Некоторые известные типы рациональных уравнений

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды рациональных уравнений.

 

 

 

$\color{red}{I.}$ Уравнения вида $x+\dfrac1x=a$, где $a$ – число.

 

Способ решения данных уравнений — это перенос всех слагаемых в одну сторону и приведение к общему знаменателю:

$$x+\dfrac 1x-a=0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^2-ax+1}x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2-ax+1=0\\ x\ne 0 \end{cases}$$

Заметим, что первое уравнение системы никогда не будет иметь решением $x=0$ (т.к. тогда мы имеем $1=0$, что неверно), значит, в уравнениях такого вида автоматически выполняется условие $x\ne 0$.

 

Утверждение

 

Выражение $x+\dfrac 1x$ при всех $x>0$ больше или равно $2$, а при всех $x<0$ — меньше или равно $-2$.
Иными словами, при всех $x\ne 0$

$$\left|x+\dfrac1x\right|\geqslant 2$$

Доказательство

 

1) Пусть $x>0$. Докажем, что $x+\dfrac 1x\geqslant 2$. Рассмотрим выражение $x+\dfrac1x-2$:

$$x+\dfrac 1x-2=\dfrac{x^2-2x+1}x=\dfrac{(x-1)^2}x$$

Так как $x>0$ и любое выражение в квадрате неотрицательно, то есть $(x-1)^2\geqslant 0$, то вся полученная дробь $\geqslant 0$.
Следовательно, $\dfrac{(x-1)^2}x\geqslant 0$, откуда $x+\dfrac 1x\geqslant 2$.  

2) Пусть $x<0$. Докажем, что $x+\dfrac 1x\leqslant -2$. Поступим аналогичным образом:

$$x+\dfrac 1x+2=\dfrac{x^2+2x+1}x=\dfrac{(x+1)^2}x$$

Так как $x<0$ и любое выражение в квадрате неотрицательно, то есть $(x+1)^2\geqslant 0$, то вся полученная дробь $\leqslant 0$.
Следовательно, $\dfrac{(x+1)^2}x\leqslant 0$, откуда $x+\dfrac 1x\leqslant -2$.  

Замечание

 

1) $x+\dfrac1x=2$ тогда и только тогда, когда $x=1$;

 

2) $x+\dfrac 1x=-2$ тогда и только тогда, когда $x=-1$.

 

Следствие

 

Таким образом, уравнение I имеет решения тогда и только тогда, когда $|a|\geqslant 2$.

 

Замечание

 

Уравнения вида $f(x)+\dfrac 1{f(x)}=a$.

 

Данные уравнения с помощью замены $f(x)=t$ сводятся к уравнению I: $t+\dfrac 1t=a$.

 

$\color{red}{II.}$ Уравнения вида $Ax^4+Bx^3+Cx^2+Bx+A=0, \ A\ne 0$.

 

Заметим, что в данном уравнении $x=0$ никогда не является решением, т.к. иначе мы получим $A=0$, что исключено условием.
Значит, мы имеем право разделить левую и правую части уравнения на $x^2\ne 0$:

$$\begin{aligned} Ax^4+Bx^3+Cx^2+Bx+A=0 \quad \Leftrightarrow \quad Ax^2+Bx+C+\dfrac Bx+\dfrac A{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \\[2ex] &\Leftrightarrow A\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right)+B\left(x+\dfrac 1x\right) +C=0 \end{aligned}$$

Заметим, что $\left(x+\dfrac 1x\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot \dfrac 1x+\dfrac 1{x^2}=x^2+\dfrac 1{x^2}+2$, следовательно $x^2+\dfrac 1{x^2}=\left(x+\dfrac 1x\right)^2-2$.

 

Сделаем замену $x+\dfrac 1x=t$, причем $|t|\geqslant 2$. Тогда уравнение примет вид:

$$A(t^2-2)+Bt+C=0$$

Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$, решив которое, найдем $t$ и сделаем обратную замену, после чего найдем $x$.

