Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Алгебраические уравнения степени n. Примеры

Определение

 

Рассмотрим произвольное уравнение вида

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0 \qquad \qquad (1)$$

где $a_n, a_{n-1},\dots,a_0$ – некоторые числа, причем $a_n\ne 0$, называемое алгебраическим уравнением (с одной переменной) $n$-ой степени.

 

Обозначим $P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$. Таким образом, сокращенно уравнение $(1)$ можно записать в виде $P_n(x)=0$.

 

Замечание

 

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна $2$, а линейное — степень которого равна $1$.
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

 

Теорема

 

Если уравнение $(1)$ имеет корень $x=x_0$, то оно равносильно уравнению

$$(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)=0$$

где $P_{n-1}(x)$ – некоторый многочлен степени $n-1$.

 

Для того, чтобы найти $P_{n-1}(x)$, необходимо найти частное от деления многочлена $P_n(x)$ на $(x-x_0)$
(т.к. $P_n(x)=(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)$).

 

Следствие: количество корней уравнения

 

Любое алгебраическое уравнение степени $n$ может иметь не более $n$ корней.

 

Замечание

 

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.

 

Для того, чтобы найти частное от деления одного многочлена на другой, удобно пользоваться следующим способом, который мы рассмотрим на примере.

 

Пример

 

Известно, что $x=2$ является корнем уравнения $2x^3-9x^2+x^4-x+6=0$. Найдите частное от деления $2x^3-9x^2+x^4-x+6$ на $x-2$.

 

Решение.
Будем делить многочлен на многочлен в столбик. Запишем

$$\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ &&\\ \end{array}$$

Заметим, что записывать слагаемые в делимом необходимо по убыванию их степеней: в данном случае сначала $x^4$, затем $2x^3$ и т.д.
Подбирать слагаемые в частном будем таким образом, чтобы при вычитании уничтожить сначала четвертую степень, затем третью и т.д.
Т.к. делитель $x-2$ состоит из двух слагаемых, то при делении в столбик будем сносить по два слагаемых.

 

Посмотрим, на что необходимо домножить $x-2$, чтобы после вычитания из $x^4+2x^3$ полученного многочлена уничтожилось слагаемое $x^4\,$.
На $x^3$. Тогда после вычитания $x^4+2x^3-x^3(x-2)$ останется $4x^3$. Снесем слагаемое $-9x^2$:

$$\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{000000000000}&&\negthickspace \quad x^3\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{0000000}&&\\ \end{array}$$

Теперь посмотрим, на что необходимо домножить $x-2$, чтобы после вычитания из $4x^3-9x^2$ полученного многочлена уничтожилось слагаемое $4x^3$.
На $4x^2$: $\quad 4x^3-9x^2-4x^2(x-2)=-x^2$.
Опять снесем следующее слагаемое $-x$:

 

$$\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{0000000}&&\\ \underline{4x^3 - 8x^2\,}\;\phantom{000000}&&\\[-3pt] -x^2 - x\phantom{000}\;&&\\ \end{array}$$

Рассуждая аналогично, определяем, что третье слагаемое в частном должно быть $-x$

$$\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{0000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2-x\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{00000000}&&\\ \underline{4x^3 - 8x^2\,}\phantom{0000000}\;\;&&\\[-3pt] -x^2 - \,x\phantom{0000}\;&&\\ \underline{-x^2+2x}\,\phantom{000}\;&&\\[-3pt] -\;3x+6&&\\ \end{array}$$

Четвертое слагаемое в частном должно быть $-3$:

$$\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{0000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2-x-3\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{00000000}&&\\ \underline{4x^3 - 8x^2\,}\phantom{0000000}\;\;&&\\[-3pt] -x^2 - \,x\phantom{0000}\;&&\\ \underline{-x^2+2x}\,\phantom{000}\;&&\\[-3pt] -\;3x+6&&\\ \underline{-\;3x+6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}$$

Таким образом, можно сказать, что $x^4+2x^3-9x^2-x+6=(x-2)(x^3+4x^2-x-3)$.

 

Замечание

 

1) Если $x=x_0$ действительно является корнем уравнения, то после такого деления в остатке должен быть $0$. В противном случае это означает, что деление в столбик выполнено неверно.

 

2) Если многочлен делится без остатка (то есть остаток равен $0$) на $x+a$, то он также будет делиться без остатка на $c(x+a)$ для любого числа $c\ne 0$. Например, в нашем случае, если бы мы поделили многочлен, к примеру, на $2x-4$, то получили бы в частном $\frac12 x^3+2x^2-\frac12x-\frac32$.
Заметим, что также происходит и с числами: если мы разделим $10$ на $2$, то получим $5$; а если разделим $10$ на $3\cdot 2$, то получим $\frac53$.

