№18. Задачи с параметром

Алгебра. Метод хорошего и плохого корня

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#558

Рассмотрим следующую задачу:

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

ln(3x − 1)⋅∘x2-−-8x+-8a−-a2 = 0

имеет ровно один корень на отрезке $[0;4].$

Если бы в данном нам уравнении не было буквы « $a$ », то перед нами было бы обычное уравнение с $x,$ относильно которого мы решали само уравнение.

Когда в уравнении появляется параметр $a,$ он превращает одно уравнение в великое множество уравнений. Рассмотрим простой пример уравнения с параметром:

x2 = a

На первый взгляд это одно уравнение, но если мы будем подставлять под $a$ разные числа, то суть будет меняться.

Если $a =4,$ то
$2 x = 4 ⇔ x= ±2$
Если $a =− 1,$ то уравнение $x2 = − 1$ не имеет решений.

Таким образом, уравнение и его решения зависят от значения параметра $a.$

Вернемся к задаче. Здесь нам нужно найти такие значения параметра $a,$ при которых ровно один корень полученного уравнения лежит на отрезке $[0;4].$

Попробуем решить уравнение, не обращая внимания на $a.$

Сразу можем заметить, что у этого уравнения есть ОДЗ:

2 2 3x − 1 > 0 и x − 8x+ 8a− a ≥ 0

Перед нами произведение двух множителей, которое равно 0, значит,

∘-2-----------2 ln(3x − 1)= 0 или x − 8x +8a − a = 0

Решим левое уравнение:

ln(3x− 1)= 0 ln(3x− 1)= ln 1 3x− 1= 1 2 x1 = 3

Заметим, что мы не можем утверждать, что $x1$ является корнем при всех значениях параметра $a,$ так как, возможно, при каком-то из значений $a$ корень $x1 = 23$ не входит в ОДЗ уравнения. Поэтому назовем $x1 = 23$ кандидатом, то есть возможным корнем.

Решим правое уравнение с помощью теоремы Виета:

-------------- ∘ x2− 8x + 8a − a2 = 0 2 2 {x − 8x+ 8a− a = 0 x2+x3 = 8 x2⋅x3 = a⋅(8− a) ⌊ ⌈x2 = a x3 = 8− a

Тогда $x2 =a$ и $x3 = 8− a$ — кандидаты. Заметим, что пока мы никак не пользовались тем, что $a$ — параметр.

Итак, для того чтобы кандидат $x1$ был корнем, нужно чтобы он удовлетворял ОДЗ правого уравнения, а для того чтобы кандидаты $x2$ и $x3$ были корнями, нужно чтобы они удовлетворяли ОДЗ левого уравнения.

Воспользуемся методом хорошего/плохого корня.

Пусть $x1$ — хороший корень, то есть входит в ОДЗ всего уравнения и лежит на отрезке $[0;4].$
Заметим, что ОДЗ логарифма нам проверять не нужно, так как мы нашли $x1,$ решив уравнение $ln(3x− 1)= 0.$ Тогда должно быть выполнено $x2− 8x+ 8a− a2 ≥ 0.$ Подставим $x1 :$
$( { 4 − 8 ⋅ 2+ 8a− a2 ≥ 0 ( 9 2 3 0≤ 3 ≤ 4 4 − 48 +72a− 9a2 ≥ 0 2 9a − 72a +44 ≤ 0$
Решим сопутствующее уравнение $2 9a − 72a+ 44= 0:$
$⌊ 36± √362−-9⋅44 36± ∘9-⋅(144−-44) 36 ±30 a1 = 23 a1,2 =-------9-------= -------9--------= ---9-- ⇒ ⌈a = 22 2 3$
Таким образом,
$[2 22] 9a2− 72a+ 44≤ 0 ⇒ a∈ 3;-3$
Значит, $x1$ является хорошим корнем при $[ 2 22] a ∈ 3;3 .$
Пусть $x2 = a$ — хороший. Заметим, что он точно удовлетворяет ОДЗ подкоренного выражения, тогда имеем
${ ( ] 0≤ a≤ 4 ⇒ a∈ 1 ;4 3a − 1> 0 3$
Пусть $x3 = 8− a$ — хороший. Тогда
${ { { [ ) 0 ≤8 − a ≤ 4 − 8≤ −a ≤− 4 8≥ a ≥4 23 3(8− a)− 1> 0 ⇔ 24− 3a− 1 >0 ⇔ a< 233 ⇒ a∈ 4; 3$

В условии задачи нас просят найти такие значения параметра $a,$ при которых уравнение имеет ровно один корень. Изобразим на числовой прямой промежутки, на которых каждый из корней является хорошим.

$122223 axxx33412333 – – – хххооорррошошош иииййй$

Теперь нам нужно найти такие значения параметра $a,$ которые находятся ровно под одной «крышей», так как по условию у нас должен быть ровно один хороший корень. Это в точности $( ) ( ) a ∈ 1; 2 ∪ 22; 23 . 3 3 3 3$

Но это еще не все. Сейчас нам нужно проверить совпадение корней, ведь если при каком-то значении параметра $a$ несколько корней являются хорошими и равны между собой, то по сути само уравнение имеет один корень. Рассмотрим случаи совпадения корней.

Пусть $x1 = x2 = 23.$ Тогда при $a = 23$ и $x1,$ и $x2$ являются хорошими корнями, а $x3$ — нет, но при этом $x1 = x2,$ следовательно, исходное уравнение имеет ровно один корень. Значит, значение $a = 23$ нужно включить в ответ.
Пусть $2 x1 = x3 = 3.$ Тогда $2 22 3 = x3 = 8− a ⇒ a = 3-.$
Тогда при $a= 22- 3$ и $x1,$ и $x3$ являются хорошими корнями, а $x2$ — нет, но при этом $x1 = x3,$ следовательно, исходное уравнение имеет ровно один корень. Значит, значение $a = 223-$ нужно включить в ответ.
Пусть $x2 = x3.$ Тогда $x2 = x3 ⇒ a= 8− a ⇒ a = 4.$
Тогда при $a= 4$ и $x1,$ и $x2,$ и $x3$ являются хорошими корнями, но при этом совпадают только $x2$ и $x3,$ следовательно, исходное уравнение имеет два корня. Значит, значение $a= 4$ не нужно включать в ответ.
Все три корня не могут совпаcть одновременно, так как $x1$ и $x2$ совпадают при $2 a = 3,$ а $x2$ и $x3$ — при $a= 4.$

Таким образом, ответ: $( ] [ ) a∈ 1; 2 ∪ 22-; 23 . 3 3 3 3$

Предыдущая справка

Следующая справка