№18. Задачи с параметром

Графика. Окружность

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#560

Уравнение окружности и траектория движения центра окружности

Рассмотрим уравнение

(x − x )2+ (y − y )2 = a (∗) 0 0

При $a< 0$ это уравнение задает пустое множество, так как сумма квадратов двух выражений неотрицательна, то есть $(x− x0)2+ (y − y0)2 ≥ 0,$ следовательно, не может быть равна отрицательному числу.

При $a= 0$ это уравнение задает на координатной плоскости $xOy$ единственную точку $O (x0;y0).$

При $a> 0$ это уравнение задает окружность с центром в точке $O(x0;y0)$ и радиусом $√ - R = a.$

$xyRO$

Рассмотрим несколько примеров.

$∙$ Пусть дано уравнение $2 2 x − 6x+ y − 8y = 0.$ В этом уравнении есть слагаемые $2 x$ и $2 y ,$ причем взятые с одинаковым знаком, следовательно, это уравнение можно привести к виду $(∗).$ Для этого выделим полные квадраты:

2 2 (x − 6x+ 9)− 9+ (y − 8y +16)− 16= 0 (x− 3)2+ (y− 4)2 = 25

Следовательно, это уравнение задает окружность с центром в точке $O(3;4)$ и радиусом $R = 5.$

$∙$ $2 2 2 (x − 2a) + (y+ 2a) = a .$ Данное уравнение при $a= 0$ задает точку $O (0;0),$ а при $a⁄= 0$ задает окружность с центром в точке $O(2a;−2a)$ и радиусом $R = √a2-= |a|.$ Заметим, что центр окружности, как и радиус, зависит от параметра. Центр окружности имеет координаты $x0 = 2a$ и $y0 = −2a,$ следовательно, движется по прямой $y =− x.$ При изменении $a$ от $− ∞$ до $+∞$ центр окружности движется по прямой слева направо, причем чем ближе центр окружности к началу координат (то есть чем ближе $a$ по модулю к значению $0$ ), тем меньше радиус окружности.

$xyyO = − x$

Уравнение верхней и нижней полуокружностей

$∙$ Пусть $∘ ---------- y− 3= 4− (x− a)2.$ Это уравнение равносильно системе

{ y− 3≥ 0 (x− a)2 +(y− 3)2 = 4

Следовательно, оно задает верхнюю полуокружность с центром в точке $O (a;3)$ и радиусом $R = 2.$ Центр полуокружности «скользит» по прямой $y = 3.$

$xyyyO− = 33= ∘4-−-(x-−-a)2-$

$∙$ Пусть $∘---------2 y+ a= − a − (x − 1) .$ Это уравнение при $a< 0$ задает пустое множество, при $a= 0$ задает точку $O(1;0),$ при $a> 0$ задает нижнюю полуокружность с центром в точке $O (1;−a)$ и радиусом $R = √a.$ Заметим, что при изменении $a$ от $0$ до $+ ∞$ радиус полуокружности увеличивается, а центр полуокружности «скользит» по прямой $x = 1$ при $y < 0$ сверху вниз.

$∘ ---------- xyyxO+=a1 =− a− (x − 1)2$

Предыдущая справка

Следующая справка