Тема Классические неравенства

Неравенство Гёльдера

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91166

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $a+ b+ c= 3.$ Докажите неравенство

--a3--- --b3--- --c3--- b(2c+ a) + c(2a+ b) + a(2b+ c) ≥1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прибавим к обеим частям неравенства 2. Тогда достаточно доказать, что левая часть не меньше a + b + c = 3. Чтобы доказать это, надо как-то переписать новое слагаемое 2. Для этого зададимся целью сократить знаменатели наших дробей неравенством о средних. Как можно тогда переписать нашу двоечку?

Подсказка 2

Теперь мы хотим, чтобы в числителях появились выражения из знаменателей. И еще у нас есть условие a + b + c = 3. Тогда 2 = (a/3 + (2b + c)/9) + (b/3 + (2c + a)/9) + (c/3 + (2a + b)/9). Как теперь можно доказать, что левая часть не меньше, чем a + b + c?

Подсказка 3

Конечно! Мы преобразовывали 2 для того, чтобы сократить знаменатели. Тогда перегруппируем наши дроби и применим неравенство о средних для троек!

Показать доказательство

Первое решение.

Добавим к первой дроби $b 2c+a- 3 + 9 ,$ ко второй — $c 2a+b- 3 + 9 ,$ к третей — $a 2b+c- 3 + 9 .$ Таким образом мы к левой части добавили $2,$ то есть доказать теперь требуется

a3 b 2c+ a b3 c 2a+ b c3 a 2b+c b(2c+-a) + 3 +-9--+ c(2a+-b) + 3 +-9--+ a(2b+-c)-+3 + -9---≥3

Тогда для сумм троек слагаемых по неравенству между средним арифметическим и геометрическим каждая больше соответсвенной переменной:

3 --a----+ b+ 2c+a-≥a b(2c+ a) 3 9

Тогда вся сумма больше либо равна

a+ b+c =3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В силу неравенства Гельдера имеем

( ) a3-+ b3-+ c3- (x +y+ z)(1 +1+ 1)≥ (a+ b+ c)3 x y z

Тогда имеем

a3 b3 c3 (a+-b+-c)3 x + y + z ≥ 3(x+ y+z)

В силу полученного неравентсва

3 3 3 3 --a----+ --b----+ --c----≥--(a+-b+-c)-- b(2c+ a) c(2a+ b) a(2b+c) 9(ab+ac+ bc)

Тогда достаточно показать, что

(a+ b+c)3 ≥ 9(ab+ ac+ bc) ⇔ (a+ b+ c)3 ≥ 3(a +b+ c)(ab+ac+ bc)⇔ a3 +b3+ c3 ≥3abc,

что верно по неравенству о средних.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98101

Положительные числа $a,$ $b$ и $c$ таковы, что $a+ b+c = 3. 2$ Докажите, что

---1-- ---1-- ---1-- (a+ b)2 + (b+ c)2 + (c+a)2 ≥ 3

Подсказки к задаче

Подсказка

Когда в задаче сумма нескольких дробей больше чего-то стоит попробовать неравенство Гельдера, тогда у вас останется лишь одна дробь. Для неравенства нужно, чтобы показатель в числителе был на 1 больше показателя в знаменателе. Как это применить в данной задаче?

Показать доказательство

В силу неравенства Гельдера, для положительных чисел $a ,a,...,a 1 2 n$ , $b,b ,...,b 1 2 n$ и $p$ верно неравенство

( n∑ )p n∑ -api- --i=1ai-- i=1bpi−1≥ ( n∑ )p−1 i=1bi

Таким образом, при $p= 3$ мы имеем

3 --1--2 +--1--2 +--1--2 ≥---------3---------2-= 3 (a +b) (b+c) (c+ a) ((a+ b)+(b+ c)+ (c+a))

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#98105

Докажите, что если $a2 +b2+ c2 +d2 = 2,$ то

a b c d (b+-c)3 + (c+d)3 + (d+-a)3 + (a+-b)3 ≥1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С суммой дробей работать тяжело, почему хочется из них сделать одну. С этим справляется неравенство Гельдера. Вот только к каким набором его применить? Попробуйте разные.

Подсказка 2

Приведите числители к виду x^4 и примените неравенство Гельдера. Это мы сделали, чтобы знаменатель остался кубом, а числитель стал степенью на 1 выше. Как доказать оставшееся неравенство?