 

Пример

 

Решить уравнение $6x^4-13x^3+12x^2-13x+6=0$.

 

Разделим на $x^2$ и перегруппируем слагаемые:

$$6\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right) -13\left(x+\dfrac 1x\right)+12=0$$

Пусть $x+\dfrac 1x=t \quad \Rightarrow \quad x^2+\dfrac 1{x^2}=t^2-2 \quad \Rightarrow$

$$6(t^2-2)-13t+12=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=0, \ t_2=\dfrac{13}6$$

Т.к. $|t|\geqslant 2$, то корень $t_1$ не подходит. Сделаем обратную замену:

 

$x+\dfrac 1x=\dfrac{13}6 \quad \Rightarrow x_1=\dfrac 32, \ x_2=\dfrac 23$.

 

Замечание

 

Если уравнение I имеет два различных корня, то они всегда будут взаимно обратными числами. То есть $\frac 32$ и $\frac 23$, $\frac 12$ и $2$ и т.д.
(напомним, что числа называются взаимно обратными, если их произведение равно $1$).

 

Следующее уравнение также можно отнести к возвратным уравнениям, потому что способ его решения аналогичен предыдущему примеру.

 

Пример

 

Решить уравнение $2x^4-15x^3+40x^2-45x+18=0$.

 

Заметим, что в данном уравнении $x=0$ не является корнем. Поэтому разделим правую и левую части уравнения на $x^2$:

$$2x^2-15x+40-\dfrac {45}x+\dfrac {18}{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\left(x^2+\dfrac 9{x^2}\right)-15\left(x+\dfrac 3x\right)+40=0$$

Сделаем замену $x+\dfrac 3x=t$, тогда $\left(x+\dfrac 3x\right)^2=x^2+6+\dfrac 9{x^2}$, значит, $x^2+\dfrac 9{x^2}=t^2-6$.

 

$$2(t^2-6) -15t+40=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &t=4\\ &t=\dfrac72 \end{aligned} \end{gathered} \right.$$

Сделаем обратную замену:

$$\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+\dfrac3x=4\\[4pt] &x+\dfrac3x=\dfrac72 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x^2-4x+3=0\\ &2x^2-7x+6=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=3\\ &x=1\\&x=2\\ &x=\frac32 \end{aligned} \end{gathered} \right.$$

Значит, ответ $x\in \Big\{1;\dfrac32;2;3\Big\}$.

 

Замечание

 

Уравнение из предыдущего примера можно отнести к типу уравнений, которые в общем виде записываются так:

$$Ax^4+Bx^3+Cx^2+kBx+k^2A=0$$

Пример

 

Решить уравнение $40x^4-78x^3-53x^2+78x+40=0$.

 

Заметим, что $x=0$ не является корнем данного уравнения, значит, разделим уравнение на $x^2$:

$$40x^2-78x-53+\dfrac{78}x+\dfrac{40}{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 40\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)-78\left(x-\dfrac1x\right)-53=0$$

Сделаем замену: $x-\dfrac 1x=t$; тогда $\left(x-\dfrac1x\right)^2=x^2-2+\dfrac 1{x^2}$, следовательно, $x^2+\dfrac1{x^2}=t^2+2$:

$$40(t^2+2)-78t-53=0 \quad \Leftrightarrow \quad 40t^2-78t+27=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=\dfrac32, \ t_2=\dfrac9{20}$$

Сделаем обратную замену:

$$\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x-\dfrac1x=\dfrac32\\[4pt] &x-\dfrac1x=\dfrac9{20} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x^2-3x-2=0\\ &20x^2-9x-20=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=2\\[4pt] &x=-\dfrac12\\[4pt] &x=\dfrac54\\[4pt] &x=-\dfrac45 \end{aligned} \end{gathered} \right.$$

Значит, ответ: $x\in \Big\{-\dfrac45; -\dfrac12; \dfrac54; 2\Big\}$.  
 

