Подобие треугольников. Средняя линия треугольника

$${\Large{\text{Подобие треугольников}}}$$

Определения

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
(стороны называются сходственными, если они лежат напротив равных углов).

 

Коэффициент подобия (подобных) треугольников – это число, равное отношению сходственных сторон этих треугольников.

 

Определение

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

 

Теорема

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

 

Доказательство

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со сторонами $a,b,c$ и $a_1, b_1, c_1$ соответственно (см. рисунок выше).

 

Тогда $P_{ABC}=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_{A_1B_1C_1}$

 

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 

Доказательство

Пусть треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, причём $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = k$. Обозначим буквами $S$ и $S_1$ площади этих треугольников соответственно.

 

Так как $\angle A = \angle A_1$, то $\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}$ (по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу).

 

Так как $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = k$, то $\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{AB}{A_1B_1}\cdot\dfrac{AC}{A_1C_1} = k\cdot k = k^2$, что и требовалось доказать.  

$${\Large{\text{Признаки подобия треугольников}}}$$

Теорема (первый признак подобия треугольников)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

Доказательство

Пусть $ABC$ и $A_1B_1C_1$ – треугольники такие, что $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Тогда по теореме о сумме углов треугольника $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1$, то есть углы треугольника $ABC$ соответственно равны углам треугольника $A_1B_1C_1$.

 

Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}$ и $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot BC}{A_1B_1\cdot B_1C_1}$.

 

Из этих равенств следует, что $\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1}$.

 

Аналогично доказывается, что $\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{AB}{A_1B_1}$ (используя равенства $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$).

 

В итоге, стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

 

Теорема (второй признак подобия треугольников)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 

Доказательство

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$, таких что $\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$, $\angle BAC = \angle A'$. Докажем, что треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ – подобны. Учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно показать, что $\angle B = \angle B'$.

 

Рассмотрим треугольник $ABC''$, у которого $\angle 1 = \angle A'$, $\angle 2 = \angle B'$. Треугольники $ABC''$ и $A'B'C'$ подобны по первому признаку подобия треугольников, тогда $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC''}{A'C'}$.

 

С другой стороны, по условию $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'}$. Из последних двух равенств следует, что $AC = AC''$.

 

Треугольники $ABC$ и $ABC''$ равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, $\angle B = \angle 2 = \angle B'$.

 

Теорема (третий признак подобия треугольников)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

Доказательство

Пусть стороны треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ пропорциональны: $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'}$. Докажем, что треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны.

 

Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что $\angle BAC = \angle A'$.

 

Рассмотрим треугольник $ABC''$, у которого $\angle 1 = \angle A'$, $\angle 2 = \angle B'$.

 

Треугольники $ABC''$ и $A'B'C'$ подобны по первому признаку подобия треугольников, следовательно, $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC''}{B'C'} = \dfrac{C''A}{C'A'}$.

 

Из последней цепочки равенств и условия $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'}$ вытекает, что $BC = BC''$, $CA = C''A$.

 

Треугольники $ABC$ и $ABC''$ равны по трем сторонам, следовательно, $\angle BAC = \angle 1 = \angle A'$.

 

$${\Large{\text{Теорема Фалеса}}}$$

Теорема

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

 

Доказательство

Докажем сначала лемму: Если в $\triangle OBB_1$ через середину $A$ стороны $OB$ проведена прямая $a\parallel BB_1$, то она пересечет сторону $OB_1$ также в середине.

 

Через точку $B_1$ проведем $l\parallel OB$. Пусть $l\cap a=K$. Тогда $ABB_1K$ — параллелограмм, следовательно, $B_1K=AB=OA$ и $\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1$; $\angle AA_1O=\angle KA_1B_1$ как вертикальные. Значит, по второму признаку $\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1$. Лемма доказана.

 

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть $OA=AB=BC$, $a\parallel b\parallel c$ и нужно доказать, что $OA_1=A_1B_1=B_1C_1$.

 

Таким образом, по данной лемме $OA_1=A_1B_1$. Докажем, что $A_1B_1=B_1C_1$. Проведем через точку $B_1$ прямую $d\parallel OC$, причем пусть $d\cap a=D_1, d\cap c=D_2$. Тогда $ABB_1D_1, BCD_2B_1$ — параллелограммы, следовательно, $D_1B_1=AB=BC=B_1D_2$. Таким образом, $\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2$ как вертикальные, $\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1$ как накрест лежащие, и, значит, по второму признаку $\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1$.

 

Теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

 

Доказательство

Пусть параллельные прямые $p\parallel q\parallel r\parallel s$ разбили одну из прямых на отрезки $a, b, c, d$. Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки $ka, kb, kc, kd$ соответственно, где $k$ – некоторое число, тот самый коэффициент пропорциональности отрезков.

 

Проведем через точку $A_1$ прямую $p\parallel OD$ ($ABB_2A_1$ — параллелограмм, следовательно, $AB=A_1B_2$). Тогда $\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2$ по двум углам. Следовательно, $\dfrac{OA}{A_1B_2}=\dfrac{OA_1}{A_1B_1} \Rightarrow A_1B_1=kb$.

Аналогично проведем через $B_1$ прямую $q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc$ и т.д.

 

$${\Large{\text{Средняя линия треугольника}}}$$

Определение

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника.

 

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

 

Доказательство

1) Параллельность средней линию основанию следует из доказанной выше леммы.

 

2) Докажем, что $MN=\dfrac12 AC$.

 

Через точку $N$ проведем прямую параллельно $AB$. Пусть эта прямая пересекла сторону $AC$ в точке $K$. Тогда $AMNK$ — параллелограмм ($AM\parallel NK, MN\parallel AK$ по предыдущему пункту). Значит, $MN=AK$.

 

Т.к. $NK\parallel AB$ и $N$ – середина $BC$, то по теореме Фалеса $K$ – середина $AC$. Следовательно, $MN=AK=KC=\dfrac12 AC$.

 

Следствие

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному с коэффициентом $\frac12$.