Тема 7. Преобразование числовых и буквенных выражений

7.11 Буквенные тригонометрические выражения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразование числовых и буквенных выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1533

Найдите значение выражения $sin2α+ 2cosα+ cos2α,$ если $cosα =0,18.$

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству имеем:

2 2 sin α +2 cosα +cos α = = (sin2α+ cos2α )+2 cosα = 1+ 2cosα

Тогда при $cosα= 0,18$ исходное выражение равно

1+ 2⋅0,18 = 1,36

Ответ: 1,36

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1534

Найдите $2sinα$ , если $cos α = − 1$ .

Показать ответ и решение

Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin2 α + cos2α = 1$ , откуда при $cos α = − 1$ получаем:

sin2 α + 1 = 1,

то есть $sin2 α = 0$ , откуда $sinα = 0$ , следовательно, $2sinα = 0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1535

Найдите $|3 cosα |$ , если $sin α = 0$ .

Показать ответ и решение

Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin2 α + cos2α = 1$ , откуда при $sin α = 0$ получаем:

0 + cos2α = 1,

то есть $cos2α = 1$ , откуда $cos α = ±1$ , следовательно, $3 cosα = ±3$ , тогда $|3 cosα | = | ± 3| = 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1951

Найдите значение выражения $cos2α,$ если $sinα = −0,6.$

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла имеем:

2 cos2α= 1− 2sin α= = 1 − 2 ⋅(−0,6)2 = 1− 2⋅0,36= 0,28

Ответ: 0,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2549

Найдите значение выражения $sinα,$ если $√19 cosα = -10 ,$ $( π) α∈ 0;2- .$

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству имеем:

∘------- sin α= ± 1 − 19-= ±-9 100 10

Так как угол $α$ принадлежит первой четверти, то его синус положителен и $sin α= 0,9.$

Ответ: 0,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#17236

Найдите $cosα,$ если известно, что $3√11- sinα = 10 ,$ $( π) α∈ 0;2 .$

Показать ответ и решение

Если $( π) α∈ 0;2 ,$ то $cosα > 0$ и по основному тригонометрическому тождеству имеем:

∘-------- ∘ ----99-- cosα = 1 − sin2α= 1− 100 = 0,1

Ответ: 0,1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#204

Найдите значение выражения $2sin2 α+ 2sinα + 2cos2α,$ если $sin α= −0,5.$

Показать ответ и решение

Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin2α +cos2α= 1$ , откуда

2 2 2 2 2sin α+ 2sinα + 2cosα = 2(sin α+ cosα + sinα)= 2(1+ sinα),

что при $sin α= −0,5$ равно $2(1 − 0,5)= 1$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#205

Найдите $|sin x + cosx |$ , если $sin x ⋅ cosx = 0,345$ .

Показать ответ и решение

Обозначим $t = |sinx + cos x|$ , $t ≥ 0$ , тогда

t2 = (sinx + cos x)2 = sin2 x + cos2x + 2 ⋅ sin x ⋅ cosx = 1 + 2 ⋅ sinx ⋅ cos x,

что при $sinx ⋅ cos x = 0,345$ равно $1 + 2 ⋅ 0,345 = 1,69$ . Так как $2 t = 1, 69$ и $t ≥ 0$ , то $t = 1,3$ .

Ответ: 1,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#206

Найдите значение выражения $4cosα,$ если $√ - 6√2- 3sin α= -5--,$ $( π) α ∈ 0;2- .$

Показать ответ и решение

$2√6 sinα = -5--$ . Основное тригонометрическое тождество: $2 2 sin α+ cos α = 1$ , откуда получаем:

24 + cos2α =1 ⇔ cos2 α= -1 ⇔ cosα= ±0,2. 25 25

С учётом условия $( ) α ∈ 0; π 2$ из двух возможных значений остаётся только $cosα = 0,2$ (в первой четверти косинус неотрицателен).

Итого: $4cosα= 4⋅0,2= 0,8$ .

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#207

Найдите значение выражения $--4cos(3π−-γ)+-3sin-(2,5π−-γ)- 0,5sin (0,5π+ γ)− 0,5cos(π +γ)$ при $cosγ ⁄= 0.$

Показать ответ и решение

Используя формулы приведения, получаем:

-4cos(3π−-γ)+-3sin(2,5π-−-γ)-= -−-4cosγ+-3cosγ-= −-cosγ= − 1. 0,5sin(0,5π + γ)− 0,5cos(π+ γ) 0,5cosγ+ 0,5cosγ cosγ

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#208

Найдите значение выражения $tgα,$ если $5-sinα-− cosα sinα − 316 cosα = 4.$

Показать ответ и решение

Домножим левую и правую части равенства на знаменатель левой части при условии, что он отличен от нуля:

5sinα− cosα= 4sinα− 3 cosα sinα = 0,25⋅cosα4

При этом знаменатель получается действительно отличным от нуля и после деления обеих частей уравнения на $cosα$ имеем

tg α= 0,25

Ответ: 0,25

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#210

Найдите $√ -- √ -- --2-⋅ sin α +--2-⋅ cos α 2 2$ , если $( ) cos α + 7π- = 0, 21 4$ .

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой для косинуса разности:

√ -- √ -- 2 2 π π (π ) ---⋅ sin α + ----⋅ cosα = sin --⋅ sin α + cos-⋅ cosα = cos --− α . 2 2 4 4 4

Так как косинус – чётная $2π$ -периодическая функция, то

( ) ( ) ( ) ( ) cos π-− α = cos α − π- = cos α − π-+ 2π = cos α + 7π- = 0,21. 4 4 4 4

Ответ: 0,21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#659

Найдите значение выражения $sin3α − cos3α$ , если $1 cosα = sin α + -- 2$ .

