x2 −-16⋅2x2 +-64 ≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Рассмотрим числитель дроби:

x3− x2− x+ 1= x2(x − 1)− (x− 1)= 2 2 = (x − 1)⋅(x− 1)= (x− 1) ⋅(x +1).

Рассмотрим знаменатель дроби:

2 2 4x − 16⋅2x + 64 = = (22)x2 − 2 ⋅2x2 ⋅8 +82 = = (2x2)2− 2⋅2x2 ⋅8+ 82 = (2x2 − 8)2 .

Сделаем полученные замены в исходном неравенстве:

2 (x−(1x)2-⋅(x)+21) ≤ 0 2 − 8

Сделаем замену $8 = 23$ в знаменателе:

(x−-1)2⋅(x-+1) (2x2 − 23)2 ≤ 0

Решим данное неравенство методом рационализации:

(x−-1)2⋅(x-+1)- ((2− 1)(x2− 3))2 ≤ 0 (x−-1)2⋅(x-+1) (x2− 3)2 ≤ 0

Воспользуемся формулой разности квадратов для знаменателя:

( 2 )2 ( 2 (√ )2)2 x − 3 = x − 3 = (( √-) ( √-))2 ( √-)2( √ -)2 = x− 3 ⋅ x+ 3 = x − 3 x + 3

Получим неравенство:

2 ((x−√-1))2⋅((x-+1√))2 ≤ 0 x − 3 x+ 3

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

$√√ - x−−1−−+++13 3$

Таким образом,

( √ -) ( √- ] x∈ −∞; − 3 ∪ − 3;− 1 ∪{1}.

Ответ:

$( √-) ( √- ] − ∞;− 3 ∪ − 3;−1 ∪ {1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#125991

Решите неравенство

x3 − x2− x +1 9x2 −-18⋅3x2 +-81 ≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

x3− x2− x+ 1= x2(x − 1)− (x− 1)= (2 ) 2 = (x − 1)x − 1 = (x− 1)(x +1).

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

2 2 9x − 18⋅3x + 81 = = (3x2)2− 2⋅(3x2) ⋅9+ 92 = ( ) = 3x2 − 9 2.

Перепишем неравенство:

(x− 1)2⋅(x+ 1) --(-x2---)2--≤ 0. 3 − 9

Так как $(3x2 − 9)2 ≥ 0,$ то неравенство равносильно системе:

( { (x− 1)2 ⋅(x+ 1)≤ 0 ( x2 )2 ( 3 − 9 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

$x−1−++ 1$

Получим, что

x ∈ (− ∞;−1]∪ {1}.

Решим второе неравенство системы:

( ) 3x2 − 9 2 ⁄= 0 2 3x − 9 ⁄= 0 3x2 ⁄= 32 2 x ⁄=√2- x⁄= ± 2

Тогда система примет вид:

{ x ∈(−√∞;−1]∪ {1} x ⁄= ± 2

Получаем ответ:

( √ -) ( √ - ] x∈ −∞; − 2 ∪ − 2;− 1 ∪{1}.

Ответ:

$( √-) ( √- ] − ∞;− 2 ∪ − 2;−1 ∪ {1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#125992

Решите неравенство

---2-- ---3--- 2x +10 ≤ 2x+1− 1.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

---2-- ---3--- 2x+ 10 ≤ 2⋅2x− 1.

Сделаем замену $x t =2 .$

Тогда неравенство примет вид:

--2-- ≤ -3--- t+ 10 2t− 1 --2--− --3--≤ 0 t+ 10 2t− 1 2-(2t−-1)−-3(t+10) (t+ 10)(2t− 1) ≤ 0 4t−-2−-3t−-30≤ 0 (t+ 10)(2t− 1) ---t−-32----≤ 0 (t+ 10)(2t− 1)

По методу интервалов:

$x−123−+−+210$

Получаем, что

( ] t∈ (−∞; −10)∪ 1;32 . 2

Сделаем обратную замену:

⌊ 2x <− 10 ⌈ 1 x 2 < 2 ≤ 32 [ x−∈1∅ x 5 2 < 2 ≤2 − 1< x≤ 5

Получаем ответ:

x∈ (−1;5].

