№19 из ЕГЭ 2025

а) Рассмотрим пример: изначально на доске было 19 чисел 45 и одно число 6. Среднее арифметическое этих чисел равно

Если мы уменьшим числа на 1, то с доски будет стерто одно число 5 и останется 19 чисел 44. Среднее арифметическое станет

б) Так как среднее арифметические чисел было равно 32, то сумма чисел на доске была равна:

Пусть было стёрто чисел. Тогда на доске осталось чисел. Так как среднее арифметическое чисел стало 39, то их сумма стала равна:

Поймем, из-за чего могла меняться сумма:

– из оставшихся чисел вычли по 1, то есть вычли

– число 6 стало равно 5 и его стерли, то есть вычли

Таким образом,

Значит, получили противоречие, ведь — целое число.

Следовательно, новое среднее арифметическое не могло равняться 39.

в) Пусть — количество чисел, которые были уменьшены на 1 и в результате стёрты (то есть изначально равнялись 6, а после уменьшения стали равны 5).

Тогда на доске осталось чисел. Новая сумма равна

Так как все числа на доске после уменьшения не превосходят 44, то максимальное значение, которое могут принять числа, равно 44. Получим ограничение на новую сумму:

Новое среднее арифметическое:

Среднее арифметическое возрастает при возрастании поскольку знаменатель дроби уменьшается.

Следовательно, максимальное среднее арифметическое достигается при максимальном

Приведем пример. Пусть на доске написано 6 чисел 6, 13 чисел 45 и одно число 19. Начальное среднее арифметическое чисел равно:

После того, как все числа уменьшили на 1, все 6 чисел 6 становятся равными 5 и стираются. На доске остаются 13 чисел 44 и одно число 18.

Среднее арифметическое чисел станет равно:

а) Если число после деления на 2 убрали с доски, то изначально это было число 9. Пусть чисел 9 было штук. Попробуем построить пример, в котором все остальные числа равны В таком случае среднее арифметическое все оставшихся чисел будет равно

Среднее арифметическое оставшихся чисел должно быть больше 18, поэтому Тогда имеем уравнение:

Мы хотим, чтобы был натуральным числом. Числитель точно делится на 30, поэтому сделаем знаменатель по модулю равным 30, выбрав Тогда

Таким образом, получаем пример, подходящий под условие: двадцать четыре «9» и шесть «39».

б) Пусть «9» изначально было других чисел а сумма чисел без «9» равна тогда

Предположим, что такое возможно. Пусть среднее арифметическое чисел, оставшихся доске, будет равно Тогда имеем:

Решим двойное неравенство

Начнём с

Если то

Пересекая полученные множества решений, получаем

Значит, это невозможно, так как — натуральное число.

в) Заметим, что максимальное число, которое могло бы быть записано на доске, это 48. Поэтому получаем:

Далее имеем:

Тогда максимальное значение достигается при

Построим пример. Возьмем двадцать пять «9» и пять «45».

Тогда изначальное среднее арифметическое равно

При этом имеем:

а) Рассмотрим пример: изначально на доске было 19 единиц и одно число 40. Среднее арифметическое этих чисел равно

Если мы увеличим только число 40 на 1, то оно станет равным 41 и будет стёрто с доски. На доске останется 19 единиц с новым средним арифметическим

Таким образом, среднее арифметическое уменьшилось с 2,95 до 1.

б) Так как среднее арифметические чисел было равно 14, то сумма чисел на доске была равна:

Пусть было стёрто чисел. Тогда на доске осталось чисел. Так как среднее арифметическое чисел стало 7, то их сумма стала равна:

Поймем, из-за чего могла меняться сумма:

– к числам из оставшихся прибавили по 1, то есть прибавили при этом

– число 40 стало равно 41 и его стерли, то есть вычли

Таким образом,

Если то

Значит, получили противоречие, ведь

Если то

Значит, получили противоречие, ведь

Следовательно, новое среднее арифметическое не могло равняться 7.