 

$\color{red}{III.}$ Уравнения вида $a\cdot f^2(x)+b\cdot f(x)\cdot g(x)+c\cdot g^2(x)=0$.

 

1) Проверим, являются ли корни уравнения $g(x)=0$ решением исходного уравнения. Если да – то запишем их в конечный ответ, а далее будем предполагать, что $g(x)\ne 0$ ни при каких $x$.

 

2) Теперь, когда $g(x)\ne 0$, разделим правую и левую части уравнения на $g^2(x)$:

$$a\cdot \dfrac{f^2(x)}{g^2(x)}+b\cdot \dfrac{f(x)g(x)}{g^2(x)}+c\cdot \dfrac{g^2(x)}{g^2(x)}=0 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^2+b\cdot \dfrac{f(x)}{g(x)}+c=0$$

 

С помощью замены $\dfrac{f(x)}{g(x)}=t$ данное уравнение сводится к квадратному:

$$at^2+bt+c=0,$$

решив которое, можно найти $t$, сделать обратную замену и найти $x$.

 

3) В дополнение к ответу из второго пункта не забываем записать ответ (если таковой имелся) из первого пункта.

 

Пример

 

Решить уравнение $6(x^2-16)^2+5(x^2-16)(x^2-7x+12)+(x^2-7x+12)^2=0$.

 

1) Будем делить правую и левую части на $(x^2-7x+12)^2$. Поэтому предварительно проверим, может ли $x^2-7x+12=0$, то есть являются ли корни этого уравнения корнями исходного уравнения.

$$x^2-7x+12=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=4, \ x_2=3$$

Подставим в исходное уравнение $x_1$: $6(16-16)^2+5(16-16)\cdot 0+0^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0$.

 

Значит, $x_1=4$ является решением исходного уравнения.

 

Аналогично проверим $x_2$: $6(9-16)^2+5(9-16)\cdot 0+0^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad 294=0$.

 

Значит, $x_2=3$ не является решением исходного уравнения.

 

Далее предполагаем, что $x^2-7x+12\ne 0$.

 

2) После деления уравнения на $(x^2-7x+12)^2$ получим следующее уравнение:

$$6\cdot \left(\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}\right)^2+5\cdot \dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}+1=0$$

Сделаем замену: $\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=t$, тогда:

$$6t^2+5t+1=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=-\dfrac12, \ t_2=-\dfrac 13$$

Сделаем обратную замену:  

$\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=-\dfrac12\\[4pt] &\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=-\dfrac13 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{3x^2-7x-20}{x^2-7x+12}=0\\[4pt] &\dfrac{4x^2-7x-36}{x^2-7x+12}=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow$  

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &3x^2-7x-20=0\\ &4x^2-7x-36=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x^2-7x+12\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=4\\[3pt] &x=-\dfrac53\\[3pt] &x=4\\[3pt] &x=-\dfrac94 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 4\\ x\ne 3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac53\\[3pt] &x=-\dfrac94 \end{aligned} \end{gathered} \right.$

 

3) Таким образом, ответ: $x\in \Big\{-\dfrac94; -\dfrac53; 4\Big\}$.  
 

 

$\color{red}{IV.}$ Уравнения вида $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=f(x)$.

 

Для данных уравнений нет конкретного способа решения. Как правило, для того, чтобы решить подобное уравнение, нужно разбить четыре скобки в левой части на две пары так, чтобы после перемножения скобок в каждой паре получилась “удобная” замена. Поэтому рассмотрим несколько примеров.

 

Пример

 

Решить уравнение $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24$.

 

Сгруппируем скобки так:

$$(x+1)(x+4)\cdot (x+2)(x+3)=24 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2+5x+4)\cdot (x^2+5x+6)=24$$

Сделаем замену $x^2+5x+4=t$. Тогда уравнение примет вид:

$$t\cdot (t+2)=24 \quad \Leftrightarrow \quad t^2+2t-24=0 \quad \Rightarrow t_1=-6, \ t_2=4$$

Сделаем обратную замену:

$$\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2+5x+4=-6\\ &x^2+5x+4=4 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2+5x+10=0\\ &x^2+5x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=0\\ &x=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.$$

Таким образом, $x\in \{-5;0\}$.