Показать ответ и решение

$1 cosα = sin α + -- 2$ $⇒$ $1 sinα − cos α = − -- 2$ $⇒$ $1 (sin α − cosα )2 = -- 4$ $⇒$ $1 sin2 α − 2 sin α ⋅ cosα + cos2 α =-- 4$ $⇒$ $1 − 2 sin α ⋅ cosα = 1- 4$ $⇒$ $sin2α = 3- 4$

Тогда:

3 3 2 2 sin α − cos α = (sin α − cosα ) ⋅ (sin α + sin α ⋅ cosα + cos α) = 1 1 = (sin α − cos α) ⋅ (1 + -⋅ 2sinα ⋅ cos α) = (sin α − cos α) ⋅ (1 +-⋅ sin 2α) = ( )2 ( ) 2 = − 1-⋅ 1 + 1-⋅ 3 = − 1⋅ 1 + 3- = − 1-⋅ 11-= − 11-= − 0,6875 2 2 4 2 8 2 8 16

Ответ: -0,6875

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#660

Найдите значение выражения $√ -- √-- --3-⋅ sin3α + -3-⋅ cos3 α 2 2$ , если $√ -- sin α = --3-− cos α 2$ .

Показать ответ и решение

$√ -- sin α = --3-− cos α 2$ $⇒$ $√ -- sin α + cos α = --3- 2$ $⇒$ $(sin α + cosα )2 = 3- 4$ $⇒$ $sin2 α + 2 sin α ⋅ cosα + cos2 α = 3 4$ $⇒$ $1 + 2 sin α ⋅ cosα = 3- 4$ $⇒$ $sin2α = − 1- 4$

Тогда:

√ -- √ -- √-- 3 3 3 3 3 2 2 ----⋅ sin α + ---⋅ cos α = ---⋅ (sinα + cosα) ⋅ (sin α − sinα ⋅ cos α + cos α ) = √2-- 2 2 √ -- = --3-⋅ (sin α + cos α) ⋅ (1 − 1⋅ 2sinα ⋅ cos α) =-3-⋅ (sin α + cos α) ⋅ (1 − 1⋅ sin 2α) = 2 2 2 2 √3-- √3-- ( 1 ( 1) ) 3 ( 1 ) 3 9 27 = ----⋅----⋅ 1 − --⋅ − -- = -⋅ 1 + -- = -⋅ --= ---= 0,84375 2 2 2 4 4 8 4 8 32

Ответ: 0,84375

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#661

Найдите значение выражения $2 2 cos-α-−--ctg-α-+-1 sin2 α + tg2α − 1$ , если $ctgα = 7$ .

Показать ответ и решение

2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 α − ctg2α + 1 cossαin⋅2siαn-α− csosin2αα-+ ssinin2αα- cos-α⋅sin-αs−in2coαs-α+sin-α -sin2-α-+-tg2α-−-1- = -cos2α⋅sin2α----sin2α---cos2α- = cos2α⋅sin2α−-cos2α+sin2α-= cos2α + cos2α − cos2α cos2α cos2 α ⋅ sin2 α − cos2α + sin2 α cos2α = ---------------2-------------- ⋅---2------2--------2-------2-- = sin α 2 cos α ⋅ sin α − cos α + sin α = cos-α- = ctg2α = 72 = 49 sin2α

Ответ: 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#662

Найдите значение выражения $-sin2α−-2cos2α 5 sinα⋅cosα +3,$ если $tgα =− 2.$

Показать ответ и решение

По формуле для тангенса имеем:

tg α= − 2 ⇒ sinα = −2cosα

После подстановки в исходное выражение получим:

2 2 2 2 sin-α-−-2cosα-= -------(−-2cosα-)−-2cos2-α--------= 5sin α⋅cosα+ 3 5⋅(− 2cosα)⋅cosα + 3(sin α + cos2α) = -------4cos2α−-2cos2α------- = ---------2cos2α----------= − 10 cos2α +3((−2cosα)2+ cos2α) −10cos2 α+ 3(4 cos2α +cos2α) -------2cos2α------- ------2cos2α------ 2cos2α- 2 = − 10cos2α + 3⋅5cos2α = − 10cos2α +15cos2α = 5cos2α = 5 = 0,4

Ответ: 0,4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#663

Найдите значение выражения $--2+-3sinα-⋅cosα-- sin2α+ sinα ⋅cosα ,$ если $tgα = 4.$

Показать ответ и решение

По формуле для тангенса имеем:

tgα = 4 ⇒ sinα = 4cosα

После подстановки в исходное выражение получим:

2 2 -22+3-sinα-⋅cosα--= 2(sin-α-+c2os-α)+-3sinα-⋅cosα-= sin2 α+ s2inα ⋅cosα sin α+ sinα2⋅cosα 2 2 = 2((4cosα)-+-cosα)-+3-⋅4-cosα-⋅cosα-= 2(16cosα-+-cos-α)+-12cos-α= (4cosα)2+ 4cosα⋅cosα 16cos2α+ 4cos2α = 2⋅17cos2α+-12cos2α= 34-cos2α-+12cos2α-= 46cos2α-= 46 = 23= 2,3 20cos2α 20cos2α 20cos2α 20 10

Ответ: 2,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#664

Найдите значение выражения $sin6α + cos6α$ , если $∘ -- sin α + cosα = 3- 2$ .

Показать ответ и решение

$∘ -- sin α + cosα = 3- 2$ $⇒$ $(sin α + cos α)2 = 3- 2$ $⇒$ $sin2α + 2sinα ⋅ cos α + cos2α = 3- 2$ $⇒$ $3- 1 + 2 sin α ⋅ cosα = 2$ $⇒$ $1- 2sinα ⋅ cos α = 2$ $⇒$ $1- sin α ⋅ cosα = 4$