 

3) Деление в столбик помогает найти другие корни уравнения: теперь для того, чтобы найти остальные корни уравнения $x^4+2x^3-9x^2-x+6=0$, необходимо найти корни уравнения $x^3+4x^2-x-3=0$.
Поэтому рассмотрим несколько фактов, часто помогающих подобрать корни алгебраического уравнения.

 

Теорема

 

Если число $x=1$ является корнем уравнения $(1)$, то сумма всех коэффициентов уравнения равна нулю:

$$a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0=0$$

Доказательство

 

Действительно, так как $x=1$ является корнем уравнения $(1)$, то после подстановки $x=1$ в него мы получим верное равенство. Так как $1$ в любой степени равен $1$, то слева мы действительно получим сумму коэффициентов $a_i$, которая будет равна нулю.

 

Пример

 

У уравнения $x^2-6x+5=0$ сумма коэффициентов равна нулю: $1-6+5=0$. Следовательно, $x=1$ является корнем этого уравнения. Это можно проверить просто подстановкой: $1^2-6\cdot 1+5=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0$.

 

Теорема

 

Если число $x=-1$ является корнем уравнения $(1)$, то сумма коэффициентов при четных степенях $x$ равна сумме коэффициентов при нечетных степенях $x$.

 

Доказательство

 

1) Пусть $n$ – четное. Подставим $x=-1$:

$a_n\cdot (-1)^n+a_{n-1}\cdot (-1)^{n-1}+a_{n-2}\cdot (-1)^{n-2}+\dots+a_1\cdot (-1)+a_0=0 \quad\Rightarrow$   $a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-\dots-a_1+a_0=0 \quad \Rightarrow$   $a_n+a_{n-2}+\dots+a_0=a_{n-1}+a_{n-3}+\dots+a_1$

 

2) Случай, когда $n$ – нечетное, доказывается аналогично.

 

Пример

 

В уравнении $x^3+2x^2-8x+5=0$ сумма коэффициентов равна нулю:

$$1+2-8+5=0$$

Значит, число $x=1$ является корнем данного уравнения.

 

Можно разделить в столбик $x^3+2x^2-8x+5$ на $x-1$:

$$\begin{array}{rr|l} x^3+2x^2-8x+5&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{x^3-\ x^2\,} \phantom{00000000}&&\negthickspace \quad x^2 + 3x -5\\[-3pt] 3x^2 - 8x\,\phantom{000}&&\\ \underline{3x^2 - 3x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] -5x + 5&&\\ \underline{-5x +5}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}$$

Таким образом, $x^3+2x^2-8x+5=(x-1)(x^2 + 3x -5)$. Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения $x^2+3x-5=0$.

 

А это $x_{1,2}=-\dfrac 32\pm \dfrac{\sqrt{29}}2$.

 

Таким образом мы нашли все корни исходного уравнения.

 

Пример

 

В уравнении $x^3-x^2+x+3=0$ сумма коэффициентов при четных степенях $-1+3=2$, а при нечетных: $1+1=2$. Таким образом, число $x=-1$ является корнем данного уравнения.

 

Можно разделить в столбик $x^3-x^2+x+3$ на $x+1$:

$$\begin{array}{rr|l} x^3-\,x^2+ \ x+3\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x+1 \qquad}\\ \underline{x^3+x^2\;} \phantom{00000000}&&\negthickspace \quad x^2 -2x +3\\[-3pt] -2x^2 + x\phantom{0000}&&\\ \underline{-2x^2 -\! 2x}\,\phantom{000}&&\\[-3pt] 3x + 3&&\\ \underline{3x +3}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}$$

Таким образом, $x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2 - 2x +3)$. Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения $x^2-2x+3=0$.
Но это уравнение не имеет корней ($D<0$), значит, исходное уравнение имеет всего один корень $x=-1$.

 

Замечание

 

Подбор корней таким образом, деление в столбик и разложение многочлена на множители помогают найти корни уравнения.

 

Существует еще одна очень важная теорема, позволяющая подобрать рациональный корень алгебраического уравнения, если таковой имеется.

 

Теорема

 

Если алгебраическое уравнение

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0,$$ где $a_n, \dots, a_0$ — целые числа,
имеет рациональный корень $x=\dfrac pq$, то число $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а число $q$ — делителем старшего коэффициента $a_n$.

