Десятичные дроби и действия с ними

Факт 1.

$\bullet$ Если $\dfrac ab$ – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель $b$ среди простых делителей имеет только делители $2$ и $5$.
Пример: дробь $\dfrac2{65}$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как $65=5\cdot 13$, то есть $\dfrac2{65}=0,0307...$
дробь $\dfrac3{160}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как $160=2^5\cdot 5$, то есть $\dfrac3{160}=0,01875$.   Для того, чтобы перевести рациональную (обыкновенную) дробь в десятичную, нужно разделить в столбик ее числитель на знаменатель. Если предварительно не убедиться, что данную дробь действительно можно перевести в конечную десятичную, то делить в столбик можно до бесконечности :)   $\bullet$ Любую конечную десятичную дробь можно легко привести в рациональный вид. Например, $0,63$ равно $\dfrac{63}{100}$; $1,102$ равно $\dfrac{1102}{1000}$; $0,0003$ равно $\dfrac3{10000}$.   Таким образом, действует следующее правило: в числителе дроби мы записываем то число, которое у нас получается при отбрасывании запятой и “лишних” нулей, находящихся слева; в знаменателе мы записываем $10$, если в дроби был 1 знак после запятой, $100$, если в дроби было 2 знака после запятой, $1000$, если в дроби было 3 знака после запятой и т.д.  

Факт 2.
$\bullet$ Сложение или вычитание десятичных дробей удобно осуществлять столбиком. Для этого необходимо записать одну дробь под другой так, чтобы запятая находилась под запятой (то есть цифры, находящиеся в одних и тех же разрядах, должны находиться друг под другом). Затем, не обращая внимания на запятую, сложить два числа привычным для нас алгоритмом сложения в столбик. После этого нужно перенести запятую в результат, руководствуясь тем же правилом “запятая под запятой”.
Пример: сумма дробей $1,42$ и $7,103$ равна $8,523$ 
$\bullet$ Для того, чтобы умножить две десятичные дроби, нужно отбросить их запятые, полученные целые числа умножить привычным способом и в найденном результате запятой отделить столько знаков, сколько их суммарно было в обеих дробях.
Пример: чтобы умножить $1,2$ на $0,03$, умножим $12$ на $3$ (получим $36$), а затем в числе $36$ отделим запятой 3 знака (так как в первой дроби один знак после запятой, во второй – два). Получим $0,036$.   $\bullet$ Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, нужно в обеих дробях перенести запятую вправо на одно и то же количество знаков так, чтобы получить два целых числа. Затем выполнить деление одного числа на другое привычным способом.
Пример: чтобы разделить $30,5$ на $1,02$, нужно разделить $3050$ на $102$ (запятая была перенесена вправо на 2 знака).   $\bullet$ Чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно передвинуть запятую на 1 знак вправо; при умножении на 100 нужно передвинуть запятую на 2 знака вправо; при умножении на 1000 – на 3 знака и т.д.

Если в задаче нужно сложить, умножить или разделить дроби разного вида: десятичные и рациональные, то часто бывает удобно привести все дроби к одному и тому же виду, то есть работать либо только с рациональными дробями, либо только с десятичными.
Пример: найти значение выражения $$\dfrac{0,4\cdot (1-0,91)}{2-\frac14\cdot 0,8}$$ Вспомним, что в первую очередь мы выполняем действие в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.
Вычислим числитель. Так как в первую очередь выполняется действие в скобках, то вычислим $1-0,91=1,00-0,91=0,09$. Второе действие – это умножение $0,4\cdot 0,09$. Для этого умножим $4$ на $9$, получим $36$, и запятой в числе $36$ отделим 3 знака: получим $0,036=\frac{36}{1000}$.
Вычислим знаменатель. Так как в первую очередь выполняется умножение, то найдем $\frac14\cdot 0,8$. Для этого переведем $0,8$ в рациональную дробь: $0,8=\frac8{10}$ и сократим: $\frac8{10}=\frac45$. Следовательно, $\frac14\cdot \frac45=\frac{1\cdot 4}{4\cdot 5}=\frac15$. Второе действие – вычитание $2-\frac15$. Для этого запишем $2$ как $\frac21=\frac{10}5$. Следовательно, $\frac{10}5-\frac15=\frac{10-1}5=\frac95$.
Найдем значение дроби. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель, то есть найти $\frac{36}{1000}:\frac95$. Получим: $$\dfrac{36}{1000}:\dfrac95=\dfrac{36}{1000}\cdot \dfrac59= \dfrac{36\cdot 5}{1000\cdot 9}=\dfrac{4\cdot 9\cdot 5}{1000\cdot 9}=\dfrac{4\cdot 1}{200}=\dfrac1{50}=0,02$$ Таким образом, ответ: $0,02$.  

Факт 3.
Округление десятичных дробей.
При округлении десятичных дробей до какого-то разряда важно помнить:

$\blacktriangleright$ если цифра, стоящая справа от нужного нам разряда, $\leqslant 4$, то округляем в меньшую сторону (то есть отбрасываем хвост после нужного нам разряда, а цифру, стоящую на нужном нам разряде, оставляем неизменной).

Пример: число $0,8\underline94$ при округлении до сотых дает $0,8\underline{9}$.

$\blacktriangleright$ если цифра, стоящая справа от нужного нам разряда, $\geqslant 5$, то округляем в большую сторону (то есть отбрасываем хвост после нужного нам разряда, а цифру, стоящую на нужном нам разряде, увеличиваем на $1$).

Пример: число $1,45\underline{7}9$ при округлении до тысячных дает $1,45\underline{8}$.