Ответ:

$(−1;5]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#125993

Решите неравенство

33x − 29 ⋅32x+ 55⋅3x− 27 ----------x-----------≥0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

33x − 29 ⋅32x+ 55⋅3x− 27= x 3 x2 x = (3) − 29⋅(3) + 55⋅3 − 27.

Пусть $t= 3x.$ Тогда получим

x3 x 2 x (3 ) − 29 ⋅(3 ) +55 ⋅3 − 27 = = t3− 29 ⋅t2+ 55⋅t− 27.

Убедимся в том, что $t= 1$ является корнем этого кубического многочлена:

13− 29⋅12+ 55⋅1− 27= = 1− 29+ 55− 27= 0.

Поделим многочлен $t3− 29t2+ 55t− 27$ столбиком на $t− 1:$

3 2 | t3 − 292t + 55t − 27|t2− 1----- t-−-t-2------ t− 28t+ 27 −− 2828tt2+ + 5258tt --------27t −-27 27t − 27 --------0-

Таким образом,

t3− 29t2+ 55t− 27= (2 ) = (t− 1)⋅t − 28t+ 27 = = (t− 1)(t− 27)(t− 1) = = (t− 1)2(t − 27).

Сделаем обратную замену, тогда неравенство примет следующий вид:

(3x−-1)2(3x-− 27)≥ 0 x (3x − 30)2(3x− 33) -------x--------≥ 0

По методу рационализации:

2 ((3-− 1)(x−-0))-((3-−-1)(x−-3))-≥ 0 x 4⋅x2-⋅2-⋅(x-− 3) x ≥0 x2(x − 3) ---x----≥ 0

По методу интервалов:

$x03−++$

Получаем ответ:

x ∈(−∞; 0)∪[3;+∞ ).

Ответ:

$(− ∞;0)∪ [3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126152

Решите неравенство

9⋅27x− 3⋅9x+1 +3x+3− 9 ---50x2−-90x+-40,5-----≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, используя формулу куба разности:

9⋅27x − 3⋅9x+1 +3x+3− 9= x 3 x 2 x = 9(⋅(3 ) − 3⋅(3 ) ⋅9+ 3⋅3 ⋅9− 9 =) =9 ⋅ (3x)3− 3⋅(3x)2⋅1+ 3⋅3x⋅12− 13 = x 3 (x 0)3 = 9⋅(3 − 1) =9 ⋅3 − 3 .

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе, используя формулу квадрата разности:

2 50(x − 90x+ 40,5 = ) = 0,5 ⋅100x2− 180⋅x+ 81 = = 0,5 ⋅(10x− 9)2.

Перепишем неравенство:

9(3x− 30)3 0,5⋅(10x−-9)2 ≥ 0 ( ) 3x-− 30-3- (10x− 9)2 ≥ 0

Используем метод рационализации:

(3 − 1)3⋅(x− 0)3 ----------2---≥ 0 (10x− 9) --8x3--- (10x− 9)2 ≥ 0 3 ---x---2 ≥ 0 (10x− 9)

По методу интервалов:

$-9 x01+−+0$

Получаем ответ:

[ ) ( ) x∈ 0; 9 ∪ 9-;+ ∞ . 10 10

Ответ:

$[ ) ( ) 0;-9 ∪ -9;+∞ 10 10$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126192

Решите неравенство

27x+1− 9x+2+ 3x+4 − 27 ---50x2+-70x+-24,5--- ≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, используя формулу куба разности:

27x+1− 9x+2+ 3x+4 − 27 = x 3 x 2 x = 27 ⋅((3 ) − 27⋅(3 ) ⋅3+ 27⋅3 ⋅3− 27)= = 27⋅ (3x)3− 3⋅(3x)2 ⋅1+ 3⋅3x⋅12− 13 = x 3 ( x 0)3 = 27⋅(3 − 1) =27 ⋅3 − 3 .

