№18. Задачи с параметром

Графика. Пучок прямых

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#561

Откуда берется пучок прямых

Рассмотрим функцию $f(x)= a(x− 2)+ 1.$ Несложно видеть, что она линейна относительно $x,$ и графиком такой функции при любом фиксированном значении параметра $a$ будет прямая.

Теперь попробуем понять, как устроено всё семейство (то есть множество функций, которые могут быть получены при всех возможных значениях $a$ ) функций такого вида. Уже ясно, что это будет некоторое множество прямых на плоскости, но мы хотим знать больше. Построим графики трех функций

$pict$

полученных подставлением соответствующего значения параметра $a.$

Замечаем, что все три прямые проходят через точку $(2;1).$ Докажем теперь, что любая прямая нашего семейства проходит через эту точку. Для этого подставим $x = 2$ в нашу функцию, получим

f(2)= a(2 − 2)+ 1= 1

$(2xy110fff;0121)$

То есть $f(2)= 1$ независимо от значения параметра $a,$ и любая прямая нашего семейства проходит через точку $(2;1).$ Так мы поняли, что наша функция с параметром задает пучок прямых на плоскости. Также важно отметить, что единственная прямая, которая проходит через точку $(2;1),$ но не будет реализована — это вертикальная прямая $x = 2.$

$xy110$

Задача из ЕГЭ 2022

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

( 2 { xy-−-3√xy−-3y+-9= 0 ( x+ 3 y = ax

имеет три решения.

Решение. Заметим, что уравнение $y = ax$ задает пучок прямых, проходящих через точку $(0;0),$ причем каждому значению $a$ соответствует ровно одна прямая этого пучка. Другими словами, параметр $a$ отвечает за угол наклона прямой из пучка.

Система уравнений в нашей задаче означает то, что нам нужно изобразить на плоскости множество $S$ решений первого уравнения, изобразить пучок прямых и посмотреть, при каких значениях параметра $a$ прямая из пучка имеет ровно 3 точки пересечения с множеством $S.$

Решим первое уравнение. Сначала найдем ОДЗ:

{ √x+-3-⁄=0 x+ 3≥ 0 ⇒ x> −3

Тогда при условии $x> − 3$ дробь равна 0, если ее числитель равен 0, то есть

$pict$

Заметим, что мы можем делить на $x,$ так как $x= 0$ не является решением системы. Проверим это. Если $x= 0,$ то

y = ax = a⋅0= 0.

Тогда

xy2 − 3xy − 3y +9 0⋅02− 3⋅0⋅0 − 3 ⋅0 + 9 9 ----√----------= -------√------------= √--⁄= 0 x+ 3 0 + 3 3

Значит, $x= 0$ не является решением системы и мы можем считать, что $x ⁄= 0.$

Изобразим множество $S$ решений первого уравнения, учитывая ОДЗ:

$xy110$

Итак, подробнее рассмотрим пучок прямых, который задается уравнением $y = ax.$ В это уравнение можно подставить любые значения параметра $a$ и получить все возможные прямые, проходящие через точку $(0;0),$ кроме одной — прямой $x= 0.$

$xy110$

Теперь найдем такие прямые из пучка, которые пересекают множество $S$ ровно в трех точках.

$xyIII11III$

Начнем с прямой $I.$ Она имеет только две точки пересечения с $S$ — $(3;1)$ и $(9;3),$ то есть не подходит нам.
Вращать прямую из положения $I$ по часовой стрелке до горизонтального положения не имеет смысла, так как у таких прямых тоже будет две точки пересечения с $S.$
Горизонтальная прямая, совпадающая с осью абсцисс, точно не подойдет, так как множество $S$ не имеет общих точек с ней.
Тогда будем вращать прямую из положения $I$ против часовой стрелки. Пока мы не получим прямую $II,$ наша прямая будем иметь ровно три точки пересечения с множеством $S.$
Прямая $II$ имеет только две точки пересечения с $S$ — $(− 1;− 3)$ и $(1;3),$ то есть не подходит нам.
Продолжим вращать прямую из положения $II$ против часовой стрелки, пока мы не получим вертикальную прямую — прямую $III.$ До этого момента наша прямая будем иметь ровно три точки пересечения с множеством $S.$
Прямые пучка, которые лежат во $II$ и $IV$ четвертях, нам точно не подойдут, так как из множества $S$ в этих четвертях лежит только часть горизонтальной прямой, то есть три решения получить нельзя.

Значит, нам нужно найти такие значения параметра $a,$ при которых мы получим все прямые от $I$ до $II$ и от $II$ до $III.$

Прямая $I$ проходит через точки $(0;0)$ и $(3;1),$ а значит ее угловой коэффициент равен $1. 3$

Прямая $II$ проходит через точки $(0;0)$ и $(1;3),$ а значит ее угловой коэффициент равен 3.

Далее все просто — от прямой $II$ мы можем увеличивать значение $a$ до бесконечности, приближаясь, но не доходя до вертикальной прямой $III.$

Значит, итоговый ответ: $( ) a ∈ 1;3 ∪ (3;+∞ ). 3$

Задача про пучок прямых и полуокружность

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

∘----------- ax + − 7− 8x− x2 = 2a+ 3

имеет единственное решение.

Решение. Преобразуем уравнение

∘----------- − 7− 8x− x2 = −a(x− 2)+ 3

Справа получили пучок прямых через точку $(2;3).$ Преобразуем левую часть

$pict$

Это полуокружность, лежащая в верхней полуплоскости, с центром $(− 4;0)$ и радиусом 3. Построим графики.

$(2xy110III;III3)$

Очевидно, что положения прямой пучка не между $I$ и $III$ нам не подходят, потому что в таком случае прямые не пересекают полуокружность. Между положениями $I$ и $II,$ не включая положение $II,$ будет ровно одна точка пересечения. Между положениями $II$ и $III,$ включая положение $II,$ будет две точки пересечения. В положении $III$ будет одна точка пересечения. Осталось найти значения $a,$ соответствующие положениям $I,$ $II$ и $III.$

Положению $III$ соответствует $a = 0,$ так как радиус окружности равен расстоянию от точки $(2;3)$ до оси $Ox,$ то есть касательная к полуокружности параллельна оси $Ox.$