Подобие треугольников и пропорциональные отрезки

Теорема 1:

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

 

Доказательство:

Докажем сначала лемму: Если в $\triangle OBB_1$ через середину $A$ стороны $OB$ проведена прямая $a\parallel BB_1$, то она пересечет сторону $OB_1$ также в середине.

 

Через точку $B_1$ проведем $l\parallel OB$. Пусть $l\cap a=K$. Тогда $ABB_1K$ — параллелограмм, следовательно, $B_1K=AB=OA$ и $\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1$. Значит, по второму признаку $\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1$. Лемма доказана.

 

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть $OA=AB=BC$, $a\parallel b\parallel c$ и нужно доказать, что $OA_1=A_1B_1=B_1C_1$.

 

Таким образом, по данной лемме $OA_1=A_1B_1$. Докажем, что $A_1B_1=B_1C_1$. Проведем через точку $B_1$ прямую $d\parallel OC$, причем пусть $d\cap a=D_1, d\cap c=D_2$. Тогда $ABB_1D_1, BCD_2B_1$ — параллелограммы, следовательно, $D_1B_1=AB=BC=B_1D_2$. Значит, по первому признаку $\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1$.

 

Теорема Фалеса:

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

 

Доказательство:

Пусть параллельные прямые $p\parallel q\parallel r\parallel s$ разбили одну из прямых на отрезки $a, b, c, d$. Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки $ka, kb, kc, kd$ соответственно.

 

Проведем через точку $A_1$ прямую $p\parallel OD$ ($ABB_2A_1$ — параллелограмм, следовательно, $AB=A_1B_2$). Тогда $\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2$ по двум углам. Следовательно, $\dfrac{OA}{A_1B_2}=\dfrac{OA_1}{A_1B_1} \Rightarrow A_1B_1=kb$.

 

Аналогично проведем через $B_1$ прямую $q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc$ и т.д.

 

Наиболее часто встречающиеся подобия треугольников:

 

Теорема 2.

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник.

 

Доказательство:

Т.к. средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон, то $\dfrac{AB}{A_1B}=\dfrac{CB}{C_1B}=2$.

 

Таким образом, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними ($\angle B$ — общий) $\triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC$.

 

Теорема 3.

Треугольники, образованные диагоналями трапеции и основаниями, подобны.

 

Доказательство:

Т.к. $AD\parallel BC \Rightarrow \angle OBC=\angle ODA$. $\angle BOC=\angle AOD$ как вертикальные. Следовательно, по двум углам $\triangle BOC\sim \triangle AOD$.

 

Теорема 4.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника.

 

Доказательство:

Обозначим $\angle ACH=\alpha, \angle BCH=\beta$, т.е. $\alpha+\beta=90^\circ$. Тогда $\angle CAH=90^\circ-\alpha=\beta, \angle CBH=90^\circ-\beta=\alpha$.

 

Следовательно, по двум углам $\triangle ACH\sim \triangle BCH\sim ABC$.

 

Теорема 5.

Отрезки, соединяющие основания высот треугольника, отсекают от него подобные ему треугольники.

 

Эти отрезки также являются биссектрисами углов треугольника, вершинами которого являются основания данных высот.
 

 

 

Доказательство:

1) Рассмотрим четырехугольник $AC_1A_1C$ — около него можно описать окружность, т.к. $\angle AC_1C=\angle AA_1C$. Таким образом, $\angle CAA_1=\angle CC_1A_1=x$, т.к. опираются на одну и ту же хорду $A_1C$. Таким образом $\angle ACA_1=90^\circ-x, \angle BC_1A_1=90^\circ-x \Rightarrow \angle ACA_1=\angle BC_1A_1$.

 

Значит, по двум углам $\triangle A_1BC_1\sim \triangle ABC$ ($\angle B$ — общий).

 

Аналогично доказывается, что $\triangle AB_1C_1\sim \triangle ABC, \triangle A_1B_1C\sim \triangle ABC$.

 

2) Докажем, что $AA_1, BB_1, CC_1$ – биссектрисы углов $A_1, B_1, C_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$ соответственно.

 

Обозначим $\angle BC_1A_1=\angle B_1C_1A=\alpha$. Тогда $\angle A_1C_1C=90^\circ -\alpha=\angle B_1C_1C$. Значит, $CC_1$ – биссектриса угла $C_1$.

 

Аналогично доказывается про $AA_1$ и $BB_1$.

 

Теорема 6.

Если к окружности из одной точки вне окружности проведены две секущие, то:

 

Доказательство:

Четырехугольник $ABA_1B_1$ описанный, следовательно, $\angle BAB_1+\angle BA_1B_1=180^\circ \Rightarrow \angle OA_1B_1=180^\circ-\angle BA_1B_1=\angle BAB_1$.

 

Таким образом, по двум углам ($\angle O$ — общий) $\triangle OAB\sim \triangle OA_1B_1$.

 

Теорема 7.

Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то:

 

Доказательство:

Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то $\angle OKA=\frac12 \buildrel\smile\over{KA}=\angle KBA$.

 

Следовательно, по двум углам ($\angle O$ — общий) $\triangle OKA\sim \triangle OKB$.

 

Теорема 8.

Если в окружности две хорды пересекаются, то:

 

Доказательство:

$\angle A_1AB_1=\angle A_1BB_1$, т.к. опираются на одну и ту же дугу. $\angle A_1CB=\angle B_1CA$, т.к. они вертикальные. Следовательно, по двум углам $\triangle A_1BC\sim \triangle B_1C$.

 

Аналогично $\triangle ABC\sim \triangle A_1B_1C$.