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе, используя формулу квадрата суммы:

2 50(x + 70x+ 24,5 = ) = 0,5 ⋅100x2+ 140⋅x+ 49 = = 0,5⋅(10x +7)2

Перепишем неравенство:

27⋅(3x− 30)3 0,5⋅(10x+-7)2 ≤ 0 ( ) 3x-− 30-3- (10x+ 7)2 ≤ 0

Используем метод рационализации:

(3− 1)3(x − 0)3 ----------2--≤ 0 (10x+ 7) --8x3--- (10x+ 7)2 ≤ 0 3 ---x---2 ≤ 0 (10x+ 7)

По методу интервалов:

$7- x−0−−+ 10$

Получаем ответ:

( ) ( ] x ∈ −∞; −-7 ∪ − 7-;0 . 10 10

Ответ:

$( ) ( ] −∞; −-7 ∪ −-7;0 10 10$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126193

Решите неравенство

x3 +x2− x − 1 4x2-− 8-⋅2x2 +-16-≥0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

x3+ x2− x − 1= x2(x+ 1)− (x +1)= (2 ) 2 = (x+ 1)⋅x − 1 =(x+ 1) ⋅(x− 1)

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

2 2 4x − 8 ⋅2x + 16= = (2x2)2− 2⋅(2x2) ⋅4+ 42 = ( ) = 2x2 − 4 2

Перепишем неравенство:

(x+ 1)2⋅(x− 1) --(-x2---)2--≥ 0. 2 − 4

Так как $(2x2 − 4)2 ≥ 0,$ то неравенство равносильно системе:

( { (x+ 1)2 ⋅(x− 1)≥ 0 ( x2 )2 ( 2 − 4 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

$x−1−−+ 1$

Получим, что

x ∈{− 1}∪[1;+∞ ).

Решим второе неравенство системы:

( ) 2x2 − 4 2 ⁄= 0 2 2x − 4 ⁄= 0 2x2 ⁄= 22 2 x ⁄=√2- x⁄= ± 2

Тогда система примет вид:

{ x ∈{−√1}∪[1;+∞ ) x ⁄= ± 2

Получаем ответ:

[ √-) (√ - ) x ∈{− 1} ∪ 1; 2 ∪ 2;+ ∞ .

Ответ:

$[ √-) (√- ) {− 1} ∪ 1; 2 ∪ 2;+∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126194

Решите неравенство

3⋅27x− 9x+1 +3x+2− 3 ---50x2−-30x-+-4,5----≥0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, используя формулу куба разности:

3⋅27x− 9x+1 +3x+2− 3= x 3 x 2 x =(3 ⋅(3 ) − 9⋅(3) + 9⋅3 − 3= ) =3 ⋅ (3x)3− 3⋅(3x)2⋅1+ 3⋅3x⋅12− 13 = x 3 (x 0)3 = 3⋅(3 − 1) =3 ⋅3 − 3 .

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе, используя формулу квадрата разности:

2 50(x − 30x +4,5= ) = 0,5⋅ 100x2− 60⋅x+ 9 = = 0,5 ⋅(10x− 3)2.

Перепишем неравенство:

3 ⋅(3x − 30)3 0,5⋅(10x−-3)2 ≥ 0 ( ) 3x-− 30-3- (10x− 3)2 ≥ 0

Используем метод рационализации:

(3− 1)3(x − 0)3 ----------2--≥ 0 (10x− 3) --8x3--- (10x− 3)2 ≥ 0 3 ---x---2 ≥ 0 (10x− 3)

По методу интервалов:

$-3 x01+−+0$

Получаем ответ:

[ ) ( ) x∈ 0; 3 ∪ 3-;+ ∞ . 10 10

Ответ:

$[ ) ( ) 0;-3 ∪ -3;+∞ 10 10$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#126195

Решите неравенство

23x− 10⋅22x+ 17 ⋅2x − 8 ----------x----------≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

23x− 10⋅22x +17 ⋅2x − 8 = x3 x 2 x = (2 ) − 10 ⋅(2 ) + 17 ⋅2 − 8.

