Тема 7. Преобразование числовых и буквенных выражений

7.11 Буквенные тригонометрические выражения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразование числовых и буквенных выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1533

Найдите значение выражения $sin2α+ 2cosα+ cos2α,$ если $cosα =0,18.$

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству имеем:

sin2α + 2cosα + cos2α = 2 2 = (sin α+ cos α)+ 2cosα = 1+ 2cosα.

Тогда при $cosα= 0,18$ исходное выражение равно

1+ 2⋅0,18 = 1,36.

Ответ: 1,36

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1534

Найдите $2sinα,$ если $cosα= − 1.$

Показать ответ и решение

Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin2α +cos2α= 1,$ откуда при $cosα= − 1$ получаем:

sin2α+ 1 =1,

то есть $sin2α= 0,$ откуда $sinα = 0,$ следовательно, $2 sinα = 0.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1535

Найдите $|3cosα|,$ если $sin α= 0.$

Показать ответ и решение

Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin2α +cos2α= 1,$ откуда при $sin α= 0$ получаем:

0+ cos2α =1,

то есть $cos2α =1,$ откуда $cosα= ±1,$ следовательно, $3cosα =±3,$ тогда $|3cosα|= |± 3|= 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1951

Найдите значение выражения $cos2α,$ если $sinα = −0,6.$

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла имеем:

cos2α =1 − 2 sin2α = = 1 − 2 ⋅(− 0,6)2 = 1− 2⋅0,36= 0,28.

Ответ: 0,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2549

Найдите значение выражения $sinα,$ если $√-- cosα = -19, 10$ $α∈ (0; π) . 2$

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству имеем:

∘----19- 9 sinα= ± 1 − 100-= ± 10.

Так как угол $α$ принадлежит первой четверти, то его синус положителен и $sinα =0,9.$

Ответ: 0,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#17236

Найдите $cosα,$ если известно, что $3√11- sinα = 10 ,$ $( π) α∈ 0;2 .$

Показать ответ и решение

Если $( π) α∈ 0;2 ,$ то $cosα > 0$ и по основному тригонометрическому тождеству имеем:

∘ -------- ∘ ---99-- cosα= 1− sin2α = 1− 100 = 0,1.

Ответ: 0,1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#204

Найдите значение выражения $2sin2 α+ 2sinα + 2cos2α,$ если $sin α= −0,5.$

Показать ответ и решение

Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin2α +cos2α =1,$ откуда

2 sin2α+ 2sin α+ 2cos2α= 2(sin2α+ cos2α+ sinα )= 2(1+ sin α),

что при $sin α= −0,5$ равно $2(1− 0,5) =1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#205

Найдите $|sinx+ cosx|,$ если $sinx ⋅cosx = 0,345.$

Показать ответ и решение

Обозначим $t= |sinx+ cosx|,$ $t≥0,$ тогда

t2 = (sinx +cosx)2 = sin2x +cos2x+ 2⋅sin x⋅cosx= 1+ 2⋅sin x⋅cosx,

что при $sinx ⋅cosx = 0,345$ равно $1+ 2⋅0,345= 1,69.$ Так как $t2 = 1,69$ и $t≥ 0,$ то $t= 1,3.$

Ответ: 1,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#206

Найдите значение выражения $4cosα,$ если $√ - √3-sin α= 6--2, 5$ $α ∈(0; π) . 2$

Показать ответ и решение

$√- sinα = 2-6. 5$ Основное тригонометрическое тождество: $sin2 α+ cos2α = 1,$ откуда получаем:

24 2 2 1- 25 + cosα = 1 ⇔ cos α = 25 ⇔ cosα = ±0,2.

С учётом условия $( π) α ∈ 0;2-$ из двух возможных значений остаётся только $cosα = 0,2$ (в первой четверти косинус неотрицателен).

Итого: $4cosα= 4⋅0,2= 0,8.$

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#207

Найдите значение выражения $-4cos(3π−-γ)+-3sin(2,5π-− γ) 0,5sin(0,5π +γ) − 0,5cos(π +γ)$ при $cosγ ⁄= 0.$

Показать ответ и решение

Используя формулы приведения, получаем:

-4cos(3π-−-γ)+3-sin(2,5π−-γ)-= −-4cosγ-+-3cosγ--= −-cosγ-= −1. 0,5 sin(0,5π+ γ)− 0,5 cos(π+ γ) 0,5cosγ+ 0,5cosγ cosγ

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#208

Найдите значение выражения $tgα,$ если $5-sinα-−3 cosα-= 4. sinα − 16 cosα$

Показать ответ и решение

Домножим левую и правую части равенства на знаменатель левой части при условии, что он отличен от нуля:

3 5sinα− cosα= 4sinα− 4 cosα, sinα = 0,25⋅cosα.

При этом знаменатель получается действительно отличным от нуля и после деления обеих частей уравнения на $cosα$ имеем

tg α= 0,25.