в) Пусть — количество чисел, которые были увеличены на 1 и в результате стёрты (то есть изначально равнялись 40, а после увеличения стали равны 41).

Тогда на доске осталось чисел. Минимальная возможная новая сумма равна (если увеличили только те числа, которые были стёрты).

Из условия, что все числа натуральные, получаем ограничение:

Новое среднее арифметическое:

Среднее арифметическое убывает при возрастании поскольку знаменатель дроби уменьшается.

Следовательно, минимальное среднее арифметическое достигается при максимальном

Приведем пример. Пусть на доске написано 6 чисел 40, 10 чисел 2 и 4 числа 5. Начальное среднее арифметическое чисел равно:

Увеличим на 1 все 6 чисел 40 (они становятся равными 41 и стираются). На доске останутся 10 чисел 2 и 4 числа 5.

Среднее арифметическое чисел станет равно:

а) Приведем пример. Пусть записаны числа от 17 до 68 включительно. Среди них 4 числа, кратных 17: это 17, 34, 51, 68. При этом кратных 15 чисел ровно 3: 30, 45, 60. Данный набор соответствует условию.

б) Предположим, что среди чисел действительно нашлось 10, кратных 15. Тогда кратных 17 чисел среди них не менее 11. Тогда всего чисел не менее чем поскольку среди 17 подряд идущих чисел ровно одно число может быть кратно 17.

Тогда наименьшее значение при котором возможно наличие 11 чисел, кратных 17, достижимо, только если имеется 10 полных отрезков по 17 чисел и одно число, кратное 17.

Но среди 171 подряд идущих чисел не менее чисел, кратных 15. Разберемся, откуда взялась оценка на Разобьем числа, начиная с самого первого, на блоки по 15 чисел. В каждом таком блоке ровно одно число, кратное 15. Тогда таких полных блоков не менее 11 и вне блоков может остаться не более 14 чисел.

Примечание для лучшего понимания оценки.

Пронумеруем числа , , .., Выделим блоки , и так далее. Поймем, что в каждом таком блоке ровно одно число, кратное 15, так как среди подряд идущих 15 чисел однозначно встречается ровно 1 число, кратное 15. Тогда попробуем понять, сколько чисел останется в конце, когда мы поделим все на блоки.

На самом деле, в конце не может остаться более 14 чисел, так как иначе мы сможем добавить еще один блок размера 15. Тогда получается, что блоков будет , где Тогда чисел, кратных 15, будет не менее чем Здесь мы подставили нашу оценку на 171 число вместо и получили

в) Пусть чисел, кратных 15, штук. Тогда аналогично предыдущему пункту чисел, кратных 17, не менее чем а Причем чисел, кратных 15, не менее

Тогда имеем неравенство

Тогда чисел, кратных 15, не более 6 штук. Рассуждениями, аналогичными рассуждениям пункта б), получаем, что

Приведем пример. Пусть последовательность начинается с числа 16 и заканчивается числом 119. Чисел в последовательности ровно

Числа, кратные 17 — это числа вида где лежит в промежутке от 1 до 7. Этих чисел ровно

При этом числа, кратные 15, — это числа 30, 45, , 105. Они имеют вид где лежит в промежутке от 2 то 7. Этих чисел ровно

Условие выполняется. Тогда максимально возможное значение равняется 104.

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа и дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа и дают разные остатки при делении на 4. То есть разность не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 5.

а) Заметим, что числа 431 и 2031 дают одинаковые остатки при делении на 4 и 5, то есть противоречий не возникает. Приведем пример:

б) Если на доске есть число 431, то все числа на доске дают остаток 3 при делении на 4. Рассмотрим все возможные остатки квадратов чисел при делении на 4.

1.

Если число, дающее остаток 0 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком 0 при делении на 4.

2.

Если число, дающее остаток 1 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком при делении на 4.

3.

Если число, дающее остаток 2 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком при делении на 4.

4.

Если число, дающее остаток 3 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком при делении на 4.

Как видим, ни один квадрат натурального числа не может давать остаток 3 при делении на 4. То есть выполнение данного условия невозможно.

