№2. Векторы

Разложение вектора по базису

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №2. Векторы

Теоретическая справка

#522

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Пусть даны два неколлинеарных вектора $⃗a$ и $⃗b.$ Тогда любой вектор $⃗c$ можно представить в виде

⃗c = x⋅⃗a + y⋅⃗b, где x,y — некотор ые чи сла.

Нарисуем векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c$ из общего начала и проведем через начало и конец вектора $⃗c$ прямые, параллельные векторам $⃗a$ и $⃗b.$

$⃗⃗⃗abcABDC$

Пусть $A,$ $B,$ $C$ и $D$ — вершины получившегося параллелограмма. Тогда по правилу параллелограмма

−−→ −−→ ⃗c = AB +AD

Векторы $⃗a$ и $−−A→B$ коллинеарны, поэтому найдется такое число $x,$ что $−−→ AB = x⋅⃗a.$

Векторы $⃗b$ и $−−→ AD$ коллинеарны, поэтому найдется такое число $y,$ что $−A−→D = y⋅⃗b.$

Таким образом, для некоторых чисел $x$ и $y$ получаем

−−→ −−→ ⃗ ⃗c = AB + AD = x ⋅⃗a+ y⋅b

Решаем задачи

Пример 1

Дан параллелограмм $ABCD.$ Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AB$ и делят её на три равных отрезка (точка $M$ лежит между точками $A$ и $N$ ). Точка $L$ лежит на стороне $AD$ и делит её пополам. Пусть $−−→ AM = ⃗a,$ $−→ AL = ⃗b,$ $−A→C = x⋅⃗a + y⋅⃗b,$ где $x,$ $y$ — некоторые числа. Найдите $x$ и $y.$

$⃗⃗⃗===||abcABCDMNL$

Решение:

Мы уже знаем, что по правилу параллелограмма

−A→C = −−A→B + −A−→D.

Заметим, что

−−→ −−→ −−→ −−→ AB = AM + M N +N B = 3⃗a −A−D→ = −A→L + −L→D = 2⃗b.

Тогда получаем

−A→C = −−A→B + −A−→D = 3⃗a + 2⃗b.

Значит, $x = 3,$ $y = 2.$

Пример 2

Пусть $ABCD$ — четырёхугольник, на сторонах которого отложены векторы $−A−→B,$ $−−B→C,$ $−C−→D,$ $−−D→A.$ Найдите длину вектора $−A−B→ + −−B→C + −C−→D + −−D→A.$

Решение:

Вектор можно воспринимать как перемещение, тогда $−−→ −−→ −−→ AB + BC + CD$ — перемещение из $A$ в $B,$ затем из $B$ в $C,$ затем из $C$ в $D$ — в итоге это перемещение из $A$ в $D.$

$ABCD$

При такой трактовке имеем:

−A−→B + −−B→C + −C−→D +−D−A→ = −A−→D + −D−A→.

Векторы $−−→ AD$ и $−−→ DA$ противоположно направлены и имеют одинаковую длину, поэтому

−A−D→ + −−D→A = ⃗0.

Нулевой вектор $⃗0$ имеет длину, равную 0.

Пример 3

Дан параллелограмм $ABCD.$ Точки $K$ и $L$ лежат на сторонах $BC$ и $CD$ соответственно, причем $BK : KC = 3 : 1,$ а $L$ — середина $CD.$ Пусть $−A−→B = ⃗a,$ $−A−→D = ⃗b$ и $−K−→L = x⋅⃗a + y⋅⃗b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x+ y.$