 

Замечание

 

Если бы мы просто раскрыли все скобки, то получили бы уравнение четвертой степени, для которого нет универсального способа решения.

 

Пример

 

Решить уравнение $(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)=4x^2$.

 

Сгруппируем скобки так:

$$(x-2)(x-4)\cdot (x-1)(x-8)=4x^2 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-6x+8)\cdot (x^2-9x+8)=4x^2$$

Заметим, что в данном уравнении $x=0$ не является решением, следовательно, можно разделить правую и левую части уравнения на $x^2$:

$$\dfrac{x^2-6x+8}x\cdot \dfrac{x^2-9x+8}x=\dfrac{4x^2}{x^2} \quad \Leftrightarrow \quad \left(x-6+\dfrac8x\right)\cdot \left(x-9+\dfrac8x\right)=4$$

Теперь можно сделать замену $x+\dfrac8x=t$:

$$(t-6)(t-9)=4 \quad \Leftrightarrow \quad t^2-15t+50=0 \quad \Rightarrow t_1=5, \ t_2=10$$

Сделаем обратную замену:

$$\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x+\dfrac8x=5\\[4pt] &x+\dfrac8x=10 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2-5x+8=0\\ &x^2-10x+8=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=5-\sqrt{17}\\ &x=5+\sqrt{17} \end{aligned} \end{gathered} \right.$$

Таким образом, ответ $x\in\{5-\sqrt{17};5+\sqrt{17}\}$.  

$\color{red}{V.}$ Уравнения вида $(x+a)^n +(x+b)^n=f(x)$.

 

Как правило, в данных уравнениях $n$ не превышает $5$. Поэтому нам понадобятся следующие формулы сокращенного умножения:

$$\begin{aligned} & (x+a)^3=x^3+3x^2a+3xa^2+a^3\\ & (x+a)^4=x^4+4x^3a+6x^2a^2+4xa^3+a^4\\ & (x+a)^5=x^5+5x^4a+10x^3a^2+10x^2a^3+5xa^4+a^5 \end{aligned}$$

В данных задачах необходимо сделать замену $x+\dfrac{a+b}2=t$. Тогда $x+a=t+\dfrac{a-b}2, \quad x+b=t-\dfrac{a-b}2$ и уравнение примет вид:

$$\left(t+\dfrac{a-b}2\right)^n+\left(t-\dfrac{a-b}2\right)^n=f(x)$$

После возведения в степень по формулам, приведенным выше, часть слагаемых взаимно уничтожится. Рассмотрим на примере.

 

Пример

 

Решить уравнение $(x+3)^4+(x+5)^4=16$.

 

Сделаем замену $t=x+\dfrac{3+5}2=x+4$. Тогда $x+3=t-1, \ x+5=t+1$:

 

$\begin{aligned} &(t-1)^4+(t+1)^4=16 \quad \Leftrightarrow \quad (t^4-4t^3+6t^2-4t+1)+ (t^4+4t^3+6t^2+4t+1)=16 \quad \Leftrightarrow \\[1ex] &\Leftrightarrow \quad 2(t^4+6t^2+1)=16 \quad \Leftrightarrow \quad t^4+6t^2-7=0 \end{aligned}$

 

Данное уравнение является биквадратным и с помощью замены $t^2=z, z\geqslant 0$ сводится к квадратному: $$z^2+6z-7=0 \quad \Rightarrow \quad z_1=-7, \ z_2=1$$

Заметим, что корень $z_1$ не подходит. Вернемся к переменной $t$:

$$t^2=1 \quad \Rightarrow \quad t_1=1, \ t_2=-1$$

Вернемся к переменной $x$:

$$\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+4=1\\ &x+4=-1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-3\\ &x=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.$$

Таким образом, ответ $x\in \{-5;-3\}$.