в) Если на доске одновременно записаны числа 1 и то дает остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 5. Причем так как 1 уже записано на доске. Будем идти по квадратам нечетных чисел, так как квадраты четных чисел дают остаток 0 при делении на 4, а квадраты нечетных чисел — остаток 1. Заполним таблицу: слева будем писать число, справа — остаток его квадрата при делении на 5.

Число 9 подходит. Предоставим пример. Возьмем числа

Все эти числа имеют вид то есть дают остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 5. Причем сумма любых 4 чисел даст остаток 0 при делении на 4 как сумма 4 чисел с одинаковыми остатками. Аналогично с суммой любых 5 чисел. То есть условие выполняется.

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа и дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа и дают разные остатки при делении на 4. То есть разность не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 7.

а) Заметим, что числа 567 и 1414 дают разные остатки при делении на 4. Первое число дает остаток 3, второе — остаток 2. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 567, то все числа на доске дают остаток 3 при делении на 4. Рассмотрим все возможные остатки квадратов чисел при делении на 4.

1.

Если число, дающее остаток 0 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком 0 при делении на 4.

2.

Если число, дающее остаток 1 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком при делении на 4.

3.

Если число, дающее остаток 2 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком при делении на 4.

4.

Если число, дающее остаток 3 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком при делении на 4.

Как видим, ни один квадрат натурального числа не может давать остаток 3 при делении на 4. То есть выполнение данного условия невозможно.

в) Если на доске одновременно записаны числа 1 и то дает остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 7. Причем так как 1 уже записано на доске. Будем идти по квадратам нечетных чисел, так как квадраты четных чисел дают остаток 0 при делении на 4, а квадраты нечетных чисел — остаток 1. Заполним таблицу: слева будем писать число, справа — остаток его квадрата при делении на 7.

Число 13 подходит. Предоставим пример. Возьмем числа

Все эти числа имеют вид то есть дают остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 7. Причем сумма любых 4 чисел даст остаток 0 при делении на 4 как сумма 4 чисел с одинаковыми остатками. Аналогично с суммой любых 7 чисел. То есть условие выполняется.

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 3. Действительно, положим обратное. Пусть числа и дают разные остатки при делении на 3. Тогда рассмотрим 3 числа Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 3.

А теперь рассмотрим набор из чисел Их сумма также должна быть кратна 3. Но числа и дают разные остатки при делении на 3. То есть разность не делится на 3. Но разность двух чисел, кратных трем, должна делиться на 3. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 5.

а) Заметим, что числа 305 и 1511 дают разные остатки при делении на 5. Первое число дает остаток 0, второе — остаток 1. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 305, то все числа на доске дают остаток 2 при делении на 3. Рассмотрим все возможные остатки квадратов чисел при делении на 3.

1.

Если число, дающее остаток 0 при делении на 3, возвести в квадрат, то получится число с остатком 0 при делении на 3.

2.

Если число, дающее остаток 1 при делении на 3, возвести в квадрат, то получится число с остатком при делении на 3.

3.

Если число, дающее остаток 2 при делении на 3, возвести в квадрат, то получится число с остатком при делении на 3.

Как видим, ни один квадрат натурального числа не может давать остаток 2 при делении на 3. То есть выполнение данного условия невозможно.

в) Если на доске одновременно записаны числа 1 и то дает остаток 1 при делении на 3 и остаток 1 при делении на 5. Причем так как 1 уже записано на доске. Заполним таблицу: слева будем писать число, справа — остаток его квадрата при делении на 5.

Также дает остаток 1 при делении на 3, то есть подходит. Предоставим пример. Возьмем числа

Все эти числа имеют вид то есть дают остаток 1 при делении на 3 и остаток 1 при делении на 5. Причем сумма любых 3 чисел даст остаток 0 при делении на 3 как сумма 3 чисел с одинаковыми остатками. Аналогично с суммой любых 5 чисел. То есть условие выполняется.

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа и дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа и дают разные остатки при делении на 4. То есть разность не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 3, 5, 6.