Пусть $t= 2x.$ Тогда получим

x 3 x 2 x (2 ) − 10⋅(2) + 17⋅2 − 8= =t3− 10⋅t2+ 17 ⋅t− 8.

Убедимся в том, что $t= 1$ является корнем этого кубического многочлена:

13− 10⋅12+ 17⋅1− 8 = =1 − 10 +17− 8 =0.

Поделим многочлен $t3− 10t2+ 17t− 8$ столбиком на $t− 1:$

3 2 | t3− 102t + 17t − 8 t−2-1---- t-−-t-2------ t − 9t+8 −− 99tt2 ++179tt --------8t-− 8 8t − 8 -------0-

Таким образом,

t3− 10t2+ 17t− 8= (2 ) = (t− 1) t − 9t+ 8 = = (t− 1)(t− 1)(t− 8)= =(t− 1)2(t− 8).

Сделаем обратную замену, тогда неравенство примет следующий вид:

(2x-− 1)2(2x−-8)≤ 0 x (2x − 20)2(2x− 23) -------x--------≤ 0

По методу рационализации:

2 ((2-− 1)(x−-0))-((2-−-1)(x−-3))-≤ 0 x 1⋅x2-⋅1-⋅(x-− 3) x ≤0 x2(x − 3) ---x----≤ 0

По методу интервалов:

$x03−++$

Получаем ответ:

x ∈(0;3].

Ответ:

$(0;3]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#127060

Решите неравенство

23x− 10⋅22x+ 17 ⋅2x − 8 ----------x----------≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

3x 2x x x 3 x 2 x 2 − 10⋅2 +17 ⋅2 − 8 = (2 ) − 10⋅(2 ) + 17⋅2 − 8.

Пусть $t= 2x.$ Тогда получим

x 3 x 2 x 3 2 (2 ) − 10⋅(2) + 17⋅2 − 8= t − 10⋅t +17 ⋅t− 8.

Убедимся в том, что $t= 1$ является корнем этого кубического многочлена:

3 2 1 − 10⋅1 + 17⋅1− 8 = =1 − 10 +17− 8 =0.

Поделим многочлен $3 2 t− 10t + 17t− 8$ столбиком на $t− 1:$

3 2 | t3− 102t + 17t − 8 t−2-1---- t-−-t-2------ t − 9t+8 −− 99tt2 ++179tt --------8t-− 8 8t − 8 -------0-

Таким образом,

t3− 10t2+ 17t− 8= (2 ) = (t− 1) t − 9t+ 8 = = (t− 1)(t− 1)(t− 8)= =(t− 1)2(t− 8).

Сделаем обратную замену, тогда неравенство примет следующий вид:

(2x-− 1)2(2x−-8)≥ 0 x (2x − 20)2(2x− 23) -------x--------≥ 0

По методу рационализации:

2 ((2-− 1)(x−-0))-((2-−-1)(x−-3))-≥ 0 x 12⋅x2⋅1⋅(x−-3) x ≥ 0 x2(x − 3) ---x----≥ 0

По методу интервалов:

$x03−++$

Получаем ответ:

x ∈(− ∞;0)∪ [3;+∞ ).

Ответ:

$(−∞; 0)∪[3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#127061

Решите неравенство

23x− 9⋅4x+ 3⋅2x+3− 16 --------x-− 2--------≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

3x x x+3 x 3 x2 x 2 − 9⋅4 + 3⋅2 − 16= (2) − 9⋅(2 )+ 24⋅2 − 16.

Пусть $t= 2x.$ Тогда получим

x 3 x2 x 3 2 (2 ) − 9⋅(2) + 24⋅2 − 16= t − 9⋅t +24 ⋅t− 16.

Убедимся в том, что $t= 1$ является корнем этого кубического многочлена:

3 2 1 − 9 ⋅1 + 24⋅1 − 16 = =1 − 9 +24 − 16 =0.