 

Пример

 

Рассмотрим уравнение $2x^4-5x^3-x^2-5x-3=0$.

 

В данном случае $a_0=-3, a_n=2$. Делители числа $-3$ — это $\pm 1, \pm 3$. Делители числа $2$ – это $\pm 1, \pm 2$. Комбинируя из полученных делителей дроби, получаем все возможные варианты рациональных корней:

$$\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32$$

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что $\pm1$ не являются корнями. Подставив $x=-\dfrac12$ в уравнение, получим:

$$2\cdot \dfrac1{16}+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0$$

Значит, число $x=-\frac12$ является корнем уравнения.

 

Можно перебрать остальные варианты: таким образом мы найдем еще один рациональный корень уравнения $x=3$. Значит, уравнение можно представить в виде

$$\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text{или}\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0$$ (тогда $P_2(x)=\frac12 Q_2(x)$). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями.

 

После деления в столбик $2x^4-5x^3-x^2-5x-3$ на $(2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3$:

$$\begin{array}{rr|l} 2x^4-5x^3-\ x^2-5x-3\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad 2x^2-5x-3 \qquad}\\ \underline{2x^4-5x^3-3x^2\;} \phantom{00000000}&&\negthickspace \qquad x^2+0x+1\\[-3pt] 0x^3 +2x^2-5x\phantom{0000}&&\\ \underline{0x^3 + 0x^2+0x}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 2x^2 - 5x-3\,&&\\ \underline{2x^2-5x-3}\;&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}$$

получим, что $P_2(x)=x^2+1$. Данный многочлен не имеет корней, значит, уравнение имеет только два корня: $x=-\frac12$ и $x=3$.

 

Замечание

 

Заметим, что если, пользуясь предыдущей схемой, не удалось подобрать рациональный корень уравнения, это вовсе не значит, что уравнение не имеет корней.
Например, уравнение $x^3-2=0$ имеет корень — это $x=\sqrt[3]2$, и он не рациональный.
Для подбора иррациональных корней не существует универсального алгоритма.

 

Пример

 

Найдите корни уравнения $4x^3-3x^2-\frac{23}6x-1=0$.

 

Заметим, что в данном уравнении не все коэффициенты – целые числа (коэффициент при $x$ равен $-\frac{23}6$). Но мы можем преобразовать данное уравнение к нужному нам виду: необходимо умножить правую и левую части уравнения на $6$:

$$24x^3-18x^2-23x-6=0$$
Делители свободного члена: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Делители старшего коэффициента: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$.
Получилось достаточно много $:)$
Выпишем некоторые возможные рациональные корни уравнения:

$$\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm \dfrac13, \ \pm \dfrac 16, \ \pm\dfrac18, \ \pm2, \ \pm\dfrac23, \ \pm \dfrac14, \ \pm3\quad \text{\small{и т.д.}}$$

Перебирая варианты, убеждаемся, что $\frac32$ подходит. Значит, многочлен $24x^3-18x^2-23x-6$ должен без остатка поделиться на $x-\frac32$. Для удобства разделим на $2(x-\frac32)=2x-3$ (чтобы не работать с дробями):

$$\begin{array}{rr|l} 24x^3-18x^2-23x-6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad 2x-3 \qquad}\\ \underline{24x^3-36x^2}\;\; \phantom{000000000}&&\negthickspace \quad 12x^2 +9x +2\\[-3pt] 18x^2 -23x\phantom{0000}&&\\ \underline{18x^2 -27x}\,\;\phantom{000}&&\\[-3pt] 4x -6&&\\ \underline{4x -6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}$$

Таким образом, $24x^3-18x^2-23x-6=(2x-3)(12x^2 +9x +2)$. Уравнение $12x^2 +9x +2=0$ в свою очередь корней не имеет. Значит, $x=\frac32$ – единственный корень исходного уравнения.

 

 

Теорема

 

Любой многочлен $P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ можно разложить на произведение множителей: линейных ($ax+b, a\ne 0$) и квадратичных ($cx^2+px+q, c\ne 0$) с отрицательным дискриминантом.

 

Следствие

 

Кубическое уравнение $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ всегда имеет как минимум один вещественный корень, т.к. его левую часть всегда можно представить как

$$Ax^3+Bx^2+Cx+D=A(x+r)(x^2+px+q)=0$$

Замечание

 

На самом деле, такой вывод можно сделать о любом алгебраическом уравнении нечетной степени. Но, как правило, в школьном курсе математики крайне редко встречаются уравнения степени выше $4$.