№18. Задачи с параметром

Алгебра. Замена в параметре

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#559

Рассмотрим следующую задачу:

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(2sinx− 1)a2− (3⋅2sinx− 1)a + 2sinx+1 =0

имеет хотя бы один корень.

Немного перепишем уравнение из условия:

( sinx ) 2 ( sinx ) sinx 2 − 1 a − 3⋅2 − 1 a +2 ⋅2 = 0

Сделаем замену. Пусть $sinx 2 =t.$ Тогда исходное уравнение примет вид

(t− 1)⋅a2− (3t− 1)⋅a+ 2t= 0 a2t − a2− 3ta+ a+ 2t= 0 t⋅(a2− 3a+ 2)= a2− a t⋅(a− 1)(a − 2) =a(a− 1)

Итак, на этом моменте важно понимать, что после того, как мы сделали замену, ее нужно проанализировать. Ведь изначально нам было дано уравнение с $x$ и в условии требовалось найти такие значения параметра $a,$ при которых оно имеет хотя бы один корень. После замены мы получили другое уравнение с $t,$ а значит и условие задачи могло измениться. На этом шаге нам нужно понять, что теперь от нас требует условие.

Когда мы найдем из полученного уравнения значение $t$ и сделаем обратную замену, то мы должны найти хотя бы один корень $x.$ Проанализируем замену:

−1≤ sin x≤ 1 −1 sinx 1 2 ≤ 2 ≤ 2 1≤ t≤ 2 2

Таким образом, если мы найдем $[ ] t∈ 12;2 ,$ то корень $x$ найдется, а если, например, мы получим, что $t= 4,$ то уравнение $2sinx = 4$ не будет иметь корней и исходное уравнение также не будет иметь корней.

Следовательно, нам нужно найти такие значения параметра $a,$ при которых уравнение

t⋅(a− 1)(a − 2) =a(a− 1)

будет иметь хотя бы один корень на отрезке $[ ] 12;2 .$

Выразим $t$ через $a.$ Для этого нужно разделить обе части уравнения на $(a− 1)(a − 2),$ то есть $a$ не должно быть равно ни 1, ни 2. Тогда рассмотрим отдельно случаи $a =1$ и $a= 2.$

Пусть $a = 1.$ Тогда уравнение примет вид $0 = 0.$ Решением данного уравнения являются все $t.$ Следовательно, этот случай нам подходит.
Пусть $a = 2.$ Тогда уравнение примет вид $0 = 2.$ Такое уравнение не имеет решений, то есть и изначальное уравнение не имеет решений. Следовательно, этот случай нам не подходит.

Значит, мы можем считать, что $a ⁄= 1$ и $a⁄= 2.$ Тогда имеем:

-a-- t = a− 2

Нам нужно, чтобы $[1 ] t∈ 2;2 .$ Следовательно,

$pict$

Решим первое неравенство системы:
$2a − a+ 2 2(a−-2)-≥ 0$
По методу интервалов:

$−++2−2$

Таким образом, $a≤ − 2$ или $a> 2.$
Решим второе неравенство системы:
$a−-2a+-4 a− 2 ≤ 0$
По методу интервалов:

$+−−42$

Таким образом, $a< 2$ или $a≥ 4.$

Решая систему из неравенств, получаем $a ∈(− ∞;−2]∪ [4;+∞ ).$ Заметим, что мы проверили $a= 1$ и оно нам подошло. Итоговый ответ: $a ∈(−∞; −2]∪ {1} ∪[4;+ ∞ ).$

Предыдущая справка

Следующая справка