Поделим многочлен $3 2 t− 9t + 24t− 16$ столбиком на $t− 1:$

3 2 | t3 − 9t2+ 24t − 16|t2− 1--- t--− t2----- t− 8t+ 16 −− 8 8tt2++248tt -------16t −-16 16t − 16 --------0-

Таким образом,

t3− 9t2+ 24t− 16= (2 ) = (t− 1)t − 8t+216 = =(t− 1)(t− 4).

Сделаем обратную замену, тогда неравенство примет следующий вид:

x x 2 (2-− 1)(2-−-4)-≥ 0 x− 2 (2x − 20)(2x− 22)2 ------x−-2------≥ 0

По методу рационализации:

2 ((2-− 1)(x−-0))((2−-1)(x−-2))-≥ 0 x− 2 1⋅x⋅12⋅(x−-2)2 x− 2 ≥ 0 2 x(x−-2)-≥ 0 x− 2

По методу интервалов:

$x02−++$

Получаем ответ:

x ∈(−∞; 0]∪(2;+∞ ).

Ответ:

$(−∞; 0]∪(2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#127062

Решите неравенство

(2x)3− (2x)2− 2x+ 1 --16x2 −-4-⋅4x2 +-4-≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

(2x)3− (2x)2− 2x+ 1= 2 = (2x) (2x − 1)( − (2x−)1)= = (2x− 1)⋅(2x)2− 1 = = (2x− 1)2⋅(2x + 1).

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

16x2 − 4⋅4x2 + 4= ( ) 2 2 = 42 x − 4⋅4x + 4= ( x2)2 x2 2 ( x2 )2 = 4 − 2⋅4 ⋅2+ 2 = 4 − 2 .

Перепишем неравенство:

2 (2x−(-1)⋅(2x)+-1)≤ 0. 4x2 − 2 2

Так как $( x2 )2 4 − 2 ≥ 0,$ то неравенство равносильно системе:

( { (2x− 1)2 ⋅(2x+ 1)≤ 0 ( x2 )2 ( 4 − 2 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

$x−1+−+ 1 2 2$

Получим, что

( ] { } x∈ − ∞;− 1 ∪ 1 . 2 2

Решим второе неравенство системы:

( ) 4x2 − 2 2 ⁄= 0 2 4x − 2 ⁄= 0 4x2 ⁄= 2 2x2 1 2 ⁄= 2 2x2 ⁄= 1 1 x2 ⁄= 2 x ⁄= ±√1- 2

Тогда система примет вид:

( ( 1] {1 } |{ x∈ − ∞;− 2 ∪ 2 | -1- ( x⁄= ± √2

Получаем ответ:

√- √- ( -2-) ( -2- 1] {1} x∈ − ∞;− 2 ∪ − 2 ;− 2 ∪ 2 .

Ответ:

$( √ -) ( √ - ] { } −∞; −--2 ∪ − --2;− 1 ∪ 1 2 2 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#126227

Решите неравенство

( 2 ) (x− 3)7 7log3 x − 7x + 12 ≤ 8+ log3-x-− 4-.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 26.05, Центр

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(| x2− 7x+ 12> 0 ||{ x− 4 ⁄=0 |||( (x−-3)7> 0 x − 4 x∈ (−∞;3)∪ (4;+ ∞)

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство:

( 2 )7 8 (x-− 3)7 log3 x − 7x +12 − log33 − log3 x− 4 ≤ 0 ( 2 )7 log3-x-−-7x+-172--≤ 0 38⋅ (xx−−34)- 7 7 log3 (x−-3)((xx−−3)74)-≤ 0 38⋅ x−4--

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

log (x−-4)8≤ 0 3 38 |x-− 4| 8⋅log3 3 ≤0 |x − 4| log3 --3--≤ 0

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

( ) (3 − 1)⋅ |x-− 4|− 1 ≤ 0 3 |x− 4|− 3 ---3----≤ 0 |x− 4|≤3 − 3≤ x− 4≤ 3 1 ≤ x≤ 7

Пересекая с ОДЗ, получаем

x∈ [1;3)∪(4;7].

Ответ:

$[1;3)∪ (4;7]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».