Параллелограмм

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

 

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 

Доказательство

Пусть в четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны и $AB = CD$.

 

Проведём диагональ $AC$, разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: $ABC$ и $CDA$. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ($AC$ – общая сторона, $AB = CD$ по условию, $\angle 1 = \angle 2$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$), поэтому $\angle 3 = \angle 4$. Но углы $3$ и $4$ накрест лежащие при пересечении прямых $AD$ и $BC$ секущей $AC$, следовательно, $AD\parallel BC$. Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник $ABCD$ – параллелограмм.

 

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 

Доказательство

Проведём диагональ $AC$ данного четырехугольника $ABCD$, разделяющую его на треугольники $ABC$ и $CDA$.

 

Эти треугольники равны по трем сторонам ($AC$ – общая, $AB = CD$ и $BC = DA$ по условию), поэтому $\angle 1 = \angle 2$ – накрест лежащие при $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Отсюда следует, что $AB\parallel CD$. Так как $AB = CD$ и $AB\parallel CD$, то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм.

 

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам.

 

Треугольники $AOB$ и $COD$ равны по первому признаку равенства треугольников ($AO = OC$, $BO = OD$ по условию, $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы), поэтому $AB = CD$ и $\angle 1 = \angle 2$. Из равенства углов $1$ и $2$ (накрест лежащие при $AB$ и $CD$ и секущей $AC$) следует, что $AB\parallel CD$.

Итак, в четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник $ABCD$ – параллелограмм.

 

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

 

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

 

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

 

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

 

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

 

Доказательство

1) Пусть $ABCD$ – параллелограмм, $AE$ – биссектриса угла $BAD$.

 

Углы $1$ и $2$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AE$. Углы $1$ и $3$ равны, так как $AE$ – биссектриса. В итоге $\angle 3 = \angle 1 = \angle 2$, откуда следует, что треугольник $ABE$ – равнобедренный.

 

2) Пусть $ABCD$ – параллелограмм, $AN$ и $BM$– биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно.

 

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^{\circ}$, тогда $\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}$.

 

Так как $AN$ и $BM$ – биссектрисы, то $\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^{\circ}$, откуда $\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ$.

 

3. Пусть $AN$ и $CM$ – биссектрисы углов параллелограмма $ABCD$.

 

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то $\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1$. Кроме того, углы $1$ и $3$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $CM$, тогда $\angle 2 = \angle 3$, откуда следует, что $AN\parallel CM$. Кроме того, $AM\parallel CN$, тогда $ANCM$ – параллелограмм, следовательно, $AN = CM$.