а) Заметим, что числа 303 и 30033 дают разные остатки при делении на 4. Первое число дает остаток 3, второе — остаток 1. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 30033, то все числа на доске дают остаток 1 при делении на 4. Тогда пусть на доске написаны числа и Число дает остаток 1 при делении на 4, а число дает остаток то есть остаток 3 при делении на 4. Противоречие.

в) Число 30033 дает остаток 0 при делении на 3, остаток 1 при делении на 4, остаток 3 при делении на 5, остаток 3 при делении на 6.

Поймем, что так как все числа различные. Выполним перебор по

так как если число дает остаток 3 при делении на 6, то число даст остаток 0 при делении на 6;

так как если число дает остаток 1 при делении на 4, то число даст остаток 3 при делении на 4;

так как число вида будет кратно 3, 4 или же 6, что противоречит описанному выше;

так как если число дает остаток 3 при делении на 5, то число дает остаток 1 при делении на 5;

так как 8 кратно 4, следовательно число вида будет кратно 4;

так как если число дает остаток 3 при делении на 5, то число дает остаток 2 при делении на 5;

так как если число дает остаток 1 при делении на 4, то число дает остаток 2 при делении на 4;

так как если число дает остаток 1 при делении на 4, то число даст остаток 3 при делении на 4;

так как 12 кратно 4;

так как если число дает остаток 3 при делении на 5, то число даст остаток 4 при делении на 5;

так как если число дает остаток 1 при делении на 4, то число даст остаток 2 при делении на 4;

так как 15 кратно 5;

так как 16 кратно 4;

так как если число дает остаток 3 при делении на 5, то число даст остаток 1 при делении на 5;

так как 18 кратно 6;

так как если число дает остаток 1 при делении на 4, то число даст остаток 3 при делении на 4;

так как 20 кратно 4;

На есть пример:

Здесь Все числа имеют вид То есть дают остаток 0 при делении на 3, остаток 1 при делении на 4, остаток 3 при делении на 5, остаток 3 при делении на 6.

Если сложить чисел с одинаковыми остатками при делении на то получится число, кратное Поэтому условие задачи на то, что среднее арифметическое любых 3, 4, 5, 6 чисел является целым числом, выполняется.

а) Приведем пример. Пусть записаны числа от 16 до 96 включительно. Среди них 6 чисел кратны 16: это 16, 32, 48, 64, 80, 96. При этом кратных 15 чисел ровно 5: это 30, 45, 60, 75, 90. Данный набор соответствует условию.

б) Заметим, что так как ровно 5 чисел кратны 15, то наименьшее количество чисел достигается в случае, когда набор начинается на число, кратное 15, и заканчивается на число, кратное 15. В таком случае количество чисел равно Но среди 61 последовательного числа всегда найдутся хотя бы 5 чисел, кратных 11. Противоречие.

в) Из пункта а) мы получили, что Теперь оценим наибольшее количество чисел в наборе. Поскольку чисел, кратных 15, ровно 5, то наибольшее количество чисел равно 89.

Действительно, набор должен выглядеть следующим образом:

Здесь . Так как такой набор действительно содержит ровно 5 чисел, кратных 15, и при продолжении в любую из сторон появится ещё одно число, кратное 15 (в случае при продолжении до 90).

Заметим, что для достаточно взять и получившийся набор чисел от 16 до 104 включительно. Тогда кратных 17 получится 6 чисел: 17, 34, 51, 68, 85, 102. А кратных 15 — ровно 5 чисел: 30, 45, 60, 75, 90.

Покажем, что для нельзя получить больше 5 чисел. Наименьший по количеству набор последовательных натуральных чисел, таких, что среди них ровно 6 чисел, кратных 18 — набор, состоящий из 91 последовательного числа. Действительно, такие наборы имеют вид:

Если уменьшить его, то количество чисел, кратных 18, уменьшится и станет не более 5. Но среди любых 91 последовательного числа есть хотя бы 6 чисел, кратных 15.

Таким образом,