№18. Задачи с параметром

Графика. Корыто

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#562

Упрощенная задача

При каких положительных значениях параметра $a$ уравнение

|x − a|+ |x− 2a|= a2 − a

имеет решения?

Решение. Обозначим $f(x)= |x− a|+|x− 2a|.$ Чтобы построить график функции $f,$ сначала приведем ее к кусочно заданному виду, раскрыв модули. Первый модуль раскрывается с плюсом при $x≥ a,$ с минусом при $x < a.$ Второй модуль раскрывается с плюсом при $x≥ 2a,$ с минусом при $x< 2a.$ Таким образом, мы понимаем, что знаки раскрытия модулей зависят только от положения $x$ относительно нулей модулей — точек $a$ и $2a.$ По условию $a > 0,$ тогда выполняется $a <2a,$ и схематично правило раскрытия модулей можно изобразить следующим образом:

$x2a−−+|−++|axx−− 2aa||$

Раскроем модули в зависимости от принадлежности $x$ к одному из трех промежутков:

1.: $x∈ (− ∞;a) ⇒ f(x)= −(x− a)− (x− 2a)= −2x+ 3a$
2.: $x∈ [a;2a] ⇒ f(x)= (x− a)− (x− 2a)= a$
3.: $x∈ (2a;+∞ ) ⇒ f(x)= (x− a)+ (x − 2a)= 2x− 3a$

Резюмируя, получим

( |{ −2x+ 3a, x <a f(x) =|x− a|+ |x − 2a|= | a, a≤ x ≤ 2a ( 2x − 3a, x >2a

Видим, что на промежутках 1 и 3 функция $f$ линейная, а на промежутке 2 — константа. Таким образом, на первом промежутке функция убывает, так как угловой коэффициент $− 2< 0;$ на втором ее график параллелен оси абсцисс, а на третьем функция возрастает, так как угловой коэффициент $2> 0.$ Найдем значения $f$ в точках излома. Заметим, что неважно, к какому из промежутков относить точки излома!

(a)= a = −2a+ 3a, f(2a) = a= 2⋅2a− 3a

Наконец построим график нашего «корыта»

$xya2aaf$

В правой части уравнения имеем константу $a2− a,$ ей соответствует горизонтальная прямая $y = a2− a.$ Очевидно, что уравнение имеет решения, то есть имеет пересечения с корытом, только когда эта прямая проходит не ниже дна корыта. Это условие описывается неравенством

a2− a≥ a ⇔ a2− 2a≥ 0 ⇔ a ∈(− ∞;0]∪[2;+∞ )

Пересекая с условием, что $a$ положительно, получаем ответ: $a∈ [2;+∞ ).$

Задача из ЕГЭ 2021

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

a|x +1|+ (1− a)|x− 1|+2 = 0

имеет ровно два различных корня.

Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду

f(x) = a|x+ 1|+ (1 − a)|x − 1|= − 2

Рассмотрим случаи раскрытия модулей, чтобы привести функцию к кусочно-заданному виду:

$x1−−−+|x−++|x1−+ 11||$

Раскроем модули в зависимости от принадлежности $x$ к одному из трех промежутков:

1.: $x≥ 1 ⇒ f(x)= a⋅(x+ 1)+ (1 − a)⋅(x− 1)= x+ 2a− 1$
2.: $x∈ [− 1;1) ⇒ f(x)= a⋅(x+ 1)− (1 − a)(x− 1)= x⋅(2a− 1)+1$
3.: $x< −1 ⇒ f(x)= − a⋅(x+ 1)− (1− a)⋅(x− 1)= −x − 2a +1$

Резюмируя, получим

( |{− x− 2a+ 1, x< − 1 f(x)= a|x+ 1|+ (1− a)|x− 1|= |(2a− 1)x+ 1, −1 ≤ x< 1 (x + 2a− 1, x≥ 1

Найдем координаты точек излома функции $f :$

$pict$

Мы получили, что на первом промежутке функция линейная возрастающая, на третьем — линейная убывающая. На втором промежутке $[−1;1]$ функция также линейная. Более того, коэффициент при $x$ зависит от параметра $a,$ поэтому заранее мы не знаем, убывает или возрастает наша функция на втором промежутке. Рассмотрим три возможных случая.

Функция возрастает на отрезке $[− 1;1],$ то есть
$2a− 1> 0 ⇔ a> 1 2$
В этом случае график примет следующий вид (оси изображены для удобства, мы не знаем, как график будет располагаться относительно них и не пользуемся этим):

$xy1−22yfa1−= 2a−2$

Таким образом, уравнение будет иметь ровно два различных решения, если горизонтальная прямая $y = −2$ проходит выше левой точки излома графика, то есть
$−2> − 2a +2 ⇔ a> 2$
Пересекая с условием $1 a> 2 ,$ получаем $a∈ (2;+ ∞).$
Функция убывает на отрезке $[− 1;1],$ то есть
$2a− 1< 0 ⇔ a< 1 2$
В этом случае график примет следующий вид (оси изображены для удобства, мы не знаем, как график будет располагаться относительно них и не пользуемся этим):

$xy1−22yfa1−= 2a−2$

Таким образом, уравнение будет иметь ровно два различных решения, если горизонтальная прямая $y = −2$ проходит выше правой точки излома графика, то есть $− 2> 2a ⇔ a < −1.$
Пересекая с условием $1 a< 2 ,$ получаем $a∈ (−∞; −1).$
Коэффициент при $x$ зануляется, то есть $1 2a− 1= 0 ⇔ a = 2.$ Подставив это значение параметра в исходное уравнение, получим
$1|x +1|+ 1|x− 1|= −2 2 2$
Левая часть этого уравнения неотрицательна, так как является суммой двух модулей, а правая отрицательна. Значит, при таком значении $a$ уравнение не имеет решений, и это значение $a$ нам не подходит.

Объединив найденные значения $a,$ получим ответ: $a ∈ (− ∞;− 1)∪ (2;+ ∞ ).$

Предыдущая справка

Следующая справка