Рациональные (обыкновенные) дроби и действия с ними. Простые числа

Факт 1.
$\bullet$ Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ – это числа $1, \ 2, \ 3, \ 4 \ $ и т.д.
$\bullet$ Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ состоит из натуральных чисел, противоположных им ($-1, \ -2, \ -3$ и т.д.) и нуля $0$.
$\bullet$ Рациональные числа $\mathbb{Q}$ – числа вида $\dfrac ab$, где $a\in \mathbb{Z}$, $b\in \mathbb{N}$ (обыкновенные дроби).   Таким образом, существует включение: $\mathbb{N}$ содержится в $\mathbb{Z}$, а $\mathbb{Z}$ содержится в $\mathbb{Q}$.
Это просто термины, которые стоит запомнить, чтобы правильно понимать условия задач.  

Факт 2.
Таблица умножения: 
Заметим, что любое целое число можно представить в виде дроби. Например, $3=\dfrac31$.
Также напоминаем, что при умножении на любое число (не равное нулю) числителя и знаменателя дроби значение этой дроби не меняется. Например, $\dfrac31=\dfrac62=\dfrac93$ и т.п.  

Факт 3.
$\bullet$ Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два делителя: $1$ и само это число.
Пример: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ и т.д.
Заметим, что число $1$ не является простым, так как делится только на $1$, то есть имеет ровно один делитель.
$\bullet$ Признак делимости на $2$: число $a$ делится на $2$, если оно заканчивается на $0,2,4,6$ и $8$. Например, числа $56$ и $900$ делятся на $2$, а числа $71$ и $1973$ не делятся на $2$. Числа, делящиеся на $2$, называются четными; числа, не делящиеся на $2$, называют нечетными.
Признак делимости на $3$: число $a$ делится на $3$, если его сумма цифр делится на $3$. Например, числа $198$ и $105$ делятся на $3$, а числа $179$ и $5869$ не делятся на $3$.
Признак делимости на $5$: число $a$ делится на $5$, если оно заканчивается на $5$ или на $0$. Например, числа $505$ и $160$ делятся на $5$, а число $367$ не делится на $5$.
Признак делимости на $9$: число $a$ делится на $9$, если его сумма цифр делится на $9$. Например, числа $198$ и $108$ делятся на $9$, а числа $149$ и $5109$ не делятся на $9$.
Признак делимости на $10$: число $a$ делится на $10$, если оно заканчивается на $0$. Например, числа $50$ и $160$ делятся на $10$, а число $367$ не делится на $10$.
$\bullet$ Разложение числа на простые множители – это запись этого числа в виде произведения простых чисел.
Пример: $4200=2^3\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7$.
Как разложить число на простые множители? Покажем на примере. Пусть нужно разложить число $4200$ на простые множители. Видим, что число $4200$ делится на $100$, причем $4200:100=42$. Следовательно, $4200=100\cdot 42$. Так как $100=10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5=2^2\cdot 5^2$, а $42=6\cdot 7=2\cdot 3\cdot 7$, то получаем: $$4200=2^2\cdot 5^2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^3\cdot 5^2\cdot 3\cdot 7$$ Разложение на простые множители используется при сокращении дробей.   $\bullet$ Сокращение дробей – деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример:   $\begin{aligned} &\dfrac{98}6=\dfrac{49\cdot 2\llap{/}}{3\cdot 2\llap{/}}=\dfrac{49}3\\[2ex] &\dfrac{4\cdot 14}{7\cdot 5}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7\llap{/}}{7\llap{/}\cdot 5}=\dfrac 85\\[2ex] &\dfrac{4\cdot 7}{5\cdot 6}=\dfrac {2\llap{/}\cdot 2\cdot 7}{5\cdot 3\cdot 2\llap{/}}=\dfrac{14}{15}\end{aligned}$   Заметим, что если ответом к задаче является дробь, то она должна быть несократимой, то есть ее числитель и знаменатель не должны иметь общих делителей. Например, будет неправильным записать ответ к задаче как $\dfrac{13}{65}$. Нужно заметить, что $65=13\cdot 5$, следовательно, $$\dfrac{13}{65}=\dfrac{13\llap{/}}{5\cdot 13\llap{/}}=\dfrac15$$ То есть правильным ответом будет $\dfrac15$.  

