Длина дуги окружности. Площадь кругового сектора

Определения

Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудалённых от некоторой точки (называемой центром окружности).

 

Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности и точку на окружности. Иногда радиусом окружности называют длину этого отрезка.

 

Дуга окружности – это часть окружности, заключённая между двумя точками на окружности.

 

Круг (радиуса $R\,$) – это множество всех точек плоскости, удалённых от некоторой точки на расстояние меньшее или равное $R > 0$.

 

Круговой сектор – это часть круга, ограниченная дугой (называемой дугой сектора) и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

 

Теорема (рис. 1)

Длина окружности радиуса $R$ равна $C=2\pi R$.

Длина дуги окружности радиуса $R$ равна $C_{\alpha}=2\pi R\cdot\dfrac{\alpha}{360}$, где $\alpha^\circ$ – градусная мера этой дуги.

 

Теорема (рис. 2)

Площадь круга радиуса $R$ равна $S=\pi R^{\,2}$.

Площадь кругового сектора круга радиуса $R$ равна $S_{\alpha}=\pi R^{\,2}\cdot\dfrac{\alpha}{360}$, где $\alpha^\circ$ – градусная мера дуги сектора.

 

Доказательство

1) Т.к. градусная мера всей окружности равна $360^\circ$, то длина дуги в $1^\circ$ равна $\dfrac1{360}$ части от всей окружности: $$C_{1^\circ}=2\pi R\cdot \dfrac1{360}$$

Тогда длина дуги в $\alpha^\circ$ равна $C_{\alpha}=2\pi R\cdot\dfrac{\alpha}{360}$.

 

2) Аналогично.