Подсказка 3

Осталось доказать, что (a+b+c+d)^4 ≥ 8(ab+cd+bc+da+2ac+2bd)^3. Вспомните неравенство о средних и докажите оставшуюся часть задачи.

Показать доказательство

Давайте сначала поработаем с левой частью. В каждом слагаем сделаем знаменатель вида $x4 :$

---a-- ---b-- ---c-- ---d-- --a4---- ---b4-- --c4---- ---d4--- (b+ c)3 + (c+ d)3 + (d+ a)3 +(a+ b)3 = (ab+ ac)3 + (bc+bd)3 + (cd+ ca)3 + (da+ db)3

Теперь применим неравенство Гёльдера для четырёх переменных:

4 4 4 4 4 ---a--3-+---b---3 +---c--3-+---d---3 ≥------(a+-b+c+-d)-----3 (ab+ ac) (bc+bd) (cd+ ca) (da+ db) (ab+dc+ bc+da+ 2ac+2bd)

Также по неравенству о среднем квадратичном и арифметическим: $∘ ---------- a+b+c+d ≤ a2+b2+c2+d2, (a+ b+ c+d)2 ≤ 8. 4 4$ Теперь поработаем с правой частью: домножим числитель на $8,$ а знаменатель — на $(a+ b+ c+d)2 ≤ 8$ Получим следующее неравенство:

------(a+-b+c+-d)4------ ≥ -----8------ (ab+ac+ bc+da+ 2ac+2bd)3 (a+ b+ c+d)2

Теперь давайте домножим на знаменатели и возьмём корень $3$ степени:

(a+ b+ c+d)2 ≥ 2(ab+ ac +bc+ da +2ac+ 2bd)

После приведения подобных слагаемых получаем $2 2 2 2 a + b+ c + d ≥2ac+ 2bd,$ что очевидно. Тогда, зная, что $2 (a+ b+ c+d) ≤ 8,$ получаем требуемое неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#98106

Пусть $abc= 1.$ Докажите, что

1 1 1 3 a5(b+-c)2 + b5(c+-a)2 + c5(a+-b)2-≥4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой части неравенства написаны какие-то дроби, а в правой - число. В таких случаях бывает полезно применять неравенство Гельдера. Только вот сразу оно не работает, преобразуйте как-нибудь дроби.

Подсказка 2

Запишите числители дробей как 1/a^3. Для чего мы это сделали? Теперь сумма корней из знаменателей совпадает с суммой корней третей степени из числителей. Тогда неравенство Гельдера даст красивый результат. Что осталось доказать?

Показать доказательство

В силу неравенства Гельдера, для положительных чисел $a ,a,...,a , 1 2 n$ $b,b ,...,b 1 2 n$ и $p$ верно неравенство

( n∑ )p ∑n -api-- --i=1ai--- i=1 bpi−1 ≥ ( n∑ )p−1 (∗) i=1bi

Таким образом, при $p= 3$ мы имеем

3 3 3 -5-1---2 + 5-1--2 +-5-1---2 =-21∕a-2-+ 2-1∕b--2 +-21∕c-2-≥(∗) a (b+c) b(c+ a) c (a +b) a (b+ c) b(c+a) c (a+ b)

≥ (1∕a+-1∕b+1∕c)3-= (bc+-ca+-ab)3-= ab-+bc+-ca. (∗) 4(ab+ bc+ca)2 4(ab+ bc+ ca)2 4

Осталось заметить, что из неравенства Коши сразу следует

∘----- ab+ bc +ca≥ 33(abc)2 = 3

откуда следует требуемое неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#122804

Неравенство Гёльдера. Даны вещественные числа $p,q ≥ 1$ такие, что $1+ 1= 1. p q$ Тогда для положительных $a,a ,...,a 1 2 n$ , $b1,b2,...,bn$ выполнено неравенство

∑n (∑n )1∕p(∑n )1∕q aibi ≤ api bqi . i=1 i=1 i=1

Показать доказательство

Рассмотрим набор $a ,...,a . 1 n$ Умножим каждое число на $λ$ и посмотрим, как изменились левые и правые части. Ясно, что обе части умножаются на $λ.$ Тогда мы можем умножать все $ai$ на одно и то же $λ$ и получать неравенство, эквивалентное исходному, и все $bi$ на одно и то же $μ.$ Выберем $λ$ и $μ$ такие, что