Факт 4.
$\bullet$ Правила сложения дробей: Значит, когда мы складываем две дроби с одинаковыми знаменателями, мы получаем дробь, у которой :
– знаменатель остается таким же;
– числитель равен сумме числителей этих двух дробей.
Точно так же мы поступаем и с разностью двух дробей. Значит, когда мы складываем две дроби с разными знаменателями, мы:
– приводим их к одинаковому знаменателю, домножив первую дробь на знаменатель второй, а вторую – на знаменатель первой;
– таким образом мы получаем две дроби с одинаковыми знаменателями и их можно сложить как дроби с одинаковыми знаменателями (то есть пользуясь первой формулой).
Это первый, более сложный способ сложения двух дробей с разными знаменателями. Второй способ, который упрощает вычисления и тем самым уменьшает вероятность допустить вычислительную ошибку, будет показан чуть позже
Примеры:   1) $\dfrac {31}6+\dfrac {67}6=\dfrac{31+67}6=\dfrac{98}6$   2) $\dfrac{17}2-\dfrac{11}2=\dfrac{17-11}2=\dfrac62$   3) $\dfrac12+\dfrac{11}3=\dfrac{1\cdot 3+11\cdot 2}{2\cdot 3}=\dfrac{25}{6}$   $\bullet$ Правила умножения дробей: Если мы умножаем две дроби, то мы получаем дробь, у которой:
– числитель равен произведению числителей двух дробей;
– знаменатель равен произведению знаменателей двух дробей.   Пример: $\dfrac 47\cdot \dfrac{14}5=\dfrac{4\cdot 14}{7\cdot 5}$   $\bullet$ Правила деления дробей: Данное правило часто называют так: <<чтобы разделить одну дробь на вторую, нужно первую дробь умножить на “перевернутую” вторую>>.   Пример:   1) $\dfrac 45 :\dfrac 67=\dfrac 45\cdot \dfrac 76$;   2) $\dfrac 12:3=\dfrac12:\dfrac31=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16$   $\bullet$ Для того, чтобы перевести дробь смешанную дробь, например, $4\dfrac{5}{11}$, в неправильную, нужно проделать следующие действия: $$4+\dfrac5{11}=\dfrac41+\dfrac5{11}=\dfrac{4\cdot 11+5}{11}=\dfrac{49}{11}$$
$\bullet$ Разложение чисел на простые множители, помимо сокращения дробей, необходимо для того, чтобы наиболее оптимально приводить дроби к общему знаменателю (общий знаменатель – число, которое делится на знаменатель каждой дроби).
Пусть нам нужно привести две дроби $\dfrac1{21}$ и $\dfrac1{15}$ к общему знаменателю. По правилу из Факта 3 можно просто перемножить их знаменатели и получить дроби $\dfrac{15}{21\cdot 15}$ и $\dfrac{21}{15\cdot 21}$.   Но тогда общий знаменатель этих дробей получается достаточно большим: $15\cdot 21=315$.   Покажем другой оптимальный способ приведения дробей к общему знаменателю. Так как $21=7\cdot 3$ и $15=3\cdot 5$, то наименьшее число, которое делится и на $21$, и на $15$ – это $7\cdot 3\cdot 5=105$. Следовательно, это и есть их наименьший общий знаменатель. Для того, чтобы дробь $\dfrac1{21}$ имела знаменатель $105$, нужно умножить ее числитель и знаменатель на $5$; для того, чтобы дробь $\dfrac1{15}$ имела знаменатель $105$, нужно умножить ее числитель и знаменатель на $7$. Таким образом, получаем: $\dfrac1{21}=\dfrac5{105}$ и $\dfrac1{15}=\dfrac7{105}$.   Покажем еще один пример, демонстрирующий, что не всегда удобно и нужно раскладывать знаменатели прямо до простых множителей. Пусть нам нужно сложить дроби $\dfrac1{49}$ и $\dfrac1{98}$. Замечаем,что $98=2\cdot 49$ (для того, чтобы это заметить, нужно хорошо выучить таблицу умножения и потренировать устный счет ). Тогда можно записать $\dfrac1{49}$ и $\dfrac1{2\cdot 49}$. Следовательно, для того, чтобы у дробей стали одинаковые знаменатели, нужно всего лишь домножить первую дробь на $2$: $\dfrac2{2\cdot 49}$ и $\dfrac1{2\cdot 49}$.   А теперь представьте, что вы пользуетесь первым способом. Тогда ваш общий знаменатель будет равен $49\cdot 98=4802$! Неудобно, верно?