Алгебра. Краткий справочник. Формулы

Дроби. Формулы сокращенного умножения

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Алгебра. Краткий справочник. Формулы

Теоретическая справка

#525

Факт 1.
$∙$ Множество натуральных чисел $ℕ$ – это числа $1, 2, 3, 4$ и т.д.
$∙$ Множество целых чисел $ℤ$ состоит из натуральных чисел, противоположных им ( $− 1, −2, −3$ и т.д.) и нуля $0$ .
$∙$ Рациональные числа $ℚ$ – числа вида $a b$ , где $a ∈ℤ$ , $b∈ ℕ$ .
Таким образом, существует включение: $ℕ$ содержится в $ℤ$ , а $ℤ$ содержится в $ℚ$ .

Факт 2.
$∙$ Правила сложения дробей:

a c a+ c b + b =-b-- a+ c = ad+-bc b d bd

Пример: $31 67 31-+67 98 6 + 6 = 6 = 6$
$∙$ Правила умножения дробей:

a ⋅ c= ac- b d bd

Пример: $4 ⋅ 14 = 4⋅14 7 5 7⋅5$
$∙$ Правила деления дробей:

a : c = a⋅ d b d b c

Пример: $4 : 6 = 4⋅ 7 5 7 5 6$

Факт 2.
$∙$ Сокращение дробей – деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример:
$98 = 49⋅2/ = 49 6 3 ⋅2/ 3 4-⋅14= 4⋅2-⋅7/= 8 7⋅5 7/ ⋅5 5 4 ⋅7 2/ ⋅2 ⋅7 14 5-⋅6 = 5-⋅3-⋅2/ = 15$
$∙$ Если $a b$ – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель $b$ делится только на числа $2$ и $5$ .
Пример: дробь $2- 65$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как $65 =5 ⋅13$ , то есть $2 65 = 0,0307...$
дробь $-3- 160$ можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как $160= 25⋅5$ , то есть $3 160 = 0,01875$ .

Факт 3.
$∙$ Формулы сокращенного умножения:
$▸$ Квадрат суммы и квадрат разности:

2 2 2 (a+ b) = a + 2ab+ b

2 2 2 (a− b) = a − 2ab+ b

$▸$ Куб суммы и куб разности:

(a + b)3 = a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3 или (a+ b)3 = a3+ b3+ 3ab(a+ b)

(a − b)3 = a3− 3a2b+ 3ab2− b3 или (a− b)3 = a3− b3− 3ab(a− b)

Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления:
$133+ 3⋅132⋅7+ 3⋅13⋅49+ 73 = (13+ 7)3 =203 = 8000$

$▸$ Разность квадратов:

a2− b2 = (a− b)(a+ b)

$▸$ Сумма кубов и разность кубов:

a3+ b3 = (a+ b)(a2− ab+ b2)

3 3 2 2 a − b = (a− b)(a + ab+ b)

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов $2 2 a + b$ .
Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:

$---76-− 26--= (72−-22)(74+-72⋅22-+24)= 72− 22 = 45 74+ 142+ 16 74+ (7⋅2)2 +24$

Факт 4.
$∙$ Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых и удвоенных попарных произведений:

(a+ b+ c)2 = a2+ b2+ c2+ 2ab+ 2ac +2bc (a+ b+ c+ d)2 = a2+ b2 +c2+ d2+ 2ab+ 2ac +2ad+ 2bc+ 2bd +2cd и т.д.

Предыдущая справка

Следующая справка