Связь производной с монотонностью и точками экстремума функции

Функция $f$ возрастает на множестве $M$, если для любых двух точек $x_1 < x_2$ из $M$ справедливо неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ (чем больше аргумент из $M$, тем больше значение $f$).

Функция $f$ убывает на множестве $M$, если для любых двух точек $x_1 < x_2$ из $M$ справедливо неравенство $f(x_1) > f(x_2)$ (чем больше аргумент из $M$, тем меньше значение $f$).

Функция $f$ неубывает на множестве $M$, если для любых двух точек $x_1 < x_2$ из $M$ справедливо неравенство $f(x_1) \leq f(x_2)$ (при увеличении аргумента из $M$, значение $f$ по крайней мере не уменьшается).

Функция $f$ невозрастает на множестве $M$, если для любых двух точек $x_1 < x_2$ из $M$ справедливо неравенство $f(x_1) \geq f(x_2)$ (при увеличении аргумента из $M$, значение $f$ по крайней мере не увеличивается).

Замечание

Если функция возрастает на $M$, то про неё также верно, что она неубывает на $M$.

Если функция убывает на $M$, то про неё также верно, что она невозрастает на $M$.

Стоит также отметить, что фразы “функция неубывает на $M$”$\ $ и “функция не является убывающей на $M$”$\ $в общем случае значат совсем не одно и тоже.

Теорема

Если дифференцируемая на некотором интервале $I$ функция неубывает на нём, то её производная не отрицательна на $I$.

Если производная функции не отрицательна на некотором интервале $I$, то эта функция неубывает на $I$.

Если производная функции не отрицательна на некотором интервале $I$, причём производная равна 0 не более чем в конечном числе точек из $I$, то эта функция возрастает на $I$.

Теорема

Если дифференцируемая на некотором интервале $I$ функция невозрастает на нём, то её производная не положительна на $I$.

Если производная функции не положительна на некотором интервале $I$, то эта функция невозрастает на $I$.

Если производная функции не положительна на некотором интервале $I$, причём производная равна 0 не более чем в конечном числе точек из $I$, то эта функция убывает на $I$.  

Определение

Точка $x_0$ называется точкой строгого локального максимума функции $f(x)$, если существует некоторый интервал $I$, содержащий точку $x_0$, такой что для любой точки $a$ из $I$, отличной от $x_0$, верно $f(x_0) > f(a)$.

Точка $x_0$ называется точкой строгого локального минимума функции $f(x)$, если существует некоторый интервал $I$, содержащий точку $x_0$, такой что для любой точки $a$ из $I$, отличной от $x_0$, верно $f(x_0) < f(a)$.

Точка $x_0$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует некоторый интервал $I$, содержащий точку $x_0$, такой что для любой точки $a$ из $I$ верно $f(x_0) \geq f(a)$.

Точка $x_0$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует некоторый интервал $I$, содержащий точку $x_0$, такой что для любой точки $a$ из $I$ верно $f(x_0) \leq f(a)$. Точка $x_0$ называется точкой локального экстремума функции $f(x)$, если она является точкой её локального максимума или точкой локального минимума.

Замечание

Всякая точка строгого локального максимума функции $f$ является также и точкой её локального максимума.

Всякая точка строгого локального минимума функции $f$ является также и точкой её локального минимума.

Теорема

Если функция имеет экстремум в точке $x_0$, то её производная в этой точке либо равна $0$, либо не существует.

Определение

Точка $x_0$, в которой $f'(x_0)$ равно нулю или не существует, называется критической точкой функции $f(x)$.

Таким образом, все точки экстремума функции $f(x)$ являются и её критическими точками. Обратное, вообще говоря, не верно.