Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

Факт 1.
$\bullet$ Возьмем некоторое неотрицательное число $a$ (то есть $a\geqslant 0$). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, при возведении которого в квадрат мы получим число $a$: $$\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2$$ Из определения следует, что $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть $100^2=10000\geqslant 0$ и $(-100)^2=10000\geqslant 0$.
$\bullet$ Чему равен $\sqrt{25}$? Мы знаем, что $5^2=25$ и $(-5)^2=25$. Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то $-5$ не подходит, следовательно, $\sqrt{25}=5$ (так как $25=5^2$).
Нахождение значения $\sqrt a$ называется извлечением квадратного корня из числа $a$, а число $a$ называется подкоренным выражением.
$\bullet$ Исходя из определения, выражения $\sqrt{-25}$, $\sqrt{-4}$ и т.п. не имеют смысла.  

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от $1$ до $20$: $$\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}$$

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
$\bullet$ Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть $$\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}$$ Таким образом, если вам нужно вычислить, например, $\sqrt{25}+\sqrt{49}$, то первоначально вы должны найти значения $\sqrt{25}$ и $\sqrt{49}$, а затем их сложить. Следовательно, $$\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12$$ Если значения $\sqrt a$ или $\sqrt b$ при сложении $\sqrt a+\sqrt b$ найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме $\sqrt 2+ \sqrt {49}$ мы можем найти $\sqrt{49}$ – это $7$, а вот $\sqrt 2$ никак преобразовать нельзя, поэтому $\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7$. Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя   $\bullet$ Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть $$\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}$$ (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: $\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8$;   $\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16$;   $\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40$.   $\bullet$ Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем $\sqrt{44100}$. Так как $44100:100=441$, то $44100=100\cdot 441$. По признаку делимости число $441$ делится на $9$ (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, $441:9=49$, то есть $441=9\cdot 49$.
Таким образом, мы получили: $$\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210$$ Рассмотрим еще один пример: $$\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3$$
$\bullet$ Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения $5\sqrt2$ (сокращенная запись от выражения $5\cdot \sqrt2$). Так как $5=\sqrt{25}$, то $$5\sqrt2=\sqrt{25}\cdot \sqrt2=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}$$ Заметим также, что, например,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$.

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число $\sqrt2$ мы не можем. Представим, что $\sqrt2$ – это некоторое число $a$. Соответственно, выражение $\sqrt2+3\sqrt2$ есть не что иное, как $a+3a$ (одно число $a$ плюс еще три таких же числа $a$). А мы знаем, что это равно четырем таким числам $a$, то есть $4\sqrt2$.  

Факт 4.
$\bullet$ Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака $\sqrt {} \ $ корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа $16$ можно, потому что $16=4^2$, поэтому $\sqrt{16}=4$. А вот извлечь корень из числа $3$, то есть найти $\sqrt3$, нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст $3$.
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}$ и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа $\pi$ (число “пи”, приблизительно равное $3,14$), $e$ (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно $2,7$) и т.д.
$\bullet$ Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой $\mathbb{R}$.
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.  

Факт 5.
$\bullet$ Модуль вещественного числа $a$ – это неотрицательное число $|a|$, равное расстоянию от точки $a$ до $0$ на вещественной прямой. Например, $|3|$ и $|-3|$ равны 3, так как расстояния от точек $3$ и $-3$ до $0$ одинаковы и равны $3$. 
$\bullet$ Если $a$ – неотрицательное число, то $|a|=a$.
Пример: $|5|=5$; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$.   $\bullet$ Если $a$ – отрицательное число, то $|a|=-a$.
Пример: $|-5|=-(-5)=5$; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число $0$, модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная $x$ (или какая-то другая неизвестная), например, $|x|$, про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: $|x|$.   $\bullet$ Имеют место следующие формулы: $${\large{\sqrt{a^2}=|a|}}$$ $${\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0$$ Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что $\sqrt{a^2}$ и $(\sqrt a)^2$ – одно и то же. Это верно только в том случае, когда $a$ – положительное число или ноль. А вот если $a$ – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо $a$ число $-1$. Тогда $\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$, а вот выражение $(\sqrt {-1})^2$ вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что $\sqrt{a^2}$ не равен $(\sqrt a)^2$!   Пример: 1) $\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2$, т.к. $-\sqrt2<0$;

$\phantom{00000}$ 2) $(\sqrt{2})^2=2$.   $\bullet$ Так как $\sqrt{a^2}=|a|$, то $$\sqrt{a^{2n}}=|a^n|$$ (выражение $2n$ обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) $\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25$ (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен $-25$; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) $\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8$ (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
$\bullet$ Для квадратных корней верно: если $\sqrt a<\sqrt b$, то $a<b$; если $\sqrt a=\sqrt b$, то $a=b$.
Пример:
1) сравним $\sqrt{50}$ и $6\sqrt2$. Для начала преобразуем второе выражение в $\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}$. Таким образом, так как $50<72$, то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$. Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$.
2) Между какими целыми числами находится $\sqrt{50}$?
Так как $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{64}=8$, а $49<50<64$, то $7<\sqrt{50}<8$, то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$.
3) Сравним $\sqrt 2-1$ и $0,5$. Предположим, что $\sqrt2-1>0,5$: $$\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\[1ex] &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\[1ex] &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}$$ Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и $\sqrt 2-1<0,5$.
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)!   $\bullet$ Следует запомнить, что $$\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\[1ex] &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}$$ Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!   $\bullet$ Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем $\sqrt{28224}$. Мы знаем, что $100^2=10\,000$, $200^2=40\,000$ и т.д. Заметим, что $28224$ находится между $10\,000$ и $40\,000$. Следовательно, $\sqrt{28224}$ находится между $100$ и $200$.
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между $120$ и $130$). Также из таблицы квадратов знаем, что $11^2=121$, $12^2=144$ и т.д., тогда $110^2=12100$, $120^2=14400$, $130^2=16900$, $140^2=19600$, $150^2=22500$, $160^2=25600$, $170^2=28900$. Таким образом, мы видим, что $28224$ находится между $160^2$ и $170^2$. Следовательно, число $\sqrt{28224}$ находится между $160$ и $170$.
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце $4$? Это $2^2$ и $8^2$. Следовательно, $\sqrt{28224}$ будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем $162^2$ и $168^2$:
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$.
Следовательно, $\sqrt{28224}=168$. Вуаля!