Ответ: 0,25

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#210

Найдите $√- √- -2-⋅sinα + -2-⋅cosα, 2 2$ если $( ) cos α+ 7π = 0,21. 4$

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой для косинуса разности:

√- √- -2-⋅sinα + -2-⋅cosα = sin π-⋅sinα + cos π⋅cosα= cos(π-− α). 2 2 4 4 4

Так как косинус – чётная $2π$ -периодическая функция, то

( ) ( ) ( ) ( ) cos π− α = cos α − π- = cos α − π-+2π = cos α+ 7π = 0,21. 4 4 4 4

Ответ: 0,21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#659

Найдите значение выражения $sin3α− cos3α,$ если $cosα =sinα+ 1. 2$

Показать ответ и решение

$cosα = sinα + 1 2$ $⇒$ $sinα − cosα = − 1 2$ $⇒$ $(sinα − cosα)2 = 1 4$ $⇒$ $2 2 1 sin α− 2sin α⋅cosα+ cosα = 4$ $⇒$ $1 1− 2sin α⋅cosα= 4$ $⇒$ $3 sin2α = 4.$

Тогда:

3 3 2 2 sin α − cos α= (sinα − cosα) ⋅(sin α + sinα ⋅cosα +cos α)= = (sinα− cosα)⋅(1+ 1⋅2sinα⋅cosα)= (sinα − cosα)⋅(1+ 1 ⋅sin2α)= ( )2 ( ) 2 = − 1 ⋅ 1+ 1 ⋅ 3 = − 1 ⋅ 1+ 3 = − 1⋅ 11 = − 11 = −0,6875. 2 2 4 2 8 2 8 16

Ответ: -0,6875

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#660

Найдите значение выражения $√ - √- --3⋅sin3α + -3-⋅cos3α, 2 2$ если $√ - sinα = --3− cosα. 2$

Показать ответ и решение

$√- sinα = -3-− cosα 2$ $⇒$ $√ - sinα+ cosα= --3 2$ $⇒$ $(sinα +cosα)2 = 3 4$ $⇒$ $3 sin2α+ 2sin α⋅cosα+ cos2 α= 4$ $⇒$ $3 1+ 2sinα⋅cosα = 4$ $⇒$ $1 sin2α =− 4.$

Тогда:

√- √- √- -3-⋅sin3α + -3⋅cos3α= -3⋅(sin α+ cosα )⋅(sin2α − sinα ⋅cosα + cos2α)= √2 2 2 √ - = -3-⋅(sinα+ cosα)⋅(1− 1⋅2sinα⋅cosα)= --3⋅(sinα + cosα)⋅(1− 1 ⋅sin2α)= 2 √- √- ( 2( )) ( 2 ) 2 = -3-⋅-3-⋅ 1− 1 ⋅ − 1 = 3⋅ 1+ 1 = 3⋅ 9 = 27 =0,84375. 2 2 2 4 4 8 4 8 32

Ответ: 0,84375

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#661

Найдите значение выражения $cos2α−-ctg2α+-1, sin2α +tg2α − 1$ если $ctgα = 7.$

Показать ответ и решение

cos2α − ctg2α+ 1 cos2sαin⋅s2inα2α − cosisn22αα+ ssinin22αα cos2α⋅sin2αs−inc2osα2α+sin2α sin2α-+-tg2α-−-1-= cos2α⋅sin2α-+-sin2α-−-cos2α-= cos2α⋅sin2α−cos2α+sin2α= 2 2 cos22α 2cos2α cos2α 2 cos2α = cos-α-⋅sin-α−-c2os-α+-sin-α-⋅--2-----2cos-α-2-----2--= sin α 2 cosα ⋅sin α − cos α+ sin α = cos2α-= ctg2α= 72 = 49. sin α

Ответ: 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#662

Найдите значение выражения $-sin2α−-2cos2α, 5 sinα⋅cosα +3$ если $tgα =− 2.$

Показать ответ и решение

По формуле для тангенса имеем:

tgα= − 2 ⇒ sinα = −2cosα.

После подстановки в исходное выражение получим:

sin2α−-2cos2α -------(−2cosα)2−-2cos2α-------- 5sinα⋅cosα+ 3 = 5⋅(−2cosα)⋅cosα+ 3(sin2α+ cos2α ) = 4 cos2α − 2 cos2α 2cos2α = −10cos2α-+-3((−2cosα)2+-cos2α)-= −10cos2α+-3(4cos2α-+-cos2α) = 2cos2α 2cos2α 2cos2α 2 = −10cos2α-+-3⋅5cos2-α = −-10cos2α-+-15cos2α = 5cos2α = 5 = 0,4.

Ответ: 0,4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#663

Найдите значение выражения $--2+2-3sinα-⋅cosα--, sin α+ sinα ⋅cosα$ если $tgα = 4.$

Показать ответ и решение

По формуле для тангенса имеем:

tgα = 4 ⇒ sinα = 4cosα.

После подстановки в исходное выражение получим:

-2+-3sinα-⋅cosα--- 2(sin2α-+-cos2α)+-3sin-α⋅cosα- sin2α+ sin α⋅cosα = sin2α+ sin α⋅cosα = 2((4cosα-)2+-cos2α)+-3⋅4cosα⋅cosα 2(16cos2α+-cos2α-)+12cos2α- = (4cosα )2+ 4cosα ⋅cosα = 16 cos2α +4cos2α = 2 ⋅17 cos2α +12cos2α 34cos2α + 12 cos2α 46cos2α 46 23 = ------20cos2α------ = ----20cos2α-----= 20cos2α-= 20 = 10 = 2,3.

Ответ: 2,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#664

Найдите значение выражения $sin6α+ cos6α,$ если $∘ -- sin α+ cosα= 3. 2$

Показать ответ и решение

$∘ -- sinα +cosα = 3 2$ $⇒$ $(sinα + cosα)2 = 3 2$ $⇒$ $sin2α+ 2sin α⋅cosα+ cos2 α= 3 2$ $⇒$ $1 +2sinα⋅cosα = 3 2$ $⇒$ $2sinα ⋅cosα = 1 2$ $⇒$ $sin α⋅